簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算的十大數(shù)學(xué)思想

1、簡(jiǎn)化解幾運(yùn)算的十大數(shù)學(xué)思想河北省 高志彬解幾問題的求解特點(diǎn)是以代數(shù)方法求解幾何問題，所以求解思路易找， 容易形成“入口寬松”，但是由于運(yùn)算量大，不僅影響解題速度，也極容易出錯(cuò)，因此又易形成“答對(duì)困難” 的現(xiàn)象。因此，在解題中，盡量減少運(yùn)算量則成為迅速、準(zhǔn)確解題的關(guān)鍵，就此問題，本文 談一下如何簡(jiǎn)化解幾運(yùn)算的幾種數(shù)學(xué)思想方法。、極限思想通過考察問題的極端元素或著眼于一類問題的極限狀態(tài)，靈活地運(yùn)用極限思想的解題， 則可避開抽象及復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度，這是簡(jiǎn)化解幾運(yùn)算量的一條重要途徑。例1：已知離心率e 片，過點(diǎn)(1,0)且與直線L： 2x y 3 0相切于點(diǎn)P( 1,-3), 5長(zhǎng)

2、軸平行于y軸的橢圓方程。一般解法是：設(shè)橢圓中心為(x0,y0),可得橢圓方程，并列出過已知點(diǎn)P的切線方程，聯(lián)立消參可求橢圓方程，這種解法易想但運(yùn)算過程繁瑣。若把“點(diǎn)橢圓”看作橢圓的極限情 況，則可簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。解：把點(diǎn)P( 機(jī)看作率心率e 2的橢圓系(x 2)2 4(y 4)2 k,當(dāng)k 0時(shí) 75的極限情形(看作點(diǎn)橢圓)則與直線L： 2x y 3 0相切于該點(diǎn)的橢圓系即為過直線L與“點(diǎn)橢圓”的公共點(diǎn)的橢圓方程：(x 2)2 1(y尚)2(2x y 3) 0又由于所求橢圓過點(diǎn)(1, 0),代入上式求得33因此所求橢圓方程為：x2 15 y2 1二、補(bǔ)集思想有些問題正面解需要分類討論，且討論不全

3、又容易出錯(cuò)，如用補(bǔ)集思想考慮其對(duì)立面， 可達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。例2:若橢圓t y2 a2 (a 0)與連結(jié)兩點(diǎn)A (1, 2)、B (3, 4)的線段沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍解：設(shè)a的允許值的集合為全集 I aa R,a 0 ,先求橢圓和線段 AB有公共點(diǎn)a的取值范圍易得線段AB的方程是：y x 1,x1,3x2y2a2)由方程組2 2y 得a2ix22x 1,x1,3并求得19a2與因?yàn)閍 0所以故當(dāng)橢圓與線段 AB無公共點(diǎn)時(shí)0 a 與2或a三、整體思想22例3從橢圓多對(duì)有些解幾問題，注意其整體結(jié)構(gòu)，設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化，以達(dá)到避免一些不必要的運(yùn)算, 降低解難難度。1外一點(diǎn)P (2, 4)作橢圓

4、的切線，求兩切線的夾角的正切值較麻煩，可從夾角公式的結(jié)構(gòu)分析：若先求出兩切線的斜率ki, k2,再由夾角公式求形式來考慮：tank1 k21 k1k2(kl k2)2 4kk1 k1k2只需求出k1k2和k1 k2即可。解：由橢圓的切線方程:y kx Ja2k2 b2 (利用導(dǎo)數(shù)可得)知兩切線方程為:y kx V3k2又切線過點(diǎn)P (2, 4)4 2k3k2 2 整理得：k2 16k 14 0k1 k2 =14,k1k2 =161 tank1k2(K k2)2 4kH1 k1k21 k1 k22 23四、轉(zhuǎn)化思想：它主要體現(xiàn)將不熟悉的難解的問題轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)問題的求解過程實(shí)際上就是問題的轉(zhuǎn)化過程,化為

5、熟知的易解式或已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體直觀的問題；將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將一般性的問題轉(zhuǎn)化直觀的特殊的問題。例4當(dāng)a為何實(shí)數(shù)時(shí),橢圓(x a)y21與曲線C:解：橢圓方程變形為:設(shè)”2cos ysin即:sin代入曲線C得：sin,(a .2cos )2sin22 2 cos橢圓與曲線C有交點(diǎn)，等價(jià)于方程有解，等價(jià)于a為函數(shù)y2sin272cos 的a 2sin22 cos 4 2(cos-42)2，a的取值范圍是J2,4五、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中，雖然研究的主要方面是用代數(shù)的方法解決幾何問題；但是由于我們?cè)谘芯恐械玫侥承┐鷶?shù)表達(dá)式具有明顯的幾何意義。因此可在確定合適的坐標(biāo)系

6、后， 獲得幾何解釋，從而能借助幾何方法加以解決問題。-22例5已知x、y滿足條件1r 4 1，求y 3x最大值與最小值二 x解析：令y 3x b,則y 3x b2 v2原問題轉(zhuǎn)化為橢圓16 25 1上找一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的直線斜率為在y上有最大截距和最小截距如圖所示：顯然此點(diǎn)為平行直線系與橢圓的切點(diǎn) 22將y 3x b代入蔣晶 1得22169x2 96bx 16b2 400 0由 =0得b= 3故y 3x的最大值為13,最小值為-13六、參數(shù)(換元)思想利用圓錐曲線的參數(shù)方法以達(dá)到簡(jiǎn)化解題過程的目的22例6已知橢圓 于 2 1 (ab0), A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)

7、P( % ,0)xo求證：22證明：設(shè) A( acos 1,bsin 1)、B(acos 2, b sin 2)由：A|pb| 可得(x0 a cos 1)2 b2 sin 1(x0 acos 2)2 b2 sin2 2(a2 b2) (cos2 1 cos2 2) 2ax0 (cos 1 cos 2). AB的垂直平分線與 x軸相交故AB與y軸不平行，即cos 1cos 2所以有:22、2 cos 1 cos 2) 2 . . (a b )(cos 1 cos 2) 2ax0即:2(a2 b2) 2ax0 2(a2 b2)故:2,2a b它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系, 理論加以解決。例7直線m：

8、 y kx(-2, 0)和AB線段的中點(diǎn)M ,求L在y軸上的截距b的取值范圍.評(píng)注：根據(jù)函數(shù)的思想建立 b與k的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)方程的思想,運(yùn)用二次方程的理論具體求出b的表達(dá)式,是解此題的兩個(gè)關(guān)鍵問題y解：由 2xkx2 y1 (x 1)1七、函數(shù)與方程的思想不少解析幾何問題，其中某些元素處于運(yùn)動(dòng)變化之中，存在著相互聯(lián)系、相互制約的量, 對(duì)于直線和曲線交點(diǎn)問題， 經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為方程問題， 用方程的1和雙曲線x2 y21的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線L過點(diǎn)P4k28(1 k2)2kxX2201 k_2_1 k2k 2設(shè) Mx0,y0),則x x22kxok1 k211 k2由 P (-20)、M (12

9、2k ,1 k)、Q (0, b)三點(diǎn)共線，不難得出22k2 k 2消去 y 得(k2 1)x2 2kx 2 0設(shè)f(x)2k2 k 2,則f(x)在(172)上為減函數(shù)f(V2)f (k) f (1),且(f(k) 0(2 V2)f(k) 1 b 2(2 V2)或 b 2八、構(gòu)造思想一些問題，若能巧妙構(gòu)造，往往可迅速溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解， 起到了鋪路搭橋的作用例8求直線L的方程，使點(diǎn) A (1, 1)、B (5, 3)到L的距離都是1解：如圖所示，分別以 A、B為圓心，作半徑為1的輔助圓，于是原問題轉(zhuǎn)化為兩圓的 內(nèi)、外公切線方程： A (1, 1)到切線的距離為 1. A

10、B的中點(diǎn)為(3, 2).可設(shè)內(nèi)公切線方程為：y 2k(x 3)b|1解之，得b 21_52kAB 2，可設(shè)外公切線方程為：y 1 x b即芻x y b 0即：kx y 3k 2 0.A （1, 1）到內(nèi)公切線的距離為1，（k 1 3k 2） 1k2 1解得k 0 ：或k 3 3故所求直線方程為y 2x 1e或y 2或4x 3y 6 0九、對(duì)稱思想：在幾何中，利用對(duì)稱性常常可以將一些比較復(fù)雜的折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題，利用這種對(duì)稱思想常常能幫助我們迅速抓住問題的本質(zhì)，找到解題思路，簡(jiǎn)化解題過程。例9 （2003年高考數(shù)學(xué)（理）第10題）已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn) A （0, 0）、B （2, 0）、 C

11、 （2, 1）和D （0, 1）, 一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為 的方向（/P1P0X=）射至U BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到 CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4 （入射角等于反射角），設(shè) P4的坐標(biāo)為（X4, 0）,若1X42,則tan 的取值范圍是（）A. （ 3,1B.（，給 C. （5,20D. （H分析：從今年高考試題可以看出，高考命題越來越注重考查對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用。此題如果依次計(jì)算 P1、P2、P3、P4的坐標(biāo)，繁而耗時(shí)，特別在考試時(shí)，尤不可取。注意到質(zhì)點(diǎn) 反射過程中，入射角等于反射角，利用對(duì)稱性易得P0關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)P 0 （3, 0）, P4的關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)P 4 （-X4, 0）（如圖）。從P0反射到P4的過程，相當(dāng)于從P 0反射到P 4。y所以P2P 4P。是底角為，高為1的等腰三角形。故 P4P。|3 X4 需由1 x4 2,得看tang.故選C十、向量法（思想）對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題，若認(rèn)真分析題目的條件和結(jié)論，適當(dāng)構(gòu)造向量然后借助向量的運(yùn)算法則和性質(zhì)，往往可以使問題得以巧妙解決2 y2例10 （2