全國百套高考數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編立體幾何解答題

1、2008 屆全國百套高考數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編-073立體幾何解答題a2008屆全國百套高考數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編07立體幾何三、解答題（第一部分）1、（廣東省廣州執(zhí)信中學(xué)、中山紀(jì)念中學(xué)、深圳外國語學(xué)校三校期末聯(lián)考）（本小題滿分12分）如圖，直四棱柱 ABCD 一AiBiCiDi的高為3,底面是邊長為4且/DAB=60的菱形，ACA BD=O, AiCiABiDi=Oi, E 是 OiA 的中點(diǎn).（1）求二面角Oi BCD的大??；（2）求點(diǎn)E到平面OiBC的距離.解法一：（D過。作OFLBC于F,連接OiF,. OOiXW AC,BCXOiF, TOC o 1-5 h z /OiFO是二面角Oi

2、BC D的平面角，3分. OB=2, /OBF=60,OF=我.在 RtzXOiOF 在，tan/OiFO=OL 3而OF 3, ./OiFO=60 即二面角 Oi BC D 為 60 6分(2)在 AOiAC 中，OE 是AOiAC 的中位線，a OE/ OiC .OE/OiBC, V BCW OiOF, .面 OiBC，面 OiOF,交線 OiF.i0分i2分過。作OHOiF于H,則OH是點(diǎn)。到面OiBC的距離,解法二：（i） .OOi,平面 AC,.OH=3. .點(diǎn)E到面OiBC的距離等于3.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖）.OOiXOA, OOiXOB,又 OALOB,底面ABCD

3、是邊長為4, /DAB=60的菱形,6=2向 OB=2,M A (273, 0, 0) , B (0, 2, 0),C (-273 , 0, 0) , Oi (0, 0, 3)設(shè)平面OiBC的法向量為n：= (x,y, z),.2y ;z 0,則 z=2,則 x= V3, y=3,5.分 TOC o 1-5 h z 2 - 3x 3z 0 II. nr= ( - v3, 3, 2),而平面 AC 的法向量 n2= (0, 0, 3) .cos= J1 n61,|n；11n2 |3 42設(shè) Oi BC D 的平面角為 & -cos a1,a =60故二面角Oi BC D為60.6分(2)設(shè)點(diǎn)E到

4、平面OiBC的距離為d,.E 是 OiA 的中點(diǎn)，.貳=(6, 0, 1) , 9 分-1(3 0 3)(3 3 2) IQ則d=|EOi n| 二213 二點(diǎn)E到面OiBC的距離等于3。i2分|ni|( 3)2 32 22222、(江蘇省啟東中學(xué)2008年高三綜合測(cè)試一)如圖在三棱錐S ABC中 ACB 900 ,SA 面ABC , AC 2 , BC 濟(jì)3, SB V29。(i)證明 SC BC。(2)求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小。(3)求異面直線SC與AB所成角的大小。解：(i) . /SAB=/SCA=900SA AB SA AC AB AC ASA 面 ABC由于 ACB

5、 900 即 BC AC由三重線定理得SC BC (2) BC AC BC SCSCA側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的平面角在Rt SCB中，由于 BC . 13.SB29 SC 4在Rt SAC中由于AC 2 SC 4AC 1COS SCA - SC 2SCA 600即側(cè)面SBCf底面ABO成的二面角的大小為 600(3)過C作CD / BA.過A作AD / BC交點(diǎn)為D.則四邊形ABCDI平行四邊形DC=AB= AC2 BC217又SASB2 AB2 2、,3.SD , SA2 AD2 5故在 SCD中,COS SCD=71717SC與AB所成角的大小為 arc cos173、(江蘇省啟

6、東中學(xué)高三綜合測(cè)試二)在Rt ABC中，/ACB=30 , zB=90 ,D為AC中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F,將AABD沿BD折起，二面角A-BD-C大小記為0.(I )求證：面 AEFXWBCD;(H) 8為何值時(shí)，ABXCD.解：(I)證明：在RtzXABC中，/C=30 ,D為AC的中點(diǎn)，則 ABD是等邊三角形又E是BD的中點(diǎn)，; BDXAE, BDXEF,折起后，AEAEF=E, /. BD1WAEF. BD 面BCD, .面AEFL面BCD(H)解：過A作APL面BCD于P,則P在FE的延長線上，設(shè)BP與CD相交于Q,令A(yù)B=1,則 ABD是邊長為1的等邊三角形，若

7、ABXCD,則BQLCD1PE AE36. 3 PE，又AE ,折后有 cos AEP AE13,由于/ AEF= 8就是二面角A-BD-C的平面角,1 一，當(dāng)-arccos時(shí)AB CD.34、(江蘇省啟東中學(xué)高三綜合測(cè)試三)如圖，在斜三棱柱ABCAiBiCi中，側(cè)面AAiBiB，底面ABC ,側(cè)棱AAi與底面ABC成60的角，AAi=2,底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)，E是線段BCi上一點(diǎn)，且 BE=-BCi0 3(1)求證:GE/側(cè)面 AAiBiB;(2)求平面BiGE與底面民ABC所成銳二面角的大小。、.2、3. 21答案： （1） 略；（2） arctan（arccos）

8、 5、(江蘇省啟東中學(xué)高三綜合測(cè)試四)如圖，正方形ABCD和ABEF的邊長均為1,且它們所在的平面互相垂直，G為BC的中點(diǎn).(I )求點(diǎn)G到平面ADE的距離；(H)求二面角E GD A的正切值.解：（I ） V BC / AD, AD 面 ADE,.二點(diǎn)G到平面ADE的距離即點(diǎn)B到平面ADE的距離.連 BF 交 AE 于 H,則 BFXAE,又 BFXAD. BH即點(diǎn)B到平面ADE的距離.z. A q-.2在 RtABE 中，BH .22.二點(diǎn)G到平面ADE的距離為.(II)過點(diǎn)B作BNDG于點(diǎn)N,連EN,由三垂線定理知 ENXDN.ENB為二面角EGDA的平面角.在 RtzXBNG 中,si

9、nBGNsinDGC2.55 BN BG sinBGN1 2,5,55WJ RtzXEBN 中,tanENB BE所以二面角E GDa的正切值為75.6、(安徽省皖南八校2008屆高三第一次聯(lián)考)如圖，已知PA 面ABCD, PA ABBAD ADC1八AD CD,2900 ;(1)在面PCD上找一點(diǎn)M,使 BM 面PCD。(2)求由面PBC與面PAD所成角的二面角的正切解：(1) M為PC的中點(diǎn)，設(shè)PD中點(diǎn)為N,WJ MN= -CD,且 MN/ -CD,MN=AB , 22MN/AB.ABMN為平行四邊形，.BM /AN,又PA = AD, /PAD= 9 0aANXPD,又CDAN, ；A

10、N，面PCD, a BMHPCD,(1 )延長C B交D A于E, AB= -CD0 AB /- CD；AE = AD = PA, a PDP E又.PELCD,.PE，面PCD,丁./C PD為二面角C P E D的平面角；PD =五AD,CD= 2 AD;.tan/CP D= 27、已知斜三棱柱 ABC AB1c1 , BCA 90；,AC BC 2 , A在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D ,又知 BA1 AC1。(I)求證：AC1 平面ABC ;(II)求CCi到平面AAB的距離；(III)求二面角A AB C的大小。解：(I)因?yàn)锳iD 平面ABC ,所以平面AAiCiC 平面AB

11、C ,又BC AC ,所以BC 平面AACiC ,得 BC AC1,又 BA AC1所以ACi 平面ABC ; 4分(II)因?yàn)锳Ci AiC,所以四邊形AACiC為菱形，故AAi AC 2 ,又D為AC中點(diǎn)，知 AAC 60：。取AAi中點(diǎn)F ,則AAi 平面BCF ,從而面AAB 面BCF ,過 C 作CH BF 于 H,WJCH 面 AiAB,在 Rt BCF 中，BC 2,CF 73 ,故 CH即CCi到平面AiAB的距離為CH(III)過 H 作 HG AB于 G ,連CG ,則 CG AB ,從而CGH為二面角A AiB C的平面角，在 Rt ABC 中，AiC BC 2 ,所以

12、CG 金,在 Rt CGH 中，sin CGHCH 42CG 742分故二面角 A AiB C的大小為arcsinX)2。解法2: (I)如圖，取AB的中點(diǎn)E,則DEBC ,因?yàn)锽C所以DE AC,又AD 平面ABC,以DE ,DC ,DAi為x, y, z軸建立空間坐標(biāo)系,則 A 0, 1,0 , C 0,1,0 ,B 2,1,0 ,A 0,0,t , C1 0,2,t ,ACiCB03t2,0,0又BA1BA 2, 1,ti!，由 AC CB 0,知 A1C CB ,ACi,從而AG 平面ABC;(II)由 AC；3 t2設(shè)平面A1AB的法向量為nx,y,z ,2 +Ai4分0,1, .3

13、AB2,2,0 ,所以y 、3z 0,設(shè) z 1,2x 2y 0則 n *：3, 3,1所以點(diǎn)Ci到平面AAB的距離d8 分(III)再設(shè)平面ABC的法向量為m x, y,z , CA1CB2,0,0 ,所以m CA1y 13z 071T y，設(shè)z 1,則m CB 2x 0y ,根據(jù)法向量的方向,故cos m,n可知二面角A A1B C的大小為arccos8、(四川省成都市新都一中高2008級(jí)一診適應(yīng)性測(cè)試)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中,3 AB=AC=AA1=a,且/ CAB=90 ,二棱錐 P-ABC 中，PC 平面 BB1C1C,且 PB=PC= a .(1)求直線PA與平面ABC

14、所成角的正切值 (2)求證：PB/平面AB1C(3)求二面角A-PB-C的大小.解：(1)取 BC 的中點(diǎn) M ,連 AM ,PM , PB PC ,PM BC ,面 PBC 面 ABC ,PM 面 ABC ,PAM是直線PA與面ABC所成的角,在 Rt ABC 中，AB AC a,CAB90，,AM 立a,2Rt,3aPBM 中，PB -,BM22a,2PM12a，tanPAMPMAMtanPB由(1)知BM,2a2PM1-a 2tanPBM ,又 tan B1cB22PBMtan B1CB ,PBMBiCB ,PB / CB1 ,H AB1C , CB1 面 ABC,PB/ 面 ABiC(

15、3)由(1)知AM，面CPB,由三垂線定理可知 AHPB,在面PBC中過M作MHPB,垂足為H,連接AH,則/AHM為二面角A-PB-C的平面角10分在 Rt 公HM 中，tan/AHM-AM=、,. ./AHM= MH39、(四川省成都市一診)如圖，四棱錐 P-ABCD中，PAL平面ABCD, PA=AB = BC=2, E為PA的中點(diǎn)，過E作平行于底面的平面EFGH,分別與另外三條側(cè)棱相交于點(diǎn)F、G、H.已知底面ABCD為直角梯AD/BC, AB AD , /BCD=135 .(1)求異面直線AF與BG所成的角的大小;形,(2)求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小.解：由題意可知：

16、AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz由平面幾何知識(shí)知:AD =4,D(0,4,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(1,0,1),G(1,1,1)2 分（i）aF =（i,o,i）,bG=（-1,1,1）.AF bG=o- 萬AF與BG所成角為24分（2）可證明AD，平面APB平面APB的法向量為n = （0,1,0）設(shè)平面CPD的法向量為m = （1, y, z）故 m = (1,1,2)y=iz = 2cos =m n m|m| |n廠 6平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小為6 arccosT 610、（四川省成都市

17、新都一中高2008級(jí)12月月考）如圖，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，/ABC=/BCD = 90,AB=BC=PB=PC = 2CD=2,側(cè)面 PBCL底面 ABCD(1)求證：PAX BD;(2)求二面角PDCB的大??；求證：平面 PAD，平面PAB.本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，二面角,空間想想能力，以及綜合解題能力方法一：（1）證明： PB PC,POBC又 平面PBC 平面ABCD平面PBC平面ABCD=BC,PO平面ABCD在梯形 ABCD中，可得Rt ABORtBCDBEO OAB DBA DBCDBA 90 ,即 AO BD TOC o 1-5 h z P

18、A在平面ABCD內(nèi)的射影為AO,PA BD4分(2)解： DC BC ,且平面PBC 平面ABCD.DS平面 PBC PC 平面 PBC, DC PC/PCB為二面角PDCB的平面角分PBC是等邊三角形，./PCB=60,即二面角PDC B的大小為608分AB(3)證明：取PB的中點(diǎn)N,連結(jié)CN. PC=BC, .CNIPBM AB BC ,且平面PBC 平面ABCDAB平面PBC 10分AB 平面PAB 平面PBC 平面PAB由、知CN，平面PAB連結(jié) DM、MN,則由 MN / AB / CDMN = ；AB = CD,得四邊形MNCD為平行四邊形 .CN/ DM .DM,平面 PAB.

19、DM 平面PAD平面PAD，平面PAB方法二：取BC的中點(diǎn)O,因?yàn)?PBC是等邊三角形，由側(cè)面PBCL底面ABCD 得POL底面ABCD 1分以BC中點(diǎn)。為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)。的AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz2分(1)證明：VCD = 1,則在直角梯形中， AB BC 2在等邊三角形PBC中，PO 再A(1, 2,0), B (1,0,0) , D ( 1, 1,0) , P (0,0,百BD ( 2, 1,0),PA (1, 2, ,3)BD ,即 PA BDBD PA ( 2) 1 ( 1) (2) 0(. 3) 0 PA (2)解：取PC中點(diǎn)N,

20、則BN ( 2, 02DC (0,2,0), CP (1,0, 3)BN DC3(一)002BN CPBN平面PDC,顯然OP(0, 0, CiDi X - XAiAXDiBi)i i ,i , 3、.3=-X- ( - M X-)=五(m)解:因?yàn)镈i是AiBi上一動(dòng)點(diǎn),所以當(dāng)Di與Ai重合時(shí)，二面角Di-ACi-C的大小為冗；A要 Bi(D當(dāng)Di與Bi重合時(shí), 如圖，分別延長AiCi和ACi,過Bi作BiELAiCi延長于E,依條件可知平面 AiBiCi,平面ACCiAi,所以BiE，平面ACCiAi.過點(diǎn)E作EFLAiCi,垂直為F.連結(jié)FBi,所以 FBiXAiCi.所以/ BiFE是

21、所求二面角的平面角. ii分容易求出BiE=1 , FE=2.所以 tan/ BiFE= BE = .6 .FE所以/ BiFE= arctan而.(或 arccosj)i3分所以二面角Di-ACi-C的取值范圍是arctan/6 ,九(或arccos7 ,兀)方法2：(D , ( H )略(m)解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有A(i, 0, 0), Bi(-i,i),22Ci(0, 0, i).因?yàn)镈i是AiBi上一動(dòng)點(diǎn),所以當(dāng)Di與Ai重合時(shí)，二面角Di-ACi-C的大小為九;當(dāng)Di與Bi重合時(shí),顯然向量ni=(0, 1, 0)是平面ACCiAi的一個(gè)法向量.因?yàn)?GA=(i, 0, -i

22、),設(shè)平面CiABi的法向量是n2=(x, y, z),02=0,解得平面CiABi的一個(gè)法向量n2=(i,i).因?yàn)?ni n2=-| ni|=i,3設(shè)二面角Bi-ACi-C的大小為制解：(I)二.直三棱柱 ABCAiBiCi,B1B，面 ABC,BiBXAB.又AB，BC, ABW BCC1B1.連結(jié)BCi,則/ ACiB為ACi與平面BiBCCi所成角.依題設(shè)知，BCi=2；5,在RtzXABCi中， TOC o 1-5 h z ,c AB 22tan ACi B - 5刀BCi 2.222分(II)如圖，連結(jié)DF,在ABCi中，: D、F分別為AB、BCi,的中點(diǎn), .DF/ACi,又

23、DF 平面 BiDC, ACi 平面 BiDC,. .ACi /平面 BiDC.i0.分.PBi=x, S bcc12.當(dāng)點(diǎn)P從E點(diǎn)出發(fā)到Ai點(diǎn),即x 1,2時(shí),由1)同理可證PBi,面BBiCiC,VP BCCi3 s BCCiPBi2x3.12,2%；2時(shí)，Vp Beg Sbcc2x三棱錐PBCCi的體積表達(dá)式V(x) 343當(dāng)點(diǎn)P從Ai點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，即xx 1,2x2,2 . 2.AB在直三棱柱 ABCAiBiCi中，/ BAC=9015、(北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí)一)如圖,AB=BBi,直線BiC與平面ABC成30角(I)求證：平面 BiAC，平面ABBiAi;(II)求直線

24、AiC與平面BiAC所成角的正弦值;(III)求二面角BBiCA的大小.解法一：(I)證明：由直三棱柱性質(zhì)，BiB，平面ABC,.-.BiBAC,又 BAXAC, BiBABA=B ,.AC,平面 ABBiAi,又AC 平面BiAC,平面 BiAC,平面 ABBiAi.4分(II)解：過Ai做AiM XBiAi,垂足為M,連結(jié)CM,平面 BiAC,平面 ABBiA,且平面 BiACA平面 ABBiAi=BiA,.AiM，平面 BiAC.丁 / AiCM為直線AiC與平聞BiAC所成的角，直線BiC與平回ABC成30角， ./ BiCB=30.設(shè) AB=BBi=a,可得 BiC=2a, BC=V

25、3a,AC V2a ,從而 A1c /3a,又 A|M a,2AiM近sin A1cM .AC 6，._ -八 一 一、一 V 6直線AiC與平面BiAC所成角的正弦值為 .6(III )解：過A做AN LBC,垂足為N,過N做NOLBiC,A9分垂足為O,連結(jié)AO,由ANLBC,可得AN,平向BCCiBi,由三垂線定埋，可知 A/AON為二面角BBiCA的平間角，AB AC .6ABi ACAN .ANa, AOa, sin AONBC3BiCAO6 一面角B BiC A的大小為arcsin .3解法二卡可僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝2i 汰，OXBiC,_6.3i4分1(I

26、)證明：同解法一 4分(II)解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系 Axyz,直線BiC與平面ABC成30角， ./ BiCB=30.設(shè) AB=BiB=1 ,則 BC , 3, AC .2.則A(0,0,0), B(0,1,0), C( . 2,0,0), Ai(0,0,1), Bi(0,1,1).連結(jié)AiB,易知AB是平面BiAC的一個(gè)法向量，AB (0,1, 1)，又AC(J2,0,1), TOC o 1-5 h z A1B AC 1. 6cos AB,AC ：,|AB| | AC I 66直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為 由.9分6(III)解：設(shè)n (x,y,z)為平面BCCiBi的一

27、個(gè)法向量,貝UnBB,nBC,又甌 (0,0,1), BC (、2, 1,0),z 0,2x y 0,令x 1,則y 技z 0,彳#n (1, .2,0).又A1B是平面B1AC的一個(gè)法向量，設(shè)二面角B B1C A的大小為，,32貝U coscos n, A1 B n A1 B .|n| |AiB|一二面角 B BiCA 的大小為 arccos3圖，在四棱錐P面ABCD是邊長16、(北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí)二)如ABCD中，平面PABL平面ABCD,底為2的正方形， PAB為等邊三角形.(1)求PC與平面ABCD所成角的大??；(2)求二面角BACP的大小;(3)求點(diǎn)A到平面PCD的距

28、離.C1)解：設(shè)。為46中點(diǎn)，連鉆戶口，CO,；以“氏,口上尻和 又平面必的平面丹BGD,且交線為金叢辛0_L平面4BUD卡 .NPCO為直線PC與平面工89所成的角3 由底面正方形邊長為方期B為等邊三角形，以0、L r-/：N可得加的，s舊人小、715二PC與平面所成的懿絲為arctan -. 口二力 分+S)解：道。敝。匠IRQ垂足為E連結(jié)戶TPCU平面配8,則三垂線定理，可知PE_LMG -,ZPfO為二面角3TC-P的平面角金，二面角P-AC-B的大小為arctan 加10分4)解；:SB/平面P.點(diǎn)4到平面P的距離等于點(diǎn)0到平面戶0的距離* 取 S中點(diǎn)M 用藥0M Mb ：FQ18p

29、 QML8,，8，平面。時(shí)”*,平面P0M_L平面PCD,道。撇WLLPM 垂足為M則 以上平面PS*在APQM中，尸。=75,。附乙 可得月陽=/, 42751二點(diǎn)/到平面PCD的距離為一*一.;_ *;14分3解法(1)解：同解法(2)解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系 O則 A (1, 0, 0) , B (1, 0, 0),則 P (0, 0, 33) , C (1, 2, 0)(x, y, z)為平面PAC的一個(gè)法向里，則 n PA,n PC.可求得 0=上.又 Pt g /. PEO= 4又 PA ( 1,0, ,3),PC (1,2,3),3,y3x , 3z 0,令z=1,得x x

30、2y , 3z 0.得 n ( 3, .3,1).又OP是平面ABC的一個(gè)法向量,設(shè)二面角B-AC-P的大小為 ，則coscos n, OPnOP|n| |OP|7 、3二面角P AC B的大小為arccos10分(3)解：設(shè)m (a,b,c)為平面PCD的一個(gè)法向量.則 m PD,m PC.由 D (1, 2, 0),可知 PD ( 1,2, 73)，又PC (1,2, 33 ),a 2b 3c 0, 人 可得a=0,令ba 2b .3c 0.33 ,則 c=2.得 m (0j3,2).PA (1,0, V3),設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d,則d| m PA| 2 . 32 . 21| m

31、|.772 21.二點(diǎn)A到平面PCD的距離為.717、(北京市豐臺(tái)區(qū)2008年4月高三統(tǒng)一練習(xí)一)已知如圖(1),正三角形ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點(diǎn)，且CE CF k，現(xiàn)將 ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如 CA CB(I )試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說D滿足 A圖(2).D 明理由;(H)求二面角B-AC-D的大?。?m)若異面直線AB與DE所成角的余弦值為 叵4圖(1),求k的值.A解：(I) AB/平面 DEF.在 4ABC 中，: E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)，且滿足CEAB/ EF.v AB 平面 DEF ,

32、EF 平面 DEF , (H)過D點(diǎn)作DGLAC于G,連結(jié)BG,v ADXCD, BDXCD,僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝24CA圖(2)AB /平面C,DCFCB bDEF./ADB是二面角A-CD-B的平面角. /ADB= 90；,即 BDXAD.BDL平面 ADC.BDXAC. AC,平面 BGD. BGXAC . /BGD是二面角B-AC-D的平面角.在 ADC 中，AD=a, DC=相，AC=2a,.dg AD|DC 亙AC2a3aF在 RtA BDG 中，tanBGDBDDG2,3VBGD arctan紅33即二面角B-AC-D的大小為arctan2p 8分（m）v

33、 AB/ EF,/DEF（或其補(bǔ)角）是異面直線AB與DE所成的角.分AB 72a, EF T2ak.又 DC=點(diǎn)a , CE kCA 2ak ,DF DE . DC2 CE2 2Dc|ce|cos ACD,3a2 4a2k2 2.3a|2ak|cos30、3a2 4a2k2 6a2k a .3 4k2 6k.11分cos DEF2.2akDE2 EF2 DF 2 _EF _2 2DE|EF2DE 4 .闋aj3 4k2 6k.解得 k = 2.18、（北京市海淀區(qū)2008年高三統(tǒng)一練習(xí)一）如圖,四棱錐P ABCD中，PA，底面ABCD, PC，AD .底面 ABCD為梯形，AB/DC , AB

34、 BC .PA AB BC ,點(diǎn)E在棱PB上，且PE 2EB .（I ）求證：平面PAB,平面PCB;（II ）求證：PD / 平面 EAC ;（m）求二面角A EC P的大小.證明：（I ）;PA，底面 ABCD,PA BC .C又 ABBC, PApAB A,BC，平面 PAB.2分又BC 平面PCB ,平面PAB 平面PCB .4分(H);PA，底面 ABCD,AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影.又PCAD,.ACXAD.7在梯形ABCD中，由ABXBC, AB=BC,得二 DCA BAC .4又AC LAD,故 DAC為等腰直角三角形.DC T2AC 近 72AB 2AB .連接BD ,

35、交AC于點(diǎn)MDMMB2, PE在BPD中，EBPD/EM又PD 平面EAC, EM 平面EAC, .PD / 平面 EAC.(m)在等腰直角 PAB中，取PB中點(diǎn)N ,連結(jié)AN ,則AN PB .v平面PAB 平面PCB ,且平面PAB Pl平面PCB = PB , AN 平面 PBC .在平面PBC內(nèi)，過N作NH 直線CE于H ,連結(jié)AH ,由于NH是AH在平面CEB 內(nèi)的射影，故AH CE .AHN就是二面角 ACEP的平面角.12分1 NE -PB62a6,CE CB2一211BE23由NHCE,EB CB可知:NEH sNHNECBCE代入解得：NHBE 3PB在Rt AHN中,AN旦

36、,2 tan AHNANNH13分在 Rt PBC 中，設(shè) CB a ,貝U PB J PA2 AB214分即二面角ACEP的大小為arctan J11.解法二:n ）以A為原點(diǎn)，AB, AP所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè) PA AB BC則 A 0,0,00,a,0,C a,a,0 , P 0,0,a ,a,y,0 ,5分2a ay* CP AD,2,設(shè) D a, y,0 ,則CP a, a,a ,AD0,解得:DC 2AB.連結(jié)BD ,交AC于點(diǎn)則DM型2.7分MB ABPE DM在 BPD中，EB MB二 PD/EM .又PD 平面EAC, EM 平面EAC, .P

37、D / 平面 EAC.ni（田）設(shè)n x, y,1為平面EAC的一個(gè)法向量，則ax ay 0, 現(xiàn)a 0.解得:1x 2,y1 2/11 .、 n1 (2,萬.設(shè)n2x,y,1為平面EBC的一個(gè)法向量，則n211分BC,n2 BE解得:a,0,0a a(0,ax 0, ay 30,x 0, y 1,12分cos n1,n2n n2門1m2一二面角A CEP的大小為arccos 619、（北京市十一學(xué)校2008屆高三數(shù)學(xué)練習(xí)題）如圖，在正四棱錐P ABCD 中，PA ABa,點(diǎn)E在棱PC上.（I ）問點(diǎn)E在何處時(shí),PA平面EBD ,并加以證明;（H）當(dāng)PA平面EBD時(shí)，求點(diǎn)A到平面EBD的距離;

38、.O為AC的中點(diǎn)，又E為中點(diǎn),（田）求二面角C PA B的大小.解法一：（I）當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，PA平面EBD . 2分連接AC,且ACBD O,由于四邊形ABCD為正方形,.OE為4ACP的中位線,BPA/EO,又 PA 平面 EBD ,PA平面 EBD 5 分。（II）點(diǎn)A到平面EBD的距離等于點(diǎn)P到平面EBD在正4DPC和正4BPC中，由于E為PC中點(diǎn)，.PC，DE, PCX BE，又 BE。DE E,aPC 平面EBD , PE即為所求，PE 一2a.二點(diǎn)A到平面EBD的距離為一 9分2（田）連接PO, M PO 平面ABCD ,. BO PO,又 BOLAC, BO 平面 PAC過點(diǎn)

39、O作OF PA,垂足為M ,連接BM .由三垂線定理得PA MB.OFB為二面角C PA B的平面角.12分在 RtAAMB 中,FAB 60 ,又;bo %b,sin OFB3FB AB .29故二面角C AP B的正弦值為?解法二:、,6 arcsin 314分（n）作 po平面ABCD ,依題意。是正方形ABCD的中心，如圖建立空間坐標(biāo)系.則叫點(diǎn)a）,2 a,0,0) , B(0,-22a,0) , C( Ja,0,0) D(o, 1a,0) .2.2E( 7a,0dB (0,后,0) , BP2(0, ya,設(shè)面EBD的法向量為n (x,y,z)2.2.2八ax ay az 0424.

40、2ay 0(1,0,1),7 分點(diǎn)A到平面EBD的距離為d 強(qiáng)多|n|29.分(田)設(shè)二面角C AP B的平面角為，平面PAB的法向量為n (1,1,1).設(shè)平面PAC的法向量為n； (x, y,z),n1 OB (0, a,0).12分2cosn ni%2_Ta _3, 32a 323 arccos一320、(北京市西城區(qū)2008年4月高三抽樣測(cè)試)如圖,在三棱錐P ABC中，PA PB ,PA PB,AB BC,BAC 30 ,平面PAB 平面 ABC.(D求證：PA平面()求二面角PACPBC ；B的大小;(m) 解法一：求異面直線AB和PC所成角的大小.(I )證明:PAB平面ABC

41、,平面PAB。平面ABC AB ,且BCBC 平面PAB .2分PA平面PAB,PA BC. *又 PA PBPA 平面PBC .4分(n)解:作PO AB于點(diǎn)O ,OMAC于點(diǎn)M ,連結(jié)PM .:平面PAB 平面ABC ,根據(jù)三垂線定理得PM AC ,PMO是二面角P AC B的平面角.6分OM AO sin 30AO設(shè) PA PB 狀, PA PB, “OM AM , MAO 30 ,AB 2展,PO BO AO 73 .tan PMOPO AOOM OM.8分即二面角PAC B的大小是arctan2 .9分(m)解:在底面ABC內(nèi)分別過A C作BC、AB的平行線，交于點(diǎn)D,連結(jié) OC,

42、OD, PD.則PCD是異面直線AB和PC所成的角或其補(bǔ)角.A AB BC , BAC 30 ,BC AB tan30 2, OC JOB2 BC2 s/7,PC , PO2 CO210.易知底面ABCD為矩形，從而OC OD , PC PD.在 PCD 中，cosPCD2CD30PC 10異面直線AB和PC所成角的大小為30 arccos-.13 分14 分解法二：作PO AB于點(diǎn)O ,丫平面PAB平面ABC ,PO 平面ABC.過點(diǎn)O作BC的平行線，交AC于點(diǎn)D .如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，直線OD, OB, OP分別為x軸,y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 2分設(shè) PA PB 6 . : PA

43、PB, AB 2 73 , PO BO AO 73.11 AB BC , BAC 30 ,BC AB tan30 2.僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝31.4分0(0, 0, 0), A(0, 褥,0), B(0,串,0), C(2,J5 0), P(0, 0 5 D(1, 0 0).(I )證明:0,PA (0,后遮)，BC (2, 0,0)PA BC.7分又:PA PB,PA 平面PBC .(n)解:作0M AC于點(diǎn)M ,連結(jié)PM .* PO平面ABC,根據(jù)三垂線定理得 PM ACPMO是二面角P AC B的平面角.8分AO在 Rt AMO 中，OM AO sin 302M 3

44、, -344從而MO3,京0MPcosMO, MP國阿逅MO | MP 5.10 分即二面角P AC B的大小是arccos，55.11 分異面直線AB和PC所成角的大小為30 arccos10(m)解：A AB 0,2石,0 , PC 2,石,-73 ,cos|PC包21、（北京市西城區(qū)2008年5月高三抽樣測(cè)試）如圖，在正四棱柱 ABCDAiBiCiDiAAi=&, AB=1 , E是 DDi 的中點(diǎn)。(I )求直線BiD和平面AiADDi所成角的大(H)求證：BiDXAE;(田)求二面角 CAE D的大小。解法一；v MCD-44GA是正典模柱，A幽上平盍4且嗎,二4口是&在平面4d界I

45、上的酎影.A幺是直統(tǒng)和平面麻成的能在rmM孤，如南k坐比更 3上具3M：君羽 ”：即勒身口和平面4鼻麻成角的大弓，是3。.,在RtA%/。和Ri第加眼中1. 廣、w二|%( /夢(mèng)區(qū)，叫嘰如； 一爭士想殿團(tuán)平皿演聲, 留學(xué),就4。是BQ在平面4。4上的射航軟諭三暮眠理得, &D1/E.如擇強(qiáng)鎏 設(shè)&DMn孔蟬皆：一上.余 場薜 在皿風(fēng)由”贊*例自里播 在R1A磁百像/0.簟淆費(fèi)涕7欣D:44G0是正四棱柱，li；1 0A DC. 尊兩互相墓直.rf- - -_如圖，以目為原點(diǎn)，直線ZU DC,叫分題為工會(huì)，軸，M瓣，建立空間置犍標(biāo)系，+1分、ffl氏& & oi聞?dòng)∪?lián)鄴，t聯(lián);攜米飛毓都加 F

46、金獻(xiàn).魏遜4黑爨免D-4旦G4是花時(shí)觸一.廠驟L平值華馮1v上4。是鳥。賽平面4且口鼻上的射爵.3： I.急L L - L -. Cp .號(hào)蠹“JF *&_* +，- . c M產(chǎn).r IV 1 = J 74國是直蛾鳥d和平面所成的角.4（】勘近）， 中融=函 1匕6）, 可 與二小礪碣三鬻駕ai,人.-.,點(diǎn).乜筍刪網(wǎng)2畛1Z4。用=301r4 二箕三.,? T ；, ；困夠力/和平面4dmi所成角的大小是鄭.（1）證明 J.基% ,1* 是DR的中點(diǎn) 二E再鼠匕，*厚匚-L0；季；CjX工）0Jk ）總_ 心.今工一v 城凝彳簧。+1二打盤二耳01，位:.in選* * * *11，0 d

47、. 9 5)q0 .Jjr 17 J.-i-,If1 j“MP-ABC 中，PC 平向 ABC ,1CPC AB,CD 平面PAB , AB 平面PAB ,CD AB。又 PC CD C ,AB 平面PCB(2)過點(diǎn) A 作 AF/BC,且 AF=BC,連結(jié) PF、FC,則 PAF為異面直線PA與BC所成的角。由(1)可得 AB BC, CF AF,有三垂線定理，得 PF AF ,則AF=CF= V2 , pf=4PC1Cf 46。在Rt PFA中，tan PAF 里華網(wǎng), AF 2異面直線PA與BC所成的角為3(3)取AP的中點(diǎn)E,連結(jié)CE、DEPC=AC=2, CE PA, CE= 2CD

48、 平面PAB,由三垂線定理的逆定理，得 DE PA,CED為二面角C-PA-B的平面角由（1） AB 平面 PCB ,又 AB=BC ,可得 BC= 22在 Rt PCB 中，PB=vPC2 BC2CPC7BCCD = PB在 Rt CDE 中，cos CEDDECE而角C-PA-B大小的余弦值為-33解法二：(1)同解法.13 分4分（2）由（1） AB 平面 PCB , PC=AC=2,C (M2 , 0, 0)0, 0)cos AP, BCAP?BCAP BC2222又 AB=BC ,可求得BC= 72以B為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,M A (0,衣，0) , B (0, 0, 0)

49、,AP=(亞,-V2 , 2) , BC = (42 ,則 AP ? BC = . 22 +0+0=2異面直線AP與BC所成的角為一3(3)設(shè)平面PAB的法向量為 m= (x, y, z)AB = (0, - J2 , 0) , AP = ( 22，-四 , 0)則AP?m 0，即，得，設(shè)平面PAC的法向量為n= (x, y, z)PC= (0, 0,-2)AC = ( J2 ,-V2 , 0)則 PC?nAC ?n0，即任2:/02,側(cè)棱長是，3, D是AC的中點(diǎn)。(2)求二面角A1 BD A的大小;m?n Cos=mln而角C-PA-B大小的余弦值為23、(北京市宣武區(qū)2008年高三綜合練

50、習(xí)二)如圖所示,(1)求證：BC 平面AiBD ;正三棱柱ABC AB1C1的底面邊長是AB(3)求直線ABi與平面AiBD所成的角的正弦值。解法一：（1）設(shè)ABi與AiB相交于點(diǎn)P,連接PD,則P為ABi中點(diǎn),D 為 AC 中點(diǎn)，PD/B1C o又 PD 平面AiBD,BiC/平面AiBD 4分(2)正三棱住 ABC A1B1C1,AA i 底面 ABC。又 BD ACA1D BDAiDA就是二面角 Ai BD A的平面角。AA i = /3 , AD= AC=i2 TOC o 1-5 h z tan A iDA = AA3ADAiDA = 一,即二面角Ai BD A的大小是 8分33(3)

51、由(2)作AM AiD , M為垂足。BD AC ,平面 A iACC i 平面 ABC ,平面 A iACC i 平面 ABC=ACBD 平面 A1ACC1，AM 平面 A1ACC1，BD AMA1D BD = DAM 平面AiDB,連接MP,則 APM就是直線AiB與平面AiB D所成的角AiDA=-,AA1 = 3 , AD=1 , 在 Rt AAD 中,AM 1 sin60.3丁 AP1 -ABi 2.73sin APMAMV . 21AP 二72,21直線ABi與平面AiBD所成的角的正弦值為解法二：(1)同解法一(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 D (0, 0, 0) , A (1

52、, 0, 0) , Ai (1, 0, V3) , B (0,屈,0) , Bi (0,代，V3)A1B= (-1,姮,-花),A1D= (-1, 0, -V3)A設(shè)平面ABD的法向量為n= (x, y, z)貝U n?A?Bx 3y .3z 0n?A15x 3z 0!則有 x3z ,得 n=(應(yīng)，0, 1)y 0C1由題意，知 E= (0, 0,百)是平面ABD的一個(gè)法向量則cosn?AA1面角A BD A的大小是一3設(shè)n與AA1所成角為，(3)由已知，得 AB1 = (-1,后，向)，n=(石，0, 1)則cosAB1?n-21AB11nl直線AB1與平面ABD所成的角的正弦值為2124、

53、(四川省成都市高2008屆畢業(yè)班摸底測(cè)試)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=BC=1 , /ABC=90 ,AA二V2, D、E 分別為 BB、AC 的中點(diǎn)。(I)求二面角 AiADCi的大?。?II)若AE 2EC,求證：BE/平面 ACiD。(I)以BA所在的直線為x軸、BC所在直線為y軸、BBi所在直線為z軸，建則 A (1, 0, 0) , Ai (1, 0, 3)D (0, 0, 2) AD ( i,0,2),CiD (0, 1,設(shè)平面ACiD的法向量為n= (x,AD n 0 x 2z 0 .CiD n 0 y z 0平面ACiD的法向量為n= (2, 又平面AiAD

54、的法向量為m =n m cos n, m |n| |m|又由圖形可知，所求二面角為銳角一面角 A iAD Ci的大小為(n)作 EF/CCi 交 ACi 于點(diǎn) F,Ci (0, i, 3),i).2分y, z),則由x 2取y iz ii, i) 2分(0, i, 0) i 分i_6運(yùn) 6 6arccos-.連結(jié)DFoAE 2EC,EF 2CCi BD.32立空間直角坐標(biāo)系 B xyz。BD 2函又EF/BD , 二.四邊形EFDB為平行四邊形，DF/BE。而DF 平面ACiD, BE 平面ACiD, BE平面 ACiD。 5 分)注：也可證BE n,其中BE AE BA2i 2-AC (-,

55、-,0).33 325、(東北區(qū)三省四市2008年第一次聯(lián)合考試)如圖，三棱錐P ABC中，PC,平面ABC ,PC = AC = 2, AB = BC, D 是 PB上一點(diǎn)，且CD,平面PAB0(i)求證：AB,平面PCB(2)求二面角C PA B的大小。解(i) PC 平面ABC, AB 平面ABCPC ABCD 平面PAB , AB 平面PABCD ABAB平面PCB又 PC CD = C(2)解法一：WAP的中點(diǎn)E,連續(xù)CE、DEI I/產(chǎn) AC 2, CE PA,CE .、2.“CD 平面 PAB, 小三垂線定理的逆定理，得 DE PA。CED為二面角 CPA B的平面角 由(1)

56、AB 平面 PCB, AB BC, 又;AB = BC, AC =2,求得 BC = V2在Rt PCB中，PB=,PC2+ BC2= .6PC BC 222吁-PBT=.=國,CD 2CE .6 .6在Rt CDE中，sin CED 二面角C PA B大小為arcsin 3(2)解法二：AB BC, AB 平面 PBC,過點(diǎn) B 作直線 l|PA,貝 Ul AB J BC, 以BC、BA、l所在直線為x、v、殍由建立普直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)平面 PAB的法向量為 m x, y,z , A0, 2,0 ,P 2,0,2 , C J2。BA 0, 2,0,AP2, .2,2,三 m 0 即一、2y

57、 jAP m 0、2x 2y 2z 0.解得2z令z 1,得 m 20, 1設(shè)平面PAC的法向量n xi,yi,ziCP 0,0,2 , AC 2 2。CP nAC n02zi 0,即一廠0.2xi. 2y10.解得z10令2i,得n 1,1,0 xiy1 m n .2.3cos m,n LTm n 3 23所以二面角 CPA B大小為 arccos - 326、（東北三校2008年高三第一次聯(lián)考）如圖，正三棱柱 ABC AB1C1的所有棱長都為4, D為CC1中點(diǎn).(I )求證：AB1 平面A1BD ;（H）求二面角A AD B的大小.AO 平面BCC1B1 .3分解法一：（I ）取 BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO.ABC為正三角形， AO BC連結(jié)BQ ,在正方形B1 BCC1中， OBC, CC1的中點(diǎn)，由正方形性質(zhì)知BQ BD ,AB1 BD . 5 分又在正方形 ABB1A中，AB1 A1B ;AB1 平面ABD .6分(H)設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)G ,在平面A1BD中,作 GF AD 于 F ,連結(jié) AF ,由（I ）得 AB1 平面 AiBD . AF A,DAFG為二面角A AiD B的平面角.在AAAD中，由等面積法可求得 AF 855一 一 i _又 AG - ABi 22 , 2sin AFG 空AF.i04所