SI.SIR.SIS模型

1、數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告10學(xué)院：專業(yè)：姓名：學(xué)號(hào)：實(shí)驗(yàn)時(shí)間：實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：、實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目：傳染病模型求解二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵笄蠼馕⒎址匠痰慕馕鼋馇蠼馕⒎址匠痰臄?shù)值解三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容問題的描述各種傳染病給人類帶來的巨大的災(zāi)難，長期以來，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。不同類型傳染病有各自不同的特點(diǎn)，在此以一般的傳播機(jī)理建立幾種3模型。分別對(duì)3種建立成功的模型進(jìn)行模型分析，便可以了解到該傳染病在人類間傳播的大概情況。模型一(SI模型)：模型假設(shè)1在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，人群分為健康人和病人，時(shí)刻

2、t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例為s(t)和i(t)。2每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)a,a成為日接觸率，當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，可使其患病。建立模型根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每天可使as(t)個(gè)健康人變成病人，t時(shí)刻病人數(shù)為Ni(t),所以每天共有aNs(t)i(t)個(gè)健康者被感染，即病人的增加率為：Ndi/dt=aNsi又因?yàn)閟(t)+i(t)=1再記時(shí)刻t=0時(shí)病人的比例為i0則建立好的模型為：=ai(1-i)dti(0)=i0模型求解(代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果)symsaitiO%a：日接觸率，i：病人比例，s：健康人比例，iO：病人比例在t=O時(shí)的值i=dsolve(Di=a*i*(1-

3、i),i(O)=iO,t);y=subs(i,a,iO,);ezplot(y,O,1OO)figurei=str2double(i);i=0:1;y=*i.*(1-i);plot(i,y)SI模型的it曲線SI模型的di/dti曲線結(jié)果分析由上圖可知，在i=o：1內(nèi)，di/dt總是增大的，且在i=時(shí)，取到最大值，即在t-inf時(shí)，所有人都將患病。上述模型顯然不符合實(shí)際，為修正上述結(jié)果，我們重新考慮模型假設(shè)，建立SIS模型模型二(SIS模型)(1)模型假設(shè)假設(shè)條件與SI模型相同；3每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)u,成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然1/u是平均傳染期。

4、(2)模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且i(t)+s(t)=1；則有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定義k=a/b，可知k是整個(gè)傳染傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，成為接觸數(shù)。則建立好的模型為：di=-aii-(1-1/k)dti(0)=i0;(2)模型求解(代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果)symsaiutiO%a：日接觸率，i：病人比例，u：日治愈率，iO：病人比例在t=O時(shí)的值dsolve(Di二a*i*(1-i)-u*i,i(O)=iO,t)%求用u表示的it解析式symsk%k：接觸數(shù)k=a/u;i=dsolve(Di二-a*i*i+a*i*(1T/k),i(O

5、)=iO,t)%求用k表示的it解析式%k1的情況，以k=2為例%*it圖，分析隨時(shí)間t的增加，i的變化%作di/dti的圖像%給k、a、iO指定特殊值，作出相關(guān)圖像y=subs(i,k,a,iO,2,);ezplot(y,O,1OO)pausegtext(1/k)legend(k1本例中k=2)figurei=str2double(i);i=O：1;y=*i.*i-1/2;plot(i,y)gtext(1-1/k，在此圖中為)legend(k=2)3)%ky=subs(i,k,a,i0,);ezplot(y,0,100)legend(kl本例中k=)figurei=str2double(i)

6、;i=0:1;y=*i.*i-(1-1/;plot(i,y)legend(k=)SIS模型的di/dti曲線(k1)SIS模型的it曲線(k1)SIS模型的di/dti曲線(k1)(4)結(jié)果分析SIS模型的it曲線(k1時(shí)，i(t)的增減性取決于iO的大小，但其極限值i(s)=11/k隨k的增加而增加；當(dāng)k0)和i0(i00)(不妨設(shè)移出者的初始值rO=O)，則SIR模型的方程可以寫作di二Xsi|ni,i(0)二tdt0二-九si,s(0)二s、dt0(3)模型求解我們無法求出解析解，先做數(shù)值計(jì)算設(shè)X=1,r=0.3,i(0)=0.02,s(0)=0.98，用MATLAB軟件編程:funct

7、iony=ill(t，x)a=1;b=;gtext(k0,i0,s+i卩再由(1),對(duì)于充分大的t有dt2，這將導(dǎo)致，與J存在相矛盾。2最終未被感染的健康者的比例是洼，在(5)式中令i=0得到，洼是方程7)在(0,1/b)內(nèi)的根。在圖形上，sg是相軌線與s軸在(0,1/b)內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3.若S01/b，則先增加，當(dāng)s=1/b時(shí)，達(dá)到最大值i=s+i(1+lnbs)g00b0然后l(t)減小且趨近于0，s(t)則單調(diào)減小至sg。4若s0-/b，則l(t)單調(diào)減少至0,s(t)單調(diào)減少至sg。如果僅當(dāng)病人比例l(t)有一段增長的時(shí)期才認(rèn)為傳染病在蔓延，那么/b是一個(gè)閾值，當(dāng)s0/b(即b/s0)時(shí)傳染病就會(huì)蔓延。而減小傳染期接觸數(shù)b，即提高閾值1/b，使得s0-/b(即b-/s0)，傳染病就不會(huì)蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的，通常可認(rèn)為s0接近1)。并且，即使s01/b，從(7),(8)式可以看出，b減少時(shí)，sg增加(通過作圖分析)，lm降低，也控制了蔓延的程度，我們注意到，在b=x/卩中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率九越??；醫(yī)療水平越高，日治愈率卩越大，于是b越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延。從另一方面看，bs=xs1/卩是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱為交換數(shù)，其含義是一個(gè)病人被bs個(gè)健康者交換，所以當(dāng)s0