立體幾何(向量法)-找點(diǎn)難(列方程)

1、立體幾何（向量法）找點(diǎn)難（列方程）例1（2012高考真題福建理18）如圖13，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD中點(diǎn)(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長(zhǎng)圖13【答案】解：(1)以A為原點(diǎn)，eq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6()，eq o(AA1,sup6()的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Eeq blc(rc)(avs4

2、alco1(f(a,2)，1，0)，B1(a,0,1)，故AD1(0,1,1)，eq o(B1E,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，1，1)，eq o(AB1,sup6()(a,0,1)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，1，0).eq o(AD1,sup6()eq o(B1E,sup6()eq f(a,2)011(1)10，B1EAD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此時(shí)eq o(DP,sup6()(0，1，z0)又設(shè)平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE

3、，neq o(AB1,sup6()，neq o(AE,sup6()，得eq blcrc (avs4alco1(axz0，,f(ax,2)y0.)取x1，得平面B1AE的一個(gè)法向量neq blc(rc)(avs4alco1(1，f(a,2)，a).要使DP平面B1AE，只要neq o(DP,sup6()，有eq f(a,2)az00，解得z0eq f(1,2).又DP平面B1AE，存在點(diǎn)P，滿足DP平面B1AE，此時(shí)APeq f(1,2).(3)連接A1D，B1C，由長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1E

4、B1，AD1平面DCB1A1.eq o(AD1,sup6()是平面A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí)eq o(AD1,sup6()(0,1,1)設(shè)eq o(AD1,sup6()與n所成的角為，則coseq f(no(AD1,sup6(),|n|o(AD1,sup6()|)eq f(f(a,2)a,r(2)r(1f(a2,4)a2).二面角AB1EA1的大小為30，|cos|cos30，即eq f(f(3a,2),r(2)r(1f(5a2,4)eq f(r(3),2)，解得a2，即AB的長(zhǎng)為2.例2（2012高考真題北京理16）（本小題共14分） 如圖1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，

5、D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE=2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如圖2.(I)求證：A1C平面BCDE；(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大??；(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如圖建系，則，,設(shè)平面法向量為則 又，與平面所成角的大小。（3）設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則則，設(shè)平面法向量為，則 。假設(shè)平面與平面垂直，則，不存在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面垂直。例3（2012高考真題全國(guó)卷理18）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）如圖

6、11，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC2eq r(2)，PA2，E是PC上的一點(diǎn)，PE2EC.(1)證明：PC平面BED；(2)設(shè)二面角APBC為90，求PD與平面PBC所成角的大小圖11【答案】解：方法一：(1)因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.設(shè)ACBDF，連結(jié)EF.因?yàn)锳C2eq r(2)，PA2，PE2EC，故PC2eq r(3)，ECeq f(2r(3),3)，F(xiàn)Ceq r(2)，從而eq f(PC,FC)eq r(6)，eq f(AC,EC)eq r(6).因?yàn)閑q f(PC,FC)eq f(AC,EC)，F(xiàn)CEP

7、CA，所以FCEPCA，F(xiàn)ECPAC90，由此知PCEF.PC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)在平面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AGPB，G為垂足因?yàn)槎娼茿PBC為90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD為正方形，AD2，PDeq r(PA2AD2)2eq r(2).設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳DBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，AD兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，即dAGeq r(2).設(shè)PD與平

8、面PBC所成的角為，則sineq f(d,PD)eq f(1,2).所以PD與平面PBC所成的角為30.方法二：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)C(2eq r(2)，0,0)，D(eq r(2)，b,0)，其中b0，則P(0,0,2)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(4r(2),3)，0，f(2,3)，B(eq r(2)，b,0)于是eq o(PC,sup6()(2eq r(2)，0，2)，eq o(BE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),3)，b，f(2,3)，eq o(DE,sup6()

9、eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),3)，b，f(2,3)，從而eq o(PC,sup6()eq o(BE,sup6()0，eq o(PC,sup6()eq o(DE,sup6()0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)eq o(AP,sup6()(0,0,2)，eq o(AB,sup6()(eq r(2)，b,0)設(shè)(x，y，z)為平面PAB的法向量，則eq o(AP,sup6()0，eq o(AB,sup6()0，即2z0，且eq r(2)xby0，令xb，則(b，eq r(2)，0)設(shè)(p，q，r)為平面PBC的法向量，則eq o(PC,su

10、p6()0，eq o(BE,sup6()0，即2eq r(2)p2r0且eq f(r(2)p,3)bqeq f(2,3)r0，令p1，則req r(2)，qeq f(r(2),b)，eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(2),b)，r(2).因?yàn)槊鍼AB面PBC，故0，即beq f(2,b)0，故beq r(2)，于是(1，1，eq r(2)，eq o(DP,sup6()(eq r(2)，eq r(2)，2)，cos，eq o(DP,sup6()eq f(no(DP,sup6(),|n|o(DP,sup6()|)eq f(1,2)，eq o(DP,sup6()60.因?yàn)镻D與平

11、面PBC所成角和，eq o(DP,sup6()互余，故PD與平面PBC所成的角為30.例4（2012高考真題天津理17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1.（）證明PCAD；（）求二面角A-PC-D的正弦值；（）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30，求AE的長(zhǎng). 【答案】解：方法一：如圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0)，P(0,0,2)(1)

12、易得eq o(PC,sup6()(0,1，2)，eq o(AD,sup6()(2,0,0)，于是eq o(PC,sup6()eq o(AD,sup6()0，所以PCAD.(2)eq o(PC,sup6()(0,1，2)，eq o(CD,sup6()(2，1，0)設(shè)平面PCD的法向量(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(o(PC,sup6()0，,no(CD,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(y2z0，,2xy0.)不妨令z1，可得(1,2,1)可取平面PAC的法向量(1,0,0)于是cos，eq f(mn,|m|n|)eq f(1,r(6)eq f

13、(r(6),6)，從而sin，eq f(r(30),6).所以二面角APCD的正弦值為eq f(r(30),6).(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0，h)，其中h0,2由此得eq o(BE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，h)，由eq o(CD,sup6()(2，1,0)，故coseq o(BE,sup6()，eq o(CD,sup6()eq f(o(BE,sup6()o(CD,sup6(),|o(BE,sup6()|o(CD,sup6()|)eq f(f(3,2),r(f(1,2)h2)r(5)eq f(3,r(1020 h2)，所以，eq f(3

14、,r(1020 h2)cos30eq f(r(3),2)，解得heq f(r(10),10)，即AEeq f(r(10),10).方法二：(1)由PA平面ABCD，可得PAAD.又由ADAC，PAACA，故AD平面PAC，又PC平面PAC，所以PCAD.(2)如圖所示，作AHPC于點(diǎn)H，連接DH.由PCAD，PCAH，可得PC平面ADH，因此DHPC，從而AHD為二面角APCD的平面角.在RtPAC中，PA2，AC1，由此得AHeq f(2,r(5).由(1)知ADAH.故在RtDAH中，DHeq r(AD2AH2)eq f(2r(30),5).因此sinAHDeq f(AD,DH)eq f(r(30),6).所以二面角APCD的正弦值為eq f(r(30),6).(3)如圖所示，因?yàn)锳DC45，故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF.故EBF或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角由BFCD，故AFBADC.在RtDAC中，CDeq r(5)，sinADCeq f(1,r(5)，故sinAFBeq f(1,r(5) .在AFB中，由eq f(BF,sinFAB)eq f(AB,sinAFB)，ABeq f(1,r(2)，sinFABsin135eq f(r