等比數(shù)列高考專題復(fù)習(xí)

1、等比數(shù)列【知識點回顧】.等比數(shù)列的概念q稱為等比數(shù)如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)q(q0),這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，常數(shù)列的公比.通項公式與前n項和公式n1前n項和公式：當(dāng)q 1時,當(dāng)q 1時,通項公式：anaiq,a1為首項，q為公比.Snnaiai(1qn)aianqSn1q1q3.等比中項如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.即：G是a與b的等差中項a, A, b成等差數(shù)列 G2 a b.等比數(shù)列的判定方法a ,定義法：a_L q(anan是等比數(shù)列;2一一中項法：an 1an an 2 ( n N)且 an 0.等比數(shù)列的常用性質(zhì)an是等比數(shù)列

2、數(shù)列an是等比數(shù)列，則數(shù)列panpan (q 0是常數(shù))都是等比數(shù)列;公比為qk.在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列,anamqnm(n,mN)若mnpq(m,n,p,qN)，則amanapaq；若等比數(shù)列an的前n項和Sn,則Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是第比數(shù)列【方法總結(jié)】 TOC o 1-5 h z 1.求等比數(shù)列的公比、求值、判定等比數(shù)列等通常運用等比數(shù)列的概念、公式及其性質(zhì).例1.已知等比數(shù)列an的前n項和Snpn1(p是非零常數(shù)),則數(shù)列an是()A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.等差數(shù)列或等比數(shù)列D.非等

3、差數(shù)列名師點撥先由Sn求出an,再根據(jù)等差、等比數(shù)列定義作出判定.解：Snpn1,anSnSn1(p加2).當(dāng)p1,且p。時，an是等比數(shù)列；當(dāng)p0時，an是等差數(shù)列，選C.2.求實數(shù)等比數(shù)列的中項要注意符號，求和要注意分類討論例2.若實數(shù)數(shù)列1,a1,a2,a3,4是等比數(shù)列，則a2 TOC o 1-5 h z 名師點撥本題容易錯認(rèn)為，由等比數(shù)列的等比中項公式a；14,得a22.2解：Laiiazias,4是等比數(shù)列，a214,得a22.又1,a1,a2是等比數(shù)列，a；1a2,a1R,a22.考點一等比數(shù)列的通項與前n項和題型1：已知等比數(shù)列的某些項，求某項例1.已知an為等比數(shù)列，a22,

4、a6162,則明。解題思路可以考慮基本量法，或利用等比數(shù)列的性質(zhì) TOC o 1-5 h z 解：方法1：a2a1q52q481 HYPERLINK l bookmark65 o Current Document a6a1q16294aoaqa6q1628113122方法2：q4a681,a10a6q41628113122a22方法3：an為等比數(shù)列2a2aoa6aoa221622213122題型2：已知前n項和Sn及其某項，求項數(shù)例2.已知Sn為等比數(shù)列an前n項和，Sn93 , an 48,公比q 2 ,則項數(shù)n已知四個實數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列， 首末兩數(shù)之和為 37,

5、中間兩數(shù)之和為解題思路利用等比數(shù)列的通項公式 an a1qn 1及Sn等比數(shù)列設(shè)出四個實數(shù)代入已知，可求這四個數(shù)求出現(xiàn)及1 q代入Sn可求項數(shù)n ；36,求這四個數(shù)利用等差數(shù)列、解：由Sn 93, an48 ,公比q2,得a1(2n 1) 93a1 2n 1482n 32方法1：設(shè)這四個數(shù)分別為 a,b,c,d ,則2b a c c2 bda b 37b c 36方法2：設(shè)前2個數(shù)分別為a,b,則第34個數(shù)分別為36 b,37 a,則994 .81，4c2,方法3：設(shè)第2、3個數(shù)分別為b, c,則第1個數(shù)為2b c ,第1個數(shù)為,則 b2b (36 (36 b)2b7 aa)解得12或1622

6、b c bb c 36b 16 或 bc 20 八81Z .63T方法4：設(shè)第2、3個數(shù)分別為b,c,設(shè)第1,4個數(shù)分別為2a c 2c2 ，a c方法5：設(shè)第3、4個數(shù)分別為c, d ,則設(shè)第1,2個數(shù)分別為37d,36 c,則2(36 c) (37 d) c c2 d (36 c)20 16、或c2549了題型3：求等比數(shù)列前n項和5項到第10項的和.例3.等比數(shù)列1,2,4,8,中從第解題思路可以先求出S10,再求出S4,利用S10S4求解；也可以先求出a5及a10,由a5，a6,a7,a10成等比數(shù)列求解解：由a11,a22,得q2,S10_io1(1 2 )1 2_41(1 2 )1

7、023, S4|)1 215,S10 S4 1008.例4.已知Sn為等比數(shù)列an前n項和，an 133233n 13 ，求 Sn解題思路可以先求出an,再根據(jù)an的形式特點求解解：an 1 3 32 333n 11(13n)3n11 322 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document _123Sn93323323(13n)1 3即Snn313n.424例5.已知Sn為等比數(shù)列an前n項和，an(2n 1) 3n，求 Sn.解題思路分析數(shù)列通項形式特點，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，采用錯位相減法求和解：an(2n1)3n TOC o 1-5 h z

8、Sn13332533(2n1)3n,_234nn13Sn133353(2n3)3(2n1)3一，得2Sn32(3233343n)(2n1)3n1329(13)(2n1)3n1(22n)3n1613_n1_Sn(n1)33.變式1：已知an為等比數(shù)列,aa2a33,a6a7a86,求a11a12“3的值.解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為aa2 a33,a6 a7a86a4a5a6a11 a12a a2a3a13 ；考點二證明數(shù)列是等比數(shù)列例6.已知數(shù)列an和bn滿足：aian21 an3bn1)n(an3n 21),其中 為實數(shù)，n N .對任意實數(shù)，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；試判斷數(shù)列bn是否為等比

9、數(shù)列，并證明你的結(jié)論bn是等比數(shù)列,解題思路證明數(shù)列an不是等比數(shù)列，只需舉一個反例；證明數(shù)列常用：定義法；中項法解： 證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使2an是等比數(shù)列，則有a? a1a3 ，0,矛盾.解:因為 bn( 1)n(an3n21)n 1(1) an1 3n(1)n 1 an 1 3(n1) HYPERLINK l bookmark8 o Current Document n 1 2八18( 1) (-an2n2114) 3(1)n1(an 3n 21)fbn1(18,bn18),所以0(nN ),此時bn18.b18)時,由上可知不是等比數(shù)列；bn 1bn 0,亡 bn3(nN ),此時

10、bn是等比數(shù)列【名師點撥】等比數(shù)列的判定 TOC o 1-5 h z r224即(23)2(-4)39所以an不是等比數(shù)列.方法:定義法:an 1a n0是常數(shù))an是等比數(shù)列;中項法:(n)且 an0an是等比數(shù)列.變式1:已知數(shù)列an的首項a1Can 11 11 -( 1),又 a12 an2323an 1 一 an11 a12an1.n 1,2,3，.證明：數(shù)列一 1是等比數(shù)列; an數(shù)列工1是以1為首項,an11為公比的等比數(shù)列.2考點三等比數(shù)列的性質(zhì)例7.已知Sn為等比數(shù)列an前n項和，Sn54,S2n60,則S3n解題思路結(jié)合題意考慮利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解.解：an是等比數(shù)

11、列，Sn,S2nSn,S3nS2n為等比數(shù)列,c1182.54(S3n60)36S3n.3【名師點撥】給項求項問題，先考慮利用等比數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法變式1：已知等比數(shù)列an中，an0,(2a4a2a6)a436,則a3a5解：an是等比數(shù)列，an02(2ada?a6)a436(a3a5)36a3a56.考點四等比數(shù)列與其它知識的綜合例8.設(shè)Sn為數(shù)歹Uan證明：當(dāng)b2時,的前n項和,nann2已知ban2nSn求an的通項公式。解題思路由遞推公式Sn,an,n1是等比數(shù)列;0求數(shù)列的通項公式anf(n),主要利用:anS(n1)SnSn1(n2)同時注意分類討論思想解：由題意知a12,

12、且ban2nb1Sn,ban12n1b1Sn1兩式相減，得ban1an2n1anban2n當(dāng)b2時，由知an1日aan又a112n2n2ann2n當(dāng)b2時,2時,因此an1得an2an2n0,所以(I)知由得an2n1anan2n2an六2n22bnn2n1n2an2n1公比為bn【名師點撥】退一相減是解決含有2n1,即ann12n2的等比數(shù)列。1ban2nb2nSn的遞推公式的重要手段,推公式求通項公式時，重視首項是否可以吸收是易錯點,【基礎(chǔ)鞏固】1.設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若A63B.64a11,a5C.127解：由a11,a516,得q4a5a116,q2.設(shè)等比數(shù)列an的公比q前

13、n項和為B.42n1ban-2nbban2n2bbn使其轉(zhuǎn)化為不含Sn的遞推公式，從而針對性的解決；在由遞同時重視分類討論，做到條理清晰是關(guān)鍵16,則數(shù)列D.128S7a1(1a2an前7項的和為()9127.解：S4a2a1q3.已知等比數(shù)列A64a1(1q4)241qan滿足aB.812(1)a23,c15C.2152D/2a2a36,則a7C.128(A)D.243解：qa_a!2,a1a1qaa2aia7127164.4.已知等比數(shù)列an的前三項依次為1,a4,則anA.解：(a1)2(a1)(a4)a14,q(3)n5.已知an是等比數(shù)列,a22,a5則aa2a2a3anan1=A.

14、16(14n)B.16(12n)C.32(14n)32D.(132n)解：a22,a5a14,q1一.aa22a2a3anan132(143n)6.已知ad是公比為2的等比數(shù)列，則2a2cdA.B.12C.D.7.已知an是等比數(shù)列，且an0,a2a42a3a504a625,那么a3a5的值是A.B.6C.D.258.在等比數(shù)列an中，已知a11,a43,則該數(shù)列前5項的積為9A.A.A.B.ABC的三邊a,RtB.等腰三個數(shù)成等比數(shù)列,A.C.1D.3C既成等比數(shù)列又成等差數(shù)列，則三角形的形狀是(3,12,48若6,x,B.zC.其積為4,16：等腰RtD.等邊1728,其和為38,則此三數(shù)為27C,8,12,18,54這五個數(shù)成等比數(shù)列，則實數(shù)D.4,12x的值是366.3B.C.3v6D.3.612.(2009廣雅中學(xué))在等比數(shù)列中，已知a9a10a(a0),a19a99a100解：利用a9a10,a19a20,a99a100成等比數(shù)列，得a99a100-8a213.設(shè)數(shù)列an的前n項和為S