最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)應(yīng)用

1、-PAGE . z.最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)應(yīng)用一一、知識要點：1、性質(zhì)1：如果a、b兩數(shù)的最大公約數(shù)為d，則a=md,b=nd,并且m,n=1。 例如：24,54=6,24=46,54=96，4,9=1。2、性質(zhì)2：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。a與b的最小公倍數(shù)a,b是a與b的所有倍數(shù)的最大公約數(shù)，并且ab=a,ba,b。 例如：18，12=，18，12=18，1218，12=3、兩個數(shù)的公約數(shù)一定是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。3、輾轉(zhuǎn)相除法二、熱點考題：例1 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。其中一個自然數(shù)是18，求另一個自然數(shù)。運用性質(zhì)2練一練：甲數(shù)

2、是36，甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，求乙數(shù)。例2 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77，求這兩個自然數(shù)。分析與解：如果將兩個自然數(shù)都除以7，則原題變?yōu)椋簝蓚€自然數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是30。這兩個自然數(shù)的和是11求這兩個自然數(shù)。，例3 a與b，a與c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。分析與解：因為12，15都是a的約數(shù)，所以a應(yīng)當是12與15的公倍數(shù)，即是12，15=60的倍數(shù)。再由a，b，c=120知， a只能是60或120。a，c=15，說明c沒有質(zhì)因數(shù)2，又因為a，b，c=120=23

3、35，所以c=15。練一練：兩數(shù)的最大公約數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126，求這兩個數(shù)的和是多少？例4兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大公約數(shù)是5，求這兩個自然數(shù)。例5 兩個自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，求這兩個數(shù)。習(xí) 題 四1*數(shù)與24的最大公約數(shù)為4，最小公倍數(shù)為168，求此數(shù)。2兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)為4，最小公倍數(shù)為120，求這兩個數(shù)。3兩個自然數(shù)的和為165，它們的最大公約數(shù)為15，求這兩個數(shù)。4兩個自然數(shù)的差為48，它們的最小公倍數(shù)為60，求這兩個數(shù)。5兩個自然數(shù)的差為30，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為450，求這兩個自然數(shù)。6兩個自然數(shù)的和為900，它們的最大公約數(shù)與最小

4、公倍數(shù)的乘積為432，求這兩個自然數(shù)。7、五年一班去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每船坐6個，如果減少一條船，正好每船坐9人，這個班有多少人？8、一個數(shù)被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此數(shù)最小是幾？9、A與B的最大公約數(shù)為6，最小公倍數(shù)為84，且AB42，求B。10、A和B的最大公約數(shù)是31，且AB5766，求A和B。11、有一盤水果，3個3個地數(shù)余2個，4個4個數(shù)余3，5個5個數(shù)余4個，問這個盤子里最少有多少個水果？家 庭 練 習(xí)1.拖拉機前輪直徑64厘米，后輪直徑96厘米，拖拉機開動后，前輪至少轉(zhuǎn)多少圈，才能使前、后輪同時著地的兩點重新同時著地？2.現(xiàn)

5、在有香蕉42千克，蘋果112千克，桔子70千克，平均分給幼兒園的幾個班，每班分到的這三種水果的數(shù)量分別相等，則最多分給了多少個班？每個班至少分到了三種水果各多少千克？3、一個數(shù)被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此數(shù)最小是幾？4、將72和120的乘積寫成它們的最大公約數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。5、兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組？例1用自然數(shù)a去除498，450，414，得到一樣的余數(shù)，a最大是多少？分析與解：因為498，450，414除以a所得的余數(shù)一樣，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng)能被a整除。498-450=48，450-4

6、14=36，498-414=84。所求數(shù)是48，36，84=12。例2現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？分析與解：只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大公約數(shù)。只能從唯一的條件它們的和是1111入手分析。三個數(shù)的和是1111，它們的公約數(shù)一定是1111 的約數(shù)。因為1111=10111，它的約數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個自然數(shù)的和是1111，所以三個自然數(shù)都小于 1111，1111不可能是三個自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比方取三個數(shù)為101，101和909。所以所求數(shù)是101。練習(xí)：1、在1000到2

7、000之間，能同時被6、8、10這三個自然數(shù)整除的自然數(shù)一共有幾個？2、三個連續(xù)偶數(shù)，它們分別是12、14、16的倍數(shù)，比它們大的這樣三個偶數(shù)最小各是多少？3、四個連續(xù)自然數(shù)，它們分別是6、7、8、9的倍數(shù)，比它們大的這樣四個自然數(shù)最小各是多少？4、甲、乙、丙三人沿600米的環(huán)形跑道從同一地點出發(fā)同時同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。至少經(jīng)過多少時間三人又同時從出發(fā)點出發(fā)？5、兩數(shù)的乘積是9000，它們的最大公因數(shù)是15，這個兩數(shù)各是多少？6、甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會？7、兩

8、個小于150的數(shù)的積是2028，它們的最大公約數(shù)是13，求這兩個數(shù)。8、有一堆桔子，按每4個一堆分少1個，按每5個一堆分也少1個，按每6個一堆分還是少1個。這堆桔子至少有多少個？【例3】狐貍和袋鼠進展跳遠比賽，狐貍每次跳4.5米，袋鼠每次跳2.75米，它們每秒都只跳一次。比賽途中，從起點開場，每隔12.375米設(shè)一個陷阱，當它們之中一個先掉進陷阱時，另一個跳了多少米【例5】用長9厘米、寬6厘米、高4厘米的長方體搭一個正方體，至少需要多少塊這樣的長方體木塊？【例6】1A、B 兩數(shù)的乘積是216，它們的最小公倍數(shù)是36。 A、B兩數(shù)的最大公因數(shù)是多少？ 2甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288，最大公因數(shù)是

9、4，甲數(shù)是36，乙數(shù)是多少？【例7】 加工*種機器零件，要經(jīng)過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？練習(xí)：1.甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？2.一塊長方形地面，長120米，寬60米，要在它的四周和四角種樹，每兩棵之間的距離相等，最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？3.兩個自然數(shù)的積是5766，它們的最大公約數(shù)是31.求這兩個自然數(shù)。4有一隊同學(xué)去野炊，吃飯時，他們兩人一個飯碗，三個人一個菜碗，四個人一個湯

10、碗，一共用了91個碗。參加野炊的至少有多少同學(xué)？帶余數(shù)的除法前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題.除此之外，例如：163=51，即16=53+1.此時，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法。一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)b0，則一定有另外兩個整數(shù)q和r，0rb，使得a=bq+r。當r=0時，我們稱a能被b整除。當r0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商亦簡稱為商.用帶余除式又可以表示為ab=qr，0rb。例1 一個兩位數(shù)去除251，得到的余數(shù)是41.求這個兩位數(shù)。分析 這是一道帶余除法題，且要求的數(shù)是大于41的兩位數(shù).解題可從帶余除式入手分析。解

11、：被除數(shù)除數(shù)=商余數(shù)，即被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，251=除數(shù)商+41，251-41=除數(shù)商，210=除數(shù)商。210=2357，210的兩位數(shù)的約數(shù)有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余數(shù)41.所以除數(shù)是42或70.即要求的兩位數(shù)是42或70。例2 用一個自然數(shù)去除另一個整數(shù)，商40，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與余數(shù)的和是933，求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？解：被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，即被除數(shù)=除數(shù)40+16。由題意可知：被除數(shù)+除數(shù)=933-40-16=877，除數(shù)40+16+除數(shù)=877，除數(shù)41=877-16，除數(shù)=86141，除數(shù)=21，被除數(shù)=2140+16

12、=856。答：被除數(shù)是856，除數(shù)是21。例3 *年的十月里有5個星期六，4個星期日，問這年的10月1日是星期幾？解：十月份共有31天，每周共有7天，31=74+3，根據(jù)題意可知：有5天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和星期六。這年的10月1日是星期四。例4 3月18日是星期日，從3月17日作為第一天開場往回數(shù)即3月16日第二天，15日第三天，的第1993天是星期幾？解：每周有7天，19937=284周5天，從星期日往回數(shù)5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5 一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求適合此條件的最小數(shù)。這是一道古算題.它早在孫子算經(jīng)中記有：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二

13、，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？關(guān)于這道題的解法，在明朝就流傳著一首解題之歌：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知.意思是，用除以3的余數(shù)乘以70，用除以5的余數(shù)乘以21，用除以7的余數(shù)乘以15，再把三個乘積相加.如果這三個數(shù)的和大于105，則就減去105，直至小于105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其解法如下：方法1：270+321+215=233233-1052=23符合條件的最小自然數(shù)是23。例5 的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：方法2：3，7+2=2323除以5恰好余3。所以，符合條件的最小自然數(shù)是23。方法2的思路是什么呢？讓我們再來看下面

14、兩道例題。例6 一個數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合條件的最小的自然數(shù)。分析 除以5余3即加2后被5整除，同樣除以6余4即加2后被6整除。解：5，6-2=28，即28適合前兩個條件。想：28+5，6？之后能滿足7除余1的條件？28+5，64=148，148=217+1，又148210=5，6，7所以，適合條件的最小的自然數(shù)是148。例7 一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合條件的最小自然數(shù)。解：想：2+3？之后能滿足5除余3的條件？2+32=8。再想：8+3，5？之后能滿足7除余4的條件？8+3，53=53。符合條件的最小的自然數(shù)是53。歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足

15、條件法.當找到滿足*個條件的數(shù)后，為了再滿足另一個條件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時注意要加上已滿足條件中除數(shù)的倍數(shù)。解這類題目還有其他方法，將會在有關(guān)同余局部講到。例8 一個布袋中裝有小球假設(shè)干個.如果每次取3個，最后剩1個；如果每次取5個或7個，最后都剩2個.布袋中至少有小球多少個？解：2+5，71=37個37除以3余1，除以5余2，除以7余2，布袋中至少有小球37個。例9 69、90和125被*個正整數(shù)N除時，余數(shù)一樣，試求N的最大值。分析 在解答此題之前，我們先來看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余數(shù)一樣余數(shù)都是1。但是19-15能被2整除.由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個整數(shù)a和b，均被自然數(shù)m除，余數(shù)一樣，則這兩個整數(shù)之差大-小一定能被m整除。反之，如果兩個整數(shù)之差恰被m整除，則這兩個整數(shù)被m除的余數(shù)一定一樣。例9可做如下解答：三個整數(shù)被N除余數(shù)一樣，N90-69，即N21，N125-90，即N35，N是21和35的公約數(shù)。要求N的最大值，N是21和35的最大公約數(shù)。21和3