矩陣論華中科技大學(xué)課后習(xí)題答案.docx

1、1 .判斷下列集合對指定的運(yùn)算是否構(gòu)成(1)Vi =(Aaij)nxilS 0習(xí)題一R上的線性空間0,對矩陣加法和數(shù)乘運(yùn)算;=一V2 A I A Rn n , At A,對矩陣加法和數(shù)乘運(yùn)算；= 43Va e a =V3 R3 ；對R3中向量加法和如下定義的數(shù)乘向量：R3, k R,k0 ；=V4 f(x)l f(x) 0,通常的函數(shù)加法與數(shù)乘運(yùn)算。解：(1)、( 2)為R上線性空間(3)不是，由線性空間定義，對 Va #0有l(wèi)a二a ,而題(3)中h =0(4)不是，若k0,則kf(x) /k 、 r 1+2k +弓，2kr r十)101I 0 J僅kn 2,kr nE N( A)0上述n-

2、r個(gè)向量線性無關(guān)，而ki , k2： , ks-t ,1,0,T0), s0再由ro3-Wii+J1 0)解得.判別下列集合是否構(gòu)成子空間。Wi = a = ( x, y, z) I x2 y 2 + z2 1, x, y, ze R；W2 = A I A2 =1, ARnrf ； tR?中，W3 = g =( XI , X2 , X3 ) I J( XI T 2+ X2 + X3 & = 0);*0m n14)十 a W4 = A =aij )m x I 以乙 y =0 i=t j=t解：(1)不是R3子空間，對加法及數(shù)乘運(yùn)算不封閉。如取 k=2, =(1 0 0)T,a =t，而 2 +2

3、+2=， aW ok (200) x y z 41 k Wj(2)不是子空間，因?yàn)?W2中沒有零元。(3)、( 4)為子空間。TCL 10.設(shè) r(1,2,1,0)T2= fl,MJ)B = _ T B = _ T1 - (271,0,1),-2 (171,3,7)= a otWi span 1 2，解：設(shè)了 EWW2,w2P Jspan J 2，求 W i W2 和 W1 W2 or = a +xi 1于是，有xi+x2a2X舉-2XiX210而3一7)所以-2 1!=4 ,X3W1W2 =Lt十 R由于 rank(A)=3十 =a則 Wi W2 L ,+ 隼 2 = -a P )2111.

4、在矩陣空間R22中，子空間Vi = A=xiX2X4ixiX2+X3X4=O, V2=LB1,B2,其中 B尸I 0.B2 =(1) Vi的基和維數(shù);解:XI(1) V1中，左 (X3X2 ( X2-X4)1X3+ X4X3X4令 (A1 = 1100o) a3 = | 10100 ,可驗(yàn)證 Al , A2, A3線性無關(guān)，它們構(gòu)成空間VV1的一組基，空間VI的維數(shù)dimVi=3o(2) V2 =LBi,B2中，Bi與B2線性無關(guān)，它們是V2的一組基，故dimV2=2,而Vl +V2 = LA1,A2 ,A3)+LBl,B2 =L A1,A2,A3,B1,B2 )在 R22 的標(biāo)準(zhǔn)基 En，

5、E12，E21，E22 下，Ai,A2,A3,Bi,B2 對應(yīng)的坐標(biāo) Xi,X2.X?.X4.X5 排成矩陣(X1 X2X3X4 x5) =1101-111000 HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 1020130/1-1-201T000110-1-1-2132 HYPERLINK l bookmark162 o Current Document 00-1y于是dim(Vi+V2 )=4,由維數(shù)定理d i mV(n V )= d iVrrn-121dVim2dVi-m V(12+)32412.設(shè)Wi和W2為Vn的子空間，W1= Ct xi，X2

6、，W2 =(好，。,Xn )丁 I XI = X2 =Xn，證明 Vn= Wl W2 o證明:對Wl，由XI +x2 + Xn=0 ，解得b 玄(一 i o i o)6十二舀(Ti oo d i顯然Wi的維數(shù)dimWi=n-l,而向量組TTTy i i o b, 2專 一 i o T,o) i 6,b)o i為Wl的一組基。對 W2,由 XI = X2 =二Xn ,解得TX2 =k(l 1 1 T, )1w2的基為0 =( i i i于是+= aWi W2 LT11), dimW2=la cc + P = a a9，一12 n 1 L L 1 , 2這里11 HYPERLINK l bookm

7、ark64 o Current Document 10dM (仔飛*冉0)1所以a a a 防Wi 2的基，則1 , 2，, n 1 +Wdim(Wi cw2)=0 ,故有dim (Wi 2+W)=n ,由維數(shù)定理可知Vn =W W2a = a a a B = P 13. R11 中， (J 2 ，n 產(chǎn)，(為內(nèi)積。Ba P2 , , n產(chǎn)，判別下面定義的實(shí)數(shù)（，）是否(a P)=N |%即；( F 尸工 i R ； i=t(a p)=cztAB ,其中A為正定矩陣。 TOC o 1-5 h z TrT解：(1)不是 Rn 上的內(nèi)機(jī)設(shè) =(ai a2 an), a 2= a a2 a；)B =

8、(bl b2 bn )于是nnnn(a . 2P )=E 血 +a； )&= 卜他 +a：b| , T ( X 尸 AX 3 ；R2 2中，T(A)=A： A為A的伴隨矩陣。解: 設(shè)(1)不是,該變換為非線性變換T a =(X2f ， 2 yiTy2)(2)a -kx = T( 1 2)T(xi 是線性變換+ .yi X2+ +yi 1 (X2Tyb % 1 X2 V 1 y2； T( 1)T( 2)(3)不是，因有T QO )工(4)是線性變換T( A Bb T皿 a4_ /b bB，2W b4.(3 +b3 a4 +b4 J Ca3 kai J a3-32 IkA ad16.設(shè)R3中，線性

9、變換T為：Taj=耳,i=l,2,3,其中 q =(1,O,T)T, 2 =(2,1,1)T,- T P = T(1,1,0) ，3(1,2,1),求(1)T在基5下的矩陣;(2)T在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣。解:(1)由 T(% a 2 a3 )=(a2)A及T(qa2 3)= (P1 P 以)a)A = ( 31于是1、7o(2)因?yàn)楣视蠥 = (ai%a 3)t(Q-1-3-23中標(biāo)準(zhǔn)基正交基e =(1RT (ei e2e3)= (ei e2TairpQT 2T Q1=T Qii = 123e?e2e2(l e2 C3 )=1 3e3)( 1T0 0) ,e2e3)AT0) ,e =( 03T

10、i ) =QiT1 ) =(eiT1 ) =(eie2 e3)期=B ie2 e) % 2- 2 e2 e3)#3 = 0 3A(a a 2 a=( B于是-1a 2 %f10r 1/ 2-1r i55-4.設(shè)線性變換R4 t R3 ,有T ( XI , X2 , X3 , X4 )T= ( XI X2 + X3 + X4 , X1 +2 X2一 X4 , XI + X2 + 3X3 - X4 ),，求 N(T)和 R(T)o解：由 N (r )fXI T(X) =0,X =(XI,X2,X3,X4)T ,得下述齊次方程組x-x 2 + x 3+ x r 0I XI + 2x 2- x 4 =

11、 、X1+ X 2 + 3x 3- X解得X所以=k (一 2 3 1T4)(X =由R（r)=YI Y T(X), X = (xi , x2 , X3 , X4 )T，X L X2 +X 1 xi+X22+3X3 +-X4X4!/-t2故有R(T)=a =kik3k4 1或 R(T ) = 1=ki+ k21:a aa B BP.在歐氏空間中，設(shè)有兩組基 】2，與1, 2, , n，滿足關(guān)系式Pl 3；, QP, P 武a aa p 0日則 P是正交陣;證明：（1）若12 ,口與 2都是標(biāo)準(zhǔn)正交基,(2)若叫。2 ；，an是標(biāo)準(zhǔn)正交組，P是正交陣，則Bl,；%是標(biāo)準(zhǔn)正交組。證明：(1)將矩陣

12、P按列分塊，有/ 二)02 ,愜 p )ip 2； p,i)其中.=9%于是an ) pi , i = 1,2；* , n故矩陣P為正交矩陣。(2)與(1)證明過程類似，可證明TT 1 , i = ja ) a =4n ?1n ； P j Pi Pj 0, i / jB P P2, 一】是標(biāo)準(zhǔn)正交基。習(xí)題二1.設(shè)A、B為n階方陣，刀，九21，為是A的特征值，證明tr( AB)=tr( BA)；tr ( AkX /4k ；i=t(3)若 P hAP = B ,則 tr ( A) = tr ( B) = Z 4 o i fc ab證明：(1)設(shè) A = ( 9 ) , , B =( U),則 n

13、nn ntr(AB )=工 口 = 瀉=(BA)i 書= J j 牛 L= -, 八2=()=九=1k(2)因?yàn)?AXi iXi, A Xi A、AXi J.AXiiXi , AXi i Xi故在，*，J為Ak的特征值，于是tr( A)nU 0 k=Z /uii 二(3)由結(jié)論(1 ),得t r( B)= t (r4P A)P - tr( P )1 AP (t)r -凡攔 P( ) tr A1 22 12.設(shè) n 階方陣 A =( ij,nK , nSaij=(xihXk=zj士于是akjXj L i=l,2, ,n,證明A的每一個(gè)特征值九的絕對值|九|X2a xkjnzj士akj1 oTXn

14、）,并設(shè)Ima攵1 X2即有nx| zjT=akjXjnz三階方陣/ 1 -1 1A = x 4 y一 3 -3 5 , /的二重特征值九二2對應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)特征向量, （1）求x與y ；(2)求P ,使 P 1/P = A。解：（1）因齊次方程21- A ）X = 0的解空間維數(shù)為2,則矩陣QI -A的秩為1(21 - N= -XA的特征多項(xiàng)式特征值九尸九2=2 , 3 = 6 TOC o 1-5 h z TT由(21一 A* =0 ,求得特征向量(1 -1 0)產(chǎn)2 =(1 04由(6I-A)X =0 ，求得特征向量a 3=(1 -2 3 )于是11flP =- 10-2 013,且有2

15、 0 0,P、AP= 0 2 0VO 0 6.設(shè)ai與a2是Am n的兩個(gè)不同特征值，且有r (ai I - A) + (a2 I - A)F n證明矩陣A可對角化。證明：設(shè) rank (ail - A) = r , rank ( a2 I- A) = n -r對于(ai I A) X= 0有nr個(gè)線性無關(guān)特征向量對于(a2l - A)X=0有r個(gè)線性無關(guān)特征向量于是矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)特征向量，所以矩陣 A可對角化。.設(shè) R3 中，=(Xl,X2,X3)T 亡13,線性變換 TT ( XI , X2 , X3 )T =(XI + 2x2 + 2x3 ,2 XI + X2 + 2X3 ,2 X

16、I + 2x2 + X3 )T求一組基，使T在此基下的矩陣為對角陣，并求出此對角陣。2 2解：取R3中的一組標(biāo)準(zhǔn)基 J 23,則有 XI 1tF)T 釁 q E3)x2 =(彳 s2X3得線性變換t在基q g下的矩陣 TOC o 1-5 h z J2iA 212、22I2A的特征多項(xiàng)式- A =(九+ 1)-(九一特征值乙二乙二1，九3 = 5TT由（- I- A）X =0,解得特征向量 a 7（一 1 1 0）7 2=（-1 0 1 ）T由（51 A）X = 0,解得特征向量3=（ 1 1 。于是P=(%- 1 - 1叼= 1 0 01hr-1：,P-1 AP= -1A、5/ TOC o 1

17、-5 h z z z z- -矩陣P為從基1, 2, 3到所求基2,3的過渡矩陣，于是卜 1 -111患匕2 K )=(81 8 2 % )P= 10101 IJ1、y 片 聲線性變換T在基-3下的矩陣為 一 1I 5.求可逆矩陣P及J,使P 1-P =J，其中，2 -1 - 1A = 2- 1 - 2Cl 12解：A的特征多項(xiàng)式內(nèi)一氐=一飛一 I）3特征值為A = % = % = 1一 11再由(1一 A)X = -2 2 1 1XIX2X3%)解得特征子空間VF的一組基=(1 1 0)2 =(010a =k a + a = (+特征向量 k2 2 ki ki k2k2(k2 1由(I -

18、A)P =a = ki + kiI k3 Jkiki + k2 T-k2 /-111得增廣矩陣 一222、1 - 1- 1-111 ： k2*00 0 : k2 - ki.、0 0 0 kl k2 y若方程組一 A)B =a 有解(相容，rank (I- A尸 rank( I -Ala),則有 ki =k2。T取匕=k2 = 1,得a=(1 2 F)由(I A)P =Q 2 -1)TT解得廣義特征向量 P =( 1 o 0 )11 1、取 p =(a a B )= i 2 0、0 - 1 0.,則有d 、pJ AP =1 1 = JIO.設(shè)W = Lex, xex, x2 ex, e2 x 為

19、函數(shù)向量ex, xex, x2 ex ,e2x生成的4維空間，T為導(dǎo)數(shù)變換,(1)求T在基x, xex , x2ex , e2 x下的矩陣;(2)找一組基，使 T在此基下為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。d解：(1) T =,十是dxxex x2ex C2x )=(ex e,+xe 2xex x2 ex 2e2 x)=(exxexx2 e100120010002；T在基ex , xex , x2 ex , e2 x下的矩陣10 A=0100120010001(2) P LAP =110 0,0110, p HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 00 10 HY

20、PERLINK l bookmark114 o Current Document 、00 02JooO0 10010 00 0 00 bxex xxex e2x )P=；exxexi ex u0 01線性變換T在建工26之4下的矩陣為1 01 00 2.在多項(xiàng)式空間Pn X中，T為是Pn x的一個(gè)導(dǎo)數(shù)變換，證明T在任一基下的矩陣不可對角化。d1)1,0 0 2xfo,|0 二 nlSo J證明：T =一,于是 dxx x119區(qū) A2 1 - 2 ,求 Ai0 o【一 112-解：由題(6),有 xnT)=( 1 X X- X。丁尸(0 1 2x (n H)xk 尸(1 x x2 dx 10

21、0 2 +A - 0 TOC o 1-5 h z ! 0n 1 HYPERLINK l bookmark220 o Current Document lo0 JK =/. 0 =矩陣A的特征值為12 n而rank (A)n -1,故A僅有一個(gè)特征向量，所以A不可對角化。P十AP于是L 100于是r Aioo =1J10011】 1J11001 )101100 一 100Al 00200 199 - 200100100101.10.設(shè)A為n階方陣，證明:(1)若 A2-AT =0,則A可對角化;（2）若八及=1, k為大于1的整整數(shù)，則A可對角化。證明：（1）因?yàn)锳? -A- 1= 0 ,則A的

22、化零多項(xiàng)式（九）=九2一九十萬（入+ 2（九一）無重根，A的最小化零多項(xiàng)式可整除任意A的化零多項(xiàng)式，故A的最小多項(xiàng)式無重根，于是A可對角化。（2）因?yàn)锳k = I ,得A的化零多項(xiàng)式“）=，- 1中尸九k一千1）（也寸+九k +九+ 1）而中尸0無重根，于是A的最小多項(xiàng)式無重根，所以矩陣A可對角化。132zy132zy-11.設(shè) A 4 4 =k6-7(1)求A的LDV分解;(2)設(shè) b 二 (1解:(1)2 -1)X1 14 -416 7令,-P2這里矩陣令日于是習(xí)題三AX=bo2682）丁，用LDV分解求解方程組0!0則PAp為行初等變換矩陣X LIT(2)由 AX b 得 L D V上P

23、P I pPPPA2、y o0vl13-2f9= LDV令 D V X= Z,則有LZ= b令vx w,則有由LZD Y= Z =bziZ2解得Z1 Z2 Z3 1由DY2(2yiY2-2解得yiY2Y3)T再由VX =Y_1210)XIX2X3,1)解得XIX2X3322.求下列矩陣的滿秩分解(2)123,0 2 111024解：（1）( )0 012 11 T 2i i 0矩陣第1列和第0 02 112i i列線性無關(guān)，于是滿秩分解為o2I 2i-120(2)301 - IT00,0 211 1 -20 02 120 TOC o 1-5 h z 1230 ( 12021- IT 020-2

24、-11 J 1000 21、1 11 -22/3.設(shè)A w C , A的分塊為AY、,其中XW? C ixr , rank ( A)= rank ( X )=r ,W =ZX，Y,證明A有如下形式的滿秩分解A= |（ ir X）, A =_ （XY）Z殳 X 1 J證明：因?yàn)閞ank （ A） = rank（ X） = r ,矩陣A的前r個(gè)列（ 是A的極大尢關(guān)列，A的后I 7）r y）nr個(gè)列可由（X線性表示，即lz）故有XH ；、ZH JYLE J IZH Z ZXY( X I _)=Ir2 ( r IX、zx X、(Ir I X - 3 3、 yI .)=I |(X I Y )、ZX 4

25、.陣 A3 - 56 - 63的譜分解。4解：矩陣A的特征多項(xiàng)式 f（7）=（九+2）2（九一4）對應(yīng)特征值2的特征向量，由下述方程求得3 -3(AI 過 0=,即 3 3 3-X2、6 -63Yxx公、:=091X3) 0)T解得特征向量a 1 = (11 0)T“2=(-101)對應(yīng)特征值 兒3 = 4的特征向量,由下述方程求得-3(AWI X 卜，即 3、6-3,X、-93產(chǎn)一6Q1 X3)T解得特征向量a 3=(11 2)于是故有矩陣A的譜分解2A乎 -2- 2P i= P -24.， 、十+ P 0P 10 J I 4,.明反對稱矩陣An ( AT = - A)和反Hermite矩陣

26、B e C (BH = B)的特征值為0和純虛數(shù)。證明：設(shè)A =一,九為矩陣A的特征值，即有AX” XXT at= f- XT水Tax =九 xTx-xTx = k xTx得一九二九，所以九=o設(shè)B” = -B ,九為矩陣B的特征值，即有B X =?. XXH BH = X X_xhbx = xxHx一九 xHx= zxHx得一九二1,令九=a +ib a i b a i b a 0則有 一 一 二 一，得 二 所以九為純虛數(shù)。.A與B為正規(guī)矩陣，證明 A與B酉相似的充分必要條件是 A與B的特征值相同。 證明：（1）充分性設(shè)A與B為正規(guī)矩陣，且特征值相同，則對U H AU= d i （a;g

27、, % ,；，入 1112 n二 . 、 h K hU 2H BU2 di(agl, 2 ，n故有 U2h BU2=Uhi AU 1A與B分別存在酉矩陣Ul和U2,使）HH即B B UiA U U =(212所以 A與B相似 (2)必要性hHU U)1 2HHA Up = U AU 12設(shè)A與B相似，則有B =U H AU于是九I -B = ZI -U H AU i =|/uUHU-UH AU = UH|?J - A|U | = ?,I - A)故A與B的特征值相同。.設(shè)A宅m葦（1）證明A14 A與AA14的非零特征值相同；（2）設(shè)ah a的非零特征值 機(jī)力，、對應(yīng)的正交特征向量為 % ?2

28、7，中，則aah的 特征值h，.二，對應(yīng)的特征向量為 a4 , Aa2，a4且它們也是正交向量組。證明：（1）解：(1)解：(1) TOC o 1-5 h z In AH ： In AH-I n A 取，有=I m /1 0 Im ;10I m ,In AH T ?AH A 0 fn AH 00、i因?yàn)镴=0 I m J V A Q/ 0 Im j A AA ) 于是f AH A 0 A 0 故有00 1-A AAh)I I fAH A 01V A 0九mIn A14 =AAH/. I n A” A = 0 U; ?vl m AA” = 0所以A11 A與AAH的非零特征值相同。(2)設(shè) A1

29、1 用i =%, i =t,2,，r于是(AAh )%i=九 i (%i )所以A?(Fl,2,，r)為AAH的特征向量。(用)H(/j f aHiAH kj= / (。=九j10 , i( p )a a故特征向量組為Ai ,A 2a,A r正交向量組。(2)boo、ooo1000018.求下列矩陣的奇異值分解Jo(1)0 1 1 1 7特征值九1=3, 2=1，奇異值為。=$392=1，2U少人X2) VoJ解得特征向量a9 =(1由此得正交矩陣于是。=( y設(shè) XI X2 X3P P由 Ul和 U2 ,得:+ + =XI X 2 2x 3 0X2 0I XIB=( 解得 ll奇異值分解為r

30、_J.“ q AC 卜小y6 (2)r 0 0 01001 O 0000 0 0 0 1 0 0 ;I 0 0 0 V 0 0 1I，1 0 oj，-13 0 0 0 =/.(%_1。0 1特征值九1= l%2=0,奇異值為。 由P 0磯3r( 0 1- 0 0 0 X2 =(1。d, 1 x J 卜r 1 o o3 rc 1 1 - 0 0 0 X2 = CLVo0 1JA X3；4由此得正交矩陣100=VO 0 1 010于是0 0 0，0 0 0 ( 1u =t 1000=1 jo o i1 )B = fT設(shè)VX1 X2 X3 X4P ln Puu ,由1 92 ,得/心y_j-I o缶

31、內(nèi) o o| 111 7kV 2 V2 )F1 0 0、！0 0 0、0L21)=1,q2 =0、) T) 解得特征向量%=(o 1 0 ) 、)TT)解得特征向量。2 =(I o 0)33=(0 0 1 )uAJ 0 0 0/ Aof 00 0 0 o1o u2 = _r i o o o =oi L! o o i 計(jì)算： IaLJIXJaxLI 42I,axL解：|a| = max3 + v，106廠2 5)=寸 G。a|L = m a t 4 1廿sT +2 5)9g 百 0 +2 5TAx =( 2 7 - i 2+ 6)II Axli =2 + 小 40II AxL =94T _xj

32、u Rn ,證明由|axL = 50.設(shè)ai,a2, , an均為正實(shí)數(shù)，向量 xxi X2定義的非負(fù)實(shí)數(shù)是證明:R11空間的一個(gè)向量范數(shù)。(1)正定性:之0 ,若| x| =0 ,則有x= 0(2)齊次性:fk2E aiXi 2I T=|k| fs aiM=(3)三角不等式:2=Z a“Xi+yi)2 =Ei (xi2 + 2Xi yi + yi2 ai( xf+ yi?廣2 Sii Xi yiI itx| 十|y|2 n+ 2Z ai xx yi i=l由Cauchy不等式，得n aiXiy所以= 4aiXiMaiyi)&Z (jSTxi) 2 i fe)2+X y故有292廠+1 ffl

33、xly* Ixin/mn ma?d a y11 11i.i i1100 0 0解：(1)取A 二.0 0 000Jo/ 2 00 a a- oooA 七二：:：. 0 0。|aK，Ml =i，k +b|=2不滿足相容性條件I AB |引硼i(2)正定性，齊次性，三角不等式顯然滿足j AB| 二 Jms max 工 aik bkj -Jms maxY aik|j bijj % mnmax ayiJyjns max| bi = | 7 | B|相容性條件滿足。.設(shè)| A|p是由向量| x|p誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)， A可逆，證明證明：（1）由矩陣范數(shù)相容定義，有由矩陣的誘導(dǎo)范數(shù)，有14 =Haa1 UHa-Ip所以|Ak(2) A所以At= maxX #=minX #NPII AxilTT pmaxX式)*UpAyllPmaxy#Upminy始FTllyllP.證明（