三角函數(shù)總結(jié)大全(整理好的)

1、 三角函數(shù)(一)任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來的位置OA,繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點(diǎn)O叫做叫的頂點(diǎn)。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。2象限角、終邊相同的角、區(qū)間角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)

2、軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個(gè)角a具有同終邊的所有角，它們彼此相差2kn(kWZ)，即BBIB=2kn+a,kZ,根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。TOC o 1-5 h z兀5兀兀5兀區(qū)間角是介于兩個(gè)角之間的所有角，如aWa|三WaW=，。 HYPERLINK l bookmark866663弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-n,-2n等等，一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)

3、是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。l角的弧度數(shù)的絕對值是：=,其中，l是圓心角所對的弧長，r是半徑。r角度制與弧度制的換算主要抓住180。，兀rad?；《扰c角度互換公式：lrad=18057.30=5718；兀1=兀宀0.01745(rad)?；￠L公式：1，lIr(是圓心角的弧度數(shù))；扇形面積公式：S，1r，IIr2。180224三角函數(shù)的定義：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P(x,y)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為r(r，JxI2IyI2，沖y20)，那么yxyxrrsm=；cos=；tan=；(cot=；sec=；esc=)rrxyxy

4、利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，那么:y叫做的正弦，記做sin,即sin，y；x叫做的余弦，記做cos,即cos，x；-叫做的正切，記做tan，即tan，2(x豐0)。xx5三角函數(shù)的符號：由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，我們y可以得知：正弦值丄對于第一、二象限為正r(y0,r0)，對于第三、四象限為負(fù)(y0,r0)；IIIIIIsin+一一cos+一一+tan+一+一cot+一+一xy余弦值一對于第一、四象限為正(x0,r0)，對于第二、三象限為負(fù)(x0,r0)；正切值丄對于第一、rx三象限為正(x,y同號)，對于第二、四象限

5、為負(fù)(x,y異號)說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。 a角的終6三角函數(shù)線三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方便。以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)P（x,y）,過點(diǎn)P作PM丄x軸交x軸于點(diǎn)M,根據(jù)三角函數(shù)的定義：丨MP1=1y1=1sin|；|OM1=1x1=1cos|。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí)，

6、以0為始點(diǎn)、M為終點(diǎn)，規(guī)定:當(dāng)線段0M與x軸同向時(shí)，0M的方向?yàn)檎?，且有正值x；當(dāng)線段0M與x軸反向時(shí)，0M的方向?yàn)樨?fù)向，且有負(fù)值x；其中x為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)這樣，無論那種情況都有0M，x，cos同理，當(dāng)角的終邊不在x軸上時(shí)，以M為始點(diǎn)、P為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段MP與y軸同向時(shí)，MP的方向?yàn)檎?，且有正值y；當(dāng)線段MP與y軸反向時(shí)，MP的方向?yàn)樨?fù)向，且有負(fù)值y；其中y為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這樣，無論那種情況都有MP，y，sin。像MP、0M這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖，過點(diǎn)A（l,0）作單位圓的切線,這條切線必然平行于y軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn)T,請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,

7、借助有向線段0A、AT,我們有tan，AT，yx我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、0M、AT，分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。6同角三角函數(shù)關(guān)系式sin2a+cos2a=1（平方關(guān)系）；sin=tana（商數(shù)關(guān)系）；tanacota=1（倒數(shù)關(guān)系）.cos使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個(gè)常用關(guān)系式：sina+cosa，sina-cosa，sinacosa；（三式之間可以互相表示）ijriCL-4-Ir.Ha.i（_兩血半力，得1+2珀11口*co3,=lcos1=1-3又1-3111a*U5口=2-

8、12=3111-CC-3=Jnt2.同理可以由sinacosa或sinacosa推出其余兩式。7誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號看象限”。誘導(dǎo)公式一：sin（2k兀），sin，cos（2kR），cos，其中kZ誘導(dǎo)公式二：sin(180)，sin；cos(180)，一cos誘導(dǎo)公式三：sin（）一sin；cos()=Q誘導(dǎo)公式四：sin(180)，sin；cos(180)，一cos誘導(dǎo)公式五：sin(360Qa)，一sin；cos(360)，cosO02兀，兀+2兀a2kr+akeZ兀-a2sinsinsinsinsinasinacosacoscoscoscoscosacosasin

9、a要化的角的形式為k-180(k為常整數(shù))；記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”sin(kn+a)=(1)ksina；cos(kn+a)=(1)kcosa(kZ)；(r)氣(兀)氣sincos，xcosx，一；cosx+sin，xI4J14丿k4Jk4Jk4丿(二)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像y=sinxy、/一-2I-4冗z7?-3e/-2兀-3冗-冗-I22y=tanx2.三角函數(shù)的定義域、值域及周期如下表：函數(shù)定義域值域周期ysinxR-1,12兀ycosxR-1,12兀ytanx冗x1x主kx+,keZ2R兀3三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：jx3丁廠ysinx的遞增區(qū)

10、間是2k兀一,kr+(keZ)，遞減區(qū)間是2kr+,kr+(keZ)；2222ycosx的遞增區(qū)間是2kr一兀,2kr(keZ)，遞減區(qū)間是2kr,2kr+r(keZ)； # ytanx的遞增區(qū)間是fk兀-占,2兀k兀+(keZ),2丿4對稱軸與對稱中心：ysinx的對稱軸為x=k兀+哥，對稱中心為(k兀,0)keZ；2y二cosx的對稱軸為xk兀，對稱中心為(k兀+升,0)；2對于yAsin(x+)和y=Acos(x+)來說，對稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。5.函數(shù)yAsin(0,0)2兀最大值是A+B，最小值是B-A，周期是T，頻率是f，相位是x+p，初相是p；其圖象的對0)或向

11、右(P0)，0)，再沿x軸向左(P0)或向右(P0=平移個(gè)單位，便得y=sin(sx+p)的圖象。三角函數(shù)圖象的平移和伸縮函數(shù)yAsin(x+p)+k的圖象與函數(shù)ysinx的圖象之間可以通過變化APk來相互轉(zhuǎn)化.A影響圖象的形狀，k影響圖象與x軸交點(diǎn)的位置.由A引起的變換稱振幅變換，由引起的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由p引起的變換稱相位變換，由k引起的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換.既可以將三角函數(shù)的圖象先平移后伸縮也可以將其先伸縮后平移.變換方法如下：先平移后伸縮ysinx的圖象向左p或向右p平移|p|個(gè)單位長度得ysin(x+P)_橫坐標(biāo)伸長_或縮短ySmx+的圖象到原來的一

12、(縱坐標(biāo)不變)ysin(或縮短A為原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)嚴(yán)yAsin(0)或向下(k0).()+JyAsin(1)或縮短(0i）y二Asin（3x）的圖象1得的圖象到原來的丄（縱坐標(biāo)不變）得3y=ASin(X)的圖象向左單：,0)得yAsinxx+)yAsinx(x+)的圖象向平移k度）得圖象nI4丿解:（方法一）把ysinx的圖象沿x軸向左平移-個(gè)單位長度，得y=sinx+上的圖象；將所得圖象的橫坐標(biāo)縮4例1將ysinx的圖象怎樣變換得到函數(shù)y2sin2x+-+1的圖象./n、sin2x+I4丿最后把所得圖象沿y軸向上平移1個(gè)單位長度得到y(tǒng)2sinI2x+4小到原來的1，得y的圖象；將所得

13、圖象的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得y2sin卜+4丿的圖象；+1的圖象.（方法二）把ysinx的圖象的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得y=2sinx的圖象；將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的丄，得y2sin2x的圖象；將所得圖象沿x軸向左平移n個(gè)單位長度得y=2sin228的圖象；最后把圖象沿y軸向上平移1個(gè)單位長度得到y(tǒng)2sin2xH+1的圖象說明：無論哪種變換都是針對字母x而言的由ysin2x的圖象向左平移n個(gè)單位長度得到的函數(shù)圖象的解析式是/n、sin2x+I8丿n)x+4丿/n、ysin2x+I8丿/n、in2x+而不是y=sin2c,b+ca,c+ab,abc,bcb；邊與角關(guān)系：abc正弦定理2R(R為外接圓半徑)；sinAsinBsinC余弦定理c2=a2+b22bccosC,b2=a2+c22accosB,a2=b2+c22bccosA；宀八卄打/打/亠亠.sinAatb2,c2一a2TOC o 1-5 h z它們的變形形式有：a=2RsinA,cosA。sinBb2bc5三角形中的三角變換三角形中的三角變換,除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外,還要注意