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文檔簡介
1、中國計量學(xué)院 2011 2012 學(xué)年第一學(xué)期數(shù)學(xué)分析(1)課程試卷(B)參考及評分標(biāo)準(zhǔn)開課二級學(xué)院:理學(xué)院,學(xué)生班級:11 信算 1,2,3,數(shù)學(xué) 1 教師:、韓亞洲一、計算題(前 9 題每題 5 分,最后一題分,共 52 分)1. lim2 4 2 8 2L2 2 nn n解: 原式 lim 212 2 (5 分)x x a x a 02.limx ax2 a2x ax a x a 0 (5 分)解: 原式 limx 1 113. limn2 1n2 2L n n2 n n111n解:QL(2 分)n2 nn2 1n2 2n2 nn2 1nn lim 1 (4 分)limnn2 nn n2
2、 1原式 1 (5 分)4. 用歸結(jié)原則證明lim sin 1 發(fā)散x 0 x證: x , sin 11 0k (2 分)k2kxk1, sin 1yk 1k (4 分)y 2k k2由歸結(jié)原則知發(fā)散.(5 分)lim tan xtan 2 x5.x 4ln tantan 2x 0 (4 分)解: lim4x原式 1(5 分)數(shù)學(xué)分析(1)課程試卷(B)參考及評分標(biāo)準(zhǔn)第 1 頁共 4 頁2ex 1limcos x 16.x02ex 2x解: 原式 lim 2 (5 分)sin xdy dxx07. 設(shè) y xsin x ,求dy解:dx(5 分)x a t sin t dy d 2 y,求,8
3、. 設(shè)y a 1 cos t2dx dxdysin t解:(2 分)dx1 cos t1a 1 cos t 2d 2 y (5 分)dx29. cos x cos 2xdx11612解: 原式=cos 3x cos x C (5 分)210. 證明數(shù)列1 1 L 1 收斂123333n證:顯然單調(diào)遞增,下證有上界.(2 分)111n 1 n 2 (6 分)x 1 Ln1 22 3由單調(diào)有界定理知收斂(7 分)x2 1 2二、(7 分) 語言證明: lim2 x 1 3x 1 2x證:當(dāng)0 x 1 1 時有(3 分)2x 1 33對 0 ,取 min1,3 ,當(dāng)0 x 1 時有 (6 分)2x
4、1 33x2 12故lim(7 分)x 1 2x2 x 1 32三、(10 分)函數(shù) y ex 的性態(tài)(定義域、單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、凸性區(qū)間、拐點(diǎn)、漸近數(shù)學(xué)分析(1)課程試卷(B)參考及評分標(biāo)準(zhǔn)第 2 頁共 4 頁32x 132x 1線),并作圖解:定義域, ,偶函數(shù),與坐標(biāo)軸交與0,1 (分)y 2xex2 ,y 2 2x2 1ex2 (分)漸近線 y 0 (分)作圖如下:(分)四、(8 分)試確定 a、b 使得 f x x sin x a,x 0 在 x 0 可導(dǎo)b ln 1 x,x 0f 0 0 f 0 0 ,從而 f 0 a 0 (4 分)解:由題意知f 0 f 0 2 ,故b 2 (8
5、 分)又b 2五、(7 分)證不等式: e1 x x ,其中 x 0 x 2解:令 f x ex x 0 (2 分),則f x ex 1 x, f x ex 1 0,(7 分)x 0 x 0(5 分)結(jié)合 f 0 f 0 0 可證.x 0六、(8 分)設(shè) f(1) 任取 x1, x2 1, , 試證存在常數(shù) M 0 使得f x1 f x2 Mx1 x2數(shù)學(xué)分析(1)課程試卷(B)參考及評分標(biāo)準(zhǔn)第 3 頁共 4 頁x02 0, 2 222 , 2y0y0y極大值 1減凹拐點(diǎn) 2 1 ,e 2 2減凸f x 在0, 上一致連續(xù)(2) 試證f x 1 ,由 Lagrange 中值定理得證(4 分)證:(1) 任取 x 1,有2f x 在0,1上一致連續(xù),利用(1)的結(jié)論知在1, 上一致連續(xù),從而可證結(jié)(2) 注意到論成立(8 分)七、(8 分)設(shè) f x 在a,b 上三階可導(dǎo),且 f a 0 , f b 0 ,并存在c a,b 使得f c max f x 0a x b證明存在 , a,b 使得 f f 0 .證明:當(dāng) f a f b 0 時,則存在 a,b 使得 f 0 .(1)(2)證:(1)由 Lagrange 中值定理知存在 a, c, c,b 使得f f c f a 0,f f c f b 0. (4 分)c
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