滿秩分解奇異值分解

1、第十二講滿秩分解與奇異值分解一、矩陣的滿秩分解1.定義：設Acmn（r0），若存在矩陣Fcmr及Gc；n，使得A=FG，則稱其為A的一個滿秩分解。說明：（1）F為列滿秩矩陣，即列數等于秩；G為行滿秩矩陣，即行數等于秩。（2）滿秩分解不唯一。C；r（r階可逆方陣），則A二FG二F（DD）G二（FD）（DG）二F1G1，且FC：；,GC；n2.存在性定理：任何非零矩陣均存在滿秩矩陣證明：采用構造性證明方法。設AC：n，則存在初等變換矩陣Gr行使EA二B二，其中GC；nO(m-r)行將A寫成A二EB，并把E分塊成EJF|S，其中r列（m_r）列mrFCrE是滿秩分解E是滿秩分解GS.汀GO3.Her

2、mite標準形（行階梯標準形）設BCmn（r0），且滿足（1）B的前r行中每一行至少含一個非零元素（稱為非零行）且第一個非零元素為1,而后(m-r)行的元素全為零(稱為零行);若B中第i行的第一個非零元素(即1)在第ji列(i=1,2,r)，則j1：j2：jr；矩陣B的第列，第列，第jr列合起來恰為m階單位方陣Im的前r列(即j1,j2,jr列上除了前述的1外全為0)則稱B為Hlermite標;準形。-1200-131001022例1B1=0001-11ec3*為Hermite標準形0000001000000一5軸TOCo1-5hz00102B00013c：5也是Hermite標準形00000

3、00000454.滿秩分解的一種求法設acmn,采用行初等變換將A化成Hermite標準形，其矩陣形式為EA二B，其中B為Hermite標準形定義中給出的形狀；選取置換矩陣1P的第i列為勺，即該列向量除第ji個元素為1夕卜，其余元素全為零(i=1,2,r)，其中ji為Hermite標準形中每行第一個非零元素（即1）所在的列數；2其它（n-r）列只需確保P為置換矩陣即可（P的每一行，每一列均只有一個非零元素，且為1）；3用p右乘任何矩陣（可乘性得到滿足時），即可得該矩陣的第ji列置換到新矩陣（即乘積矩陣）的第i列r列(n_r)列r列(n_r)列4令P=IP1|*丨，即R二ej1列2勺（3）令G=

4、B的前r行Cnn,F二APC：r則A=FG證明：EA=B=|G=FG則FC；r，,A=EB=【F|S】|GlGC；n,G已知，但F=?,當然可以通過求出E,E_1再將EJ分塊得到，但這樣G就沒必要采用Hermite標準形形式，注意到BR=Ir,9貝SAP廠EBR二IF貝SAP廠EBR二IF|SO101求其滿秩分解1解：（1）首先求出A的秩。顯然，前兩列互相獨立，而第三行可由第一行減去第二行得到，故r=2。（2）進行初等變換將A化為Hermite標準型。_12301001【A|I3=0211010一+11021001一T10|.11/201/21-101-10-1/2000|,1(3)求出P1及

5、AR1驗證：FG=0102_100-1-11-100-AIT100(2)/2IT11/211/201=2故R二010210021/2二、酉對角分解與奇異值分解1.厄米矩陣的譜分解A為厄米矩陣，則存在酉矩陣爲00211/211/21，F二AP10n11Lr-1/2U，使uhauI12將U寫成列向量形式，即U=U!U2.Uni,則1A=UUH=Iu1u2un】IIO1A=UUH=Iu1u2un】IIO1H人2|U2n1扎iUUiH1i71H入nUnOuH2.非奇異矩陣的酉對角分解定理：設A為n階非奇異矩陣，則存在n階酉矩陣U及V，使得HUAVi0(i二1,2,.,n)（若將U,V寫成U=U!U2.

6、Un】,V=ViV2.Vn】，n則AjUiV：)=1證：AhA也為n階非奇異矩陣，而且是厄米、正定矩陣，故存在n階二2為aha的特酉矩陣V,使Vh(AhA)V征值-1-1,貝Svhahav八2_1，則UHU八(VHAHAV)UHU八(VHAHAV)即U也是酉矩陣，而且uhav=v二In_1vhahav八證畢酉對角分解的求法正如證明中所給:先對aha對角化（酉對角化），求出變換矩陣V，再令u=AVW3.一般矩陣的奇異值分解定理：設ACmn，貝S存在m階酉矩陣U及n階酉矩陣V,使6012O0r-OOjr列uhav二行即(m-r)行(n-r)列VHVH證：首先考慮ahaHnnAACr，CJr因為ra

7、nk(AHA)二rank(AAH)二rankA，故而且是厄米、半正定的，存在n階酉矩陣V,使Vh(AhA)VVh(AhA)VOnn-1M|V2Ir列(n-r)列HhV(AA)VHhV(AA)V二V(AHA)V1_v2H(AHA)V1HhVi(AA)V2V；(AHA)V2一V1h(AhA)V1八V1h(AhA)V1八ViH(AHA)VOr(n.)|_|_|V2(AA)V2=0(n)(n)令S=AV則U；AV1八，又(AV2)H(AV2)=0AV2二0在U1的基礎上構造酉矩陣U=LU1|U21,即UHU二I這由前面基擴充定理可知是可行的,U；Ui=lr,U；U2=Or(n，UHU2二JHuHUAVuHAIV1VUH