證明角相等地方法

1、word添輔助線的規(guī)律一添輔助線的目的：解證幾何問題的根本思路就是要利用幾何條件求得所求幾何關(guān)系。這往往需要將條件與所求條件集中到一個(gè)或兩個(gè)幾何關(guān)系十 清楚確的簡單的幾何圖形之中。如一個(gè)三角形特別是直角三角形、等腰三角形， 一個(gè)平行四邊形特別是矩形、菱形、正方形，一個(gè)圓，或兩個(gè)全等三角形， 兩個(gè)相似三角形之中。這種思路可稱為條件集中法。為了達(dá)到條件集中的目標(biāo)，我們需要將遠(yuǎn)離的、分散的條件和所求條件，通過連線、作線、平移、 翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)等方法來補(bǔ)全或構(gòu)造一個(gè)三角形、一個(gè)平行四邊形、一個(gè)圓、或兩個(gè) 全等三角形、兩個(gè)相似三角形。以便于運(yùn)用這些圖形的幾何關(guān)系性質(zhì)定理解 題，這就需要添加輔助線。添加什么樣

2、的輔助線，總由以下三方面決定：由所求決定：問什么，先要作什么。由決定：什么，作出什么，并為充分運(yùn)用條件提供的性質(zhì)定理添加輔助線。由條件集中的需要決定：為補(bǔ)全或構(gòu)造幾何關(guān)系十清楚確的一個(gè)三角形、一個(gè)平行四邊形、 一個(gè)圓，或兩個(gè)全等三角形、兩個(gè)相似三角形而添加輔助線。 二添輔助線的 規(guī)律：1三角形中：等腰A:常連底邊上的中線或高或頂角的平分線構(gòu)造兩個(gè)全等的直角 A,或便于運(yùn)用等腰 A三線合一的性質(zhì)。 如圖1 直角A斜邊上有中點(diǎn)：連中線構(gòu)造兩個(gè)等腰 A,或便于運(yùn) 用直角A斜邊上的中線的特殊性質(zhì)。如圖2斜A有中點(diǎn)或中線：連中線（構(gòu)造兩個(gè)等底同高的等積Ao如圖3；直角三角形。如圖4；或自左右兩頂點(diǎn)分別作

3、中線的垂線構(gòu)造兩個(gè)全等或連中位線、或過一中點(diǎn)作另一邊的平行線構(gòu)造兩個(gè)相似比為1: 2的相似A,或便于運(yùn)用 A中位線定理。如圖5、6；或延長中位線或中線的一倍構(gòu)造兩個(gè)全等 A或補(bǔ)全為一個(gè)平行四邊形。如圖7、 8?；蜓娱L中線的1/3構(gòu)造兩個(gè)全等A或補(bǔ)全為一個(gè)平行四邊形。如圖9word如圖10或一邊或兩邊的平行線構(gòu)造一個(gè)或兩個(gè)等腰 A或一菱形。如圖11。有角平分線：在此角的一邊上自頂點(diǎn)取一段等于另一邊并作相關(guān)連線構(gòu)造兩個(gè)全等 Ao如圖12、13有角平分線遇垂線：常延長垂線構(gòu)造等腰Ao如圖14二梯形：延長兩腰交于一點(diǎn)構(gòu)造兩相似 Ao如圖15，由小底的一端作一腰的平行線構(gòu)造一集中有兩腰與上下兩底差的A和

4、一平行四邊形。如圖16。d-d 15H 1(5由小底的兩端作大底的垂線構(gòu)造兩直角A和一矩形。如圖17。有對角線時(shí)：由小底的一端作另一對角線的平行線構(gòu)造一集中有兩對角線與上下兩底和的A和一平行四邊形。如圖18。連小底一端與另一腰中點(diǎn)并與大腰的延長線相交構(gòu)造兩全等A與一與梯形等高等積的 Ao如圖19。過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線構(gòu)造兩全等 A與與梯形等積的平行四邊形。如圖 20。過小底的中點(diǎn)分別作兩腰的平行線構(gòu)造一集中有兩腰與上下兩底差的A和兩個(gè)平行四邊形。如圖21。word圓:有弦：連過弦端點(diǎn)的半徑，連垂直于弦的直徑或弦心距構(gòu)造直角A, 便于運(yùn)用垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)解題；或作過弦一端

5、點(diǎn)的切線與 相關(guān)的圓心角、圓周角便于運(yùn)用弦切角定理。如圖 22。有直徑與垂直直徑的弦或半弦，連結(jié)弦與直徑的端點(diǎn)構(gòu)造三個(gè)相似的直角A,便于運(yùn)用直角A的性質(zhì)與射影定理。如圖23。有圓內(nèi)接四邊形：連對角線構(gòu)造較多相等的圓周角。如圖24；或延長四邊形的某一邊構(gòu)造與內(nèi)對角相等的外角。如 圖 25。圓外有切線：連過切點(diǎn)的半徑或直徑構(gòu)造垂直關(guān)系；或作過切點(diǎn)的弦與相關(guān)的圓心角、圓周角便于運(yùn)用弦切角定理。如圖26。圓外有兩條相交切線：連過切點(diǎn)的半徑，并作切線交點(diǎn)與圓心的連線構(gòu)造兩全等的直角三角形；或作過交點(diǎn)和加以的割線便于運(yùn)用 切線割線定理；或連結(jié)兩切點(diǎn)構(gòu)造一等腰 A、三對全等的直角 A、被切線 交點(diǎn)與圓心的連

6、線垂直平分的弦， 便于運(yùn)用等腰A、直角A、全等A以與射影 定理。如圖27。word有相交弦或相交于圓外的割線 切線：連結(jié)不同弦的端點(diǎn)或不同割線在圓上的交點(diǎn)構(gòu)造相似A,便于運(yùn)用比例線段與 A外角定理。如圖28、29、30兩圓相交：作連心線、公共弦，甚至兩圓心到公共弦兩端點(diǎn)的連線構(gòu)造兩等腰 A、補(bǔ)全一箏形，便于運(yùn) 用連心線垂直平分公共弦的定理。如圖 31。兩圓外切：作連心線與 TOC o 1-5 h z 內(nèi)、外公切線、連切點(diǎn)、連半徑構(gòu)造一集中有兩條弦與外公切線長的直角A、一集中有兩圓半徑、半徑之和與外公切線長的直角梯形。如圖 32。兩圓內(nèi)切：作連心線與外公切線便于運(yùn)用連心線與公切線的垂直關(guān)系。如圖

7、 33。兩圓外離：作連心線與個(gè)公切線或內(nèi)公切線，并過小圓圓心作公切線的平行線構(gòu)造一集中連心線長、公切線長、兩圓半徑差或和的直角Ao如圖 34、35。證明線段相等的方法word一常用軌跡中： 兩平行線間的距離處處相等。線段中垂線上任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。角平分線上任一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等，如此在其它直線上截得的線段也相等（圖1。片二三角形中： 同一三角形中，等角對等邊。等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等任意三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等。任意三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高、中線平分底邊。直角三角形中，斜邊的中點(diǎn)

8、到直角頂點(diǎn)的距離相等。有一角為60。的等腰三角形是等邊三角形。過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊（圖2。同底或等底的三角形，假如面積相等，如此高也相等。同高或等高的三角形，假如面積相等，如此底也相等（圖3。三四邊形中： 平行四邊形對邊相等，對角線相互平分。矩形對角線相等，且其的交點(diǎn)到四頂點(diǎn)的距離相等。菱形中四邊相等。等腰梯形兩腰相等、兩對角線相等。過梯形到各頂點(diǎn)的距離腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰（圖4四正多邊形中：正多邊形的各邊相等。且邊長an = 2Rsin （180 / n）正多邊形的中心（外接圓半徑 R ）相等、各邊的距離（邊心距rn ）相等。 且rn= Rcos

9、 （180/ n）五圓中：同圓或等圓的半徑相等、直徑相等；等弧或等圓心角、等圓周角所對的弦、弦心距相等。同圓或等圓中，等弦所對的弦心距相等，等弦心距所對的弦相等。任意圓中，任一弦總被與它垂直的半徑或直徑平分。自圓外一點(diǎn)所作圓的兩切線長相等。兩相交或外切或外離圓的二公切線的長相等；兩外離圓的二內(nèi)公切線的長也相等。兩相交圓的公共弦總被連心線垂直平分圖 5。兩外切圓的一條外公切線與內(nèi)公切線的交點(diǎn)到三切點(diǎn)的距離相等圖6。兩同心圓中，內(nèi)圓的任一切線夾在外圓內(nèi)的弦總相等且都被切點(diǎn)平分圖7word六全等形中： 全等形中，一切對應(yīng)線段對應(yīng)的邊、高、中線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑都相等。七線段運(yùn)算： 對應(yīng)相等線段

10、的和相等；對應(yīng)相等線段的差相等。對應(yīng)相等線段乘以的相等倍數(shù)所得的積相等；對應(yīng)相等線段除以的相等倍數(shù)所得的商相等。兩線段的長具有一樣的數(shù)學(xué)解析式，或二解析式相減為零，或相除為1,如此此二線段相等。證明角相等的方法一相交直線與平行線：二直線 相交，對頂角相等。二平行線被第三直線所截時(shí)，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角二三角形中:相等，外錯(cuò)角相等。同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等，凡直角都相等。角的平分線分得的兩 個(gè)角相等。自兩個(gè)角的頂點(diǎn)向角內(nèi)看角的兩邊，假如有一角的左邊平行或垂直于另一角左邊，一角的右邊 平行或垂直于另一角的右邊，如此此二角相等(圖1、2。同一三角形中，等邊對等角。等腰三角形兩底角相等

11、、等邊三角形三內(nèi)角相等等腰三角形中底邊上的高或中線平分頂角。有一角為60。的等腰三角形是等腰三角四邊形中:形是等邊三角形三內(nèi)角都相等直角三角形中，斜邊的中線分直角三角形為兩個(gè)等腰三角形圖3。平行四邊形對角相等。菱形的對角線平分一組對角。矩形的四角相等，且均為直角。等腰梯形同一底上的兩角相等。 四正多邊形中： 正多邊形的各內(nèi)角相等、外角相等，且內(nèi)角(n- 2)180 / n ,外角=360 / n正多邊形的中心角相等，且中心角a n=360 / n 。五圓中：同圓或等圓中，等弧或等弦或等弦心距所對的圓心角相等、圓周角相等。同圓或等圓中，含等弧或等弦的弦切角相等,word且與所對的圓周角相等。同圓

12、或等圓中，所夾二弧或二弦相等的圓內(nèi)角相等、圓外角相等。自圓外一點(diǎn)所作 圓的兩切線，二切線所夾的角被過該點(diǎn)的連心線平分。兩相交或外切或外離的圓中，二外公切線所夾的角被二 圓的連心線平分；兩外離的圓中，二內(nèi)公切線所夾的角也被二圓的連心線平分 （圖4。圓的內(nèi)接四邊形中，任一外角與其內(nèi)對角相等。六全等形中： 全等形中,一切對應(yīng)角都相等。七相似形中： 相似形中，一切對應(yīng)角都相等。八角的運(yùn)算： 對應(yīng)相等角的和相 等；對應(yīng)相等角的差相等。對應(yīng)相等角乘以的相等倍數(shù)所得的積相等；對應(yīng)相等角除以的相等倍數(shù)所得的商相等。兩角的大小具有一樣的數(shù)學(xué)解析式，或二解析式相減為零，或相除為1,如此此二角相等。兩銳角或兩鈍角的

13、正弦具有一樣的數(shù)學(xué)解析式，此二角相等；兩角的余弦、正切具有一樣的數(shù)學(xué)解析式，此二角相等。證明線段不等關(guān)系的方法一常用軌跡中： 線段公理所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短。自直線外的一點(diǎn)，向直線作一條垂線和多條斜線，如此斜線長的所對的射影也長；射影長的所對的斜線也長，且其中垂直線段最短（圖1兩平行線間公垂線最短。二三角形中： 同一三角形中，大角對大邊，小角對小邊，直角或鈍角所對的邊最大。任意三角形中，任二邊之和大于第三邊，任二邊之差小于第三邊。直角三角形中，斜邊最長。三圓中：同圓或等圓中的各條弦、以直徑最長。同圓或等圓中，大弦或大圓心角所對所對的弦心距小，小弦或小圓心角所對所對的弦心距大；小弦心距或大

14、圓心角所對的弦大，大弦心距或小圓心角所對的弦小圖2。同圓或等圓中，假如弧為劣弧，圓周角為銳角：如此大弧或大圓周角所對的弦大；小弧或小圓周角所對的弦小圖 2。假如弧為優(yōu)弧，圓周角為鈍角，如此反之圖3。word同圓或等圓中，假如弧為劣弧，圓周角為銳角：如此大弧或大圓周角所對所對的弦心距小，小弧或小圓周角所對所對的弦心距大圖2。假如弧為優(yōu)弧，圓周角為鈍角，如此反之圖 3。四線段運(yùn)算:對應(yīng)相等線段加不等的線段：加長線段的其和也大；加短線段的其和也小。對應(yīng)相等線段減不等的線段：減長線段的其差反??；減短線段的其差反大。較大的線段減較小的線段，其差也大；較小的線段減較大的線段，其差反小。兩線段的長的數(shù)學(xué)解析

15、式相減：假如其差大于零，如此前者大于后者；假如其差小于零，如此前者小于后者。兩線段的長的數(shù)學(xué)解析式相除：假如其商大于 1,如此前者大于后者；假如其商小于 1,如此前者小于后者。證明角不等關(guān)系的方法一三角形中： 同一三角形中，大邊對大角，小邊對小角，三內(nèi)角中以直角或鈍角最大。三角形的任一外角大于與它不相鄰的任一內(nèi)角。二圓中：同圓或等圓中，大弧所對的圓心角、圓周角大，小弧所對的圓心角、圓周角小。同圓或等圓中，大弦所對的圓心角、圓周角銳角大，小弦所對的圓心角、圓周角銳角角的運(yùn)算:小；大弦心距所對的圓心角、圓周角銳角小，小弦心距所對的圓心角、圓周角銳角大。對應(yīng)相等角加不等的角：加大角的其和也大；加小角

16、的其和也小。對應(yīng)相等角減不等的角：減大角的其差反 ??；減小角的其差反大。較大的角減較小的角，其差也大；較小的角減較大的角，其差反小。兩角大小的數(shù) 學(xué)解析式相減：假如其差大于零，如此前者大于后者；假如其差小于零，如此前者小于后者。兩角大小的數(shù)學(xué) 解析式相除：假如其商大于 1,如此前者大于后者；假如其商小于 1,如此前者小于后者。證明線段比例式或等積式的方法一比例的性質(zhì)定理:wordtTeTCT一 一 一&T&V電&debL 了 Tft和定理;若換項(xiàng)定理：若酶數(shù)耨理二若會(huì)比定理;若分比定理;若剜有eh用有T- = T na = ncMRT誣一同 麗群等 麗fr 哈地=雪 Wfl 面=.-b-i-d

17、+ 1,41i a c1 = _ = - - 二平行線中的比例線段：平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線所得對應(yīng)線段成比例圖1、2。平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或兩邊的延長線所得的對應(yīng)線段成比例圖3、4平行于三角形的一邊，且與其他兩邊或兩邊的延長線相交的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例圖3、4。三三角形中比例線段：相似三角形中一切對應(yīng)線段對應(yīng)邊、對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)周 長-的比都相等，等于相似比。相似三角形中一切對應(yīng)面積的比都相等，等于相似比的平方。勾股定理：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和圖5。射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)圖5。直角三角形上任一直角邊是它在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng)圖5。正弦定理：三角形中，每一邊與對角的正弦的比相等圖6。即/sinA=b/sinB=c/sinC余弦定理：三角形中，任一邊的平方等于另兩邊的平方和