5.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

1、靖邊縣第七中學(xué) 高艷詳解九章算法中記載的表?xiàng)?輝楊輝三角計算(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表 n(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)12345616152015611510105114641133112111對稱性一般地，對于n N*有二項(xiàng)定理:二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是哪些？共有多少個？ 下面我們借助于楊輝三角研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過觀察n為特殊值時，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關(guān)系嗎？ 3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?每行兩端都是1 Cn0= C

2、nn=1從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+ 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是： 從函數(shù)角度看， 可看成是以r為自變量的函數(shù) ,其定義域是： 當(dāng) 時，其圖象是右圖中的7個孤立點(diǎn)（1）對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等這一性質(zhì)可直接由公式 得到圖象的對稱軸： 因此，當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 取得最大值； 當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 、相等，且同時取得最大值。（2）增減性與最大值 （3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和 在二項(xiàng)式定理中，令 ，則： 這就是說， 的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于： （1） 一般地， 展開式的二項(xiàng)式系數(shù) 有如下基本性質(zhì)： （2）（4） （3）當(dāng)n為偶數(shù)時， 最大 當(dāng)n為奇數(shù)時， = 且最大 （對稱性）第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 1第5行 1 5 1第6行 1 6 15 6 1第n-1行 11 第n行 11 第7行 1 7 21 21 7 11035+=3551520104“斜線和”=例2 證明：在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。例1：在 的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)求展開式中 的系數(shù)。已知求:(1) ； (2) ； (3) ; (1