多自由度系統(tǒng)近似計(jì)算方法

1、在線性多自由度系統(tǒng)振動(dòng)中，振動(dòng)問題歸結(jié)為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的廣義特 征值問題，缺點(diǎn)：當(dāng)系統(tǒng)自由度較大時(shí)，求解計(jì)算工作量非常大。本章介紹鄧克 利法，瑞利法，里茨法，傳遞矩陣法等計(jì)算方法，可作為實(shí)用的工程計(jì)算方法對(duì) 系統(tǒng)的振動(dòng)特性作近似計(jì)算。1、鄧克利法由鄧克利（Dunkerley ）在實(shí)驗(yàn)確定多圓盤的橫向振動(dòng)固有頻率時(shí)提出的， 便于作為系統(tǒng)基頻的計(jì)算公式 。自由振動(dòng)作用力方程：nM X KX =0X 二 R4n n左乘柔度矩陣F = K -，位移方程：FM X X = 0定義D=FM為系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣：dx X =0作用力方程的特征值問題：K 0二2M 0位移方程的特征值問題：D 0 = 0特征值

2、：；：， 八 n關(guān)系： i = 1 / ，：位移方程的最大特征根：，對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的第一階固有頻率。位移方程的特征方程：D AJ =0展開：（一1）n （丸n + at T 亠 + a n 山1 + a n） = 0ai 二-（dii - d22 dnn）二-tr D例：dii 丸 d i2=0d 2id 22 九2 2(-i) #(dii d22) (diid22 di2d2i) =0當(dāng)M為對(duì)角陣時(shí)：ntr D = tr (FM ) = f ii mii 9特征方程又可:寫為:(-52)（人九）=0n有：ai =i 二-trD =n-乞 fH mii Ti dnzni 二、fii min“ni二

3、2 八fi mi 3i iii =如果只保留第i個(gè)質(zhì)量，所得的單自由度系統(tǒng)的固有頻率為:mi fn mi例：兩自由度系統(tǒng)2K2丄1k11柔度矩陣：Fk1苫1k11 1 +k(1)只保留ml時(shí)f111k12-1k1mt(2)只保留m2f 221 _k1 k 21k12m21 12 - 一22 2i - 1 - 2- n對(duì)于梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，第二階及第二階以上的固有頻率通常遠(yuǎn)大于基頻，因此左端可只保留基頻項(xiàng)，有：1+ 一n21 1 1-& - + - +2 2 2-1 - 1 - 2例：三自由度系統(tǒng)0m采用常規(guī)方法，固有頻率:=0.3730 . k /m，1 .3213，3 二 2.0286 . k /

4、 m鄧克利法 當(dāng)m1單獨(dú)存在時(shí):2-1m2單獨(dú)存在時(shí):k12k1 - k2222二 k2 / mm3單獨(dú)存在時(shí):1k123丄丄丄k1k2k352k2k 2 kk123， 355m代入鄧克利法公式:.11 = 0.3535 _ k / m2、瑞利法瑞利法是基于能量原理的一種近似方法， 可用于計(jì)算系統(tǒng)的基頻，算出的近 似值為實(shí)際基頻的上限，配合鄧克利法算出的基頻下限，可以估計(jì)實(shí)際基頻的大 致范圍。n自由度保守系統(tǒng):M X KX =0 XW Rn主振動(dòng) :X=0 sin( ,t !)動(dòng)能與勢能:TV X KX2最大值：TmaxTVmax訕 K 2 K T max = V max 得 R (0 )T

5、M 對(duì)于第i階模態(tài)：-2成為瑞利商。R(0 )當(dāng)為一般向量時(shí)(不是實(shí)際模態(tài)) Z K (i)20 M 0，總能展開為n個(gè)正則模態(tài)的線性組合:代入瑞利商:TTTnna n K n aa A a222R( )T T-Taj- .j aja n M naa laj 4可以證明：12和-2分別為瑞利商的極小值和極大值，即：空R(n=a0 r - a 2 謬+ Sn0 八 3j N二 N aj d其中N二 0(1) 0(2) N O N ,(n) N a a1 , a2 ,anT分析：若將瑞利商右端分子內(nèi)的所有 換為1，由于是最低階固有頻率,因此：nnR()八 a2； v a2 12 j吐/g由瑞利商公

6、式知，當(dāng)：=0確為第一階模態(tài)時(shí)，有：R(;J 。 因此，瑞利商的極小值為，同理可證明，瑞利商的極大值為- 如果接近第k階真實(shí)模態(tài)，=0 (k)，比起ak ,其它系數(shù)很小a j = ak， j =1,2,，n, j = k ，： 1代入，得：R（）：臥亠二 C，j -，k）；j例如 k = 1 , aj 二臚1，j =2,nR（;：）二2 2 2a1亠a2亠-亠an2 2 2 2 2 2 2 2 a1 1 亠 r.2a1 ，2 亠.亠 J a1 ，n約去ai2-1分子上加減2 2，1 亠二2 *，22 2 2 2 亠二3 *，1 亠 亠 3n ，1 )(22 丄 22 丄丄221一(棗4 +昴

7、+ En )2+務(wù))2222221 (1 亠。亠亠訂)亠二;.i 0 M - 1 ) 1因此，若與0 E的差異為一階小量,則瑞利商與的差別為二階小量。對(duì)于基頻的特殊情況，令k = 1,貝U由于，2 _ M2 . 0（ j = 2 n）瑞利商在基頻處取極小值。利用瑞利商估計(jì)系統(tǒng)的基頻所得的結(jié)果必為實(shí)際基頻的上限，愈接近系統(tǒng)的真實(shí)模態(tài)，算出的固有頻率愈準(zhǔn)確。例題：接上例-=0.3730 . k / m，采用鄧克利法，基頻：=0.3535 . k / m取在2m質(zhì)量上施加力P所產(chǎn)生的“靜變形曲線”作為近似的第一階主振型， 即：即=1,2,2.5T代入瑞利商公式：R （釣=0.142857 ，1 =0

8、.3780與精確值相比，相對(duì)誤差1.34%。m m3、里茨法里茲法是瑞利法的改進(jìn)，用里茲法不僅可以計(jì)算系統(tǒng)的基頻，還可以算出系統(tǒng)的前幾階頻率和模態(tài)，瑞利法算出的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對(duì)第一階主 振型的近似程度，而且得到的基頻總是精確值的上限，里茲法將對(duì)近似振型給出更合理的假設(shè)，從而使算出的基頻值進(jìn)一步下降。里茲法基于與瑞利法相同的原理，但將瑞利使用的單個(gè)假設(shè)模態(tài)改進(jìn)為若干個(gè)獨(dú)立的假設(shè)模態(tài)的線性組合: a? n(2)F-( j) E A(i) _ r n同= aj n nA , n - Rj 4代入瑞利商:(2) n(r):rTr ： ：1,A=，a?,ar R xTA KA2T 一 A M

9、AT,m =： n m nRr r由于R在系統(tǒng)中的真實(shí)主振型處取駐值，所以A的各個(gè)元素應(yīng)當(dāng)從下式確定:-0,(j ,2；ajr)。代入:2 TOC o 1-5 h z (A KA) - ( A MA )=0,(jaa iCtCt, t(A KA) =( A) KA A K ( .:a i；:a iCT T 2( A) KA =2ej KA, (j =1,2,，r) :a其中ej是r階單位矩陣的第j列。上面r個(gè)方程可合成為：(atka )=2 KAA表示將函數(shù)分別對(duì)A的各個(gè)元素依次求偏導(dǎo)，然后排列成列向量空。cAa同理，有： 一 (A T MA)=2 M AcA兩項(xiàng)代入得：(K -2M)a =o

10、由于K、M的階數(shù)r 一般遠(yuǎn)小于系統(tǒng)自由度數(shù) n，上式所示的矩陣特征值 問題比原來系統(tǒng)的矩陣特征值問題解起來容易得多，因此里茲法實(shí)際上是一種縮 減系統(tǒng)自由度求解固有振動(dòng)的近似方法，K、M就是自由度縮減為r的新系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣?？汕蟪鰎個(gè)特征根 ，一22,，r2，及相應(yīng)的特征向量AA (2)，A(r)， 原來系統(tǒng)的前r階固有頻率可近似取為：2“j2, (j=1,2,.,r)，相應(yīng)的前r 階主振型近似取為：;：(j nA (j), (j=1,2,.,r)。正交性分析川門 m（j） = a（i）T nTm n a二 a（i）T Ma=o當(dāng) i = j即：A（i）T A（j）=0, A（i）T

11、Ka（j）=0因此：得出的近似主振型式關(guān)于矩陣M和K相互正交。例題：接前例采用常規(guī)方法，固有頻率:r = 0.3730 . k / m，- ,2 =1.3213 , k / m，3 二 2.0286 . k / m采用鄧克利法，基頻：=0.3 5 3 5 k/m，采用瑞利法，基頻：=0.378 Qk/m。將假設(shè)的振型取為I 1 n = n（1） n（2 = 223 -1 縮減后的新系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：k= n Tk n =-4kTT23m- m |1，M 二 n Mn20 k-m 7m4 7一0 -2 m 20 -7:，一0k4k|-4k特征值問題：4-23 :I | -4 -:-宀= 0.139853 ，:- 2 = 2.860147 ，A-4.927547 ,1， A-1_ 0.018449 ,1 T固有頻率: