高考解答題專項(xiàng)四　第1課時(shí)　利用空間向量證明平行、垂直與利用空間向量求距離

1、 高考解答題專項(xiàng)四立體幾何中的綜合問題第1課時(shí)利用空間向量證明平行、垂直與利用空間向量求距離1.如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=2AB,B1C112BC,AA1平面BAC.求證:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.2.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別為A1B1,B1C1,C1D1的中點(diǎn).(1)求證:AG平面BEF;(2)試在棱BB1上找一點(diǎn)M,使DM平面BEF,并證明你的結(jié)論.3.(2021重慶八中月考)如圖1,C,D是以AB為直徑的圓上兩點(diǎn),且AB=2AD,AC=BC,將ABC所在的半

2、圓沿直徑AB折起,使得點(diǎn)C在平面ABD上的正投影E在線段BD上,如圖2.(1)求證:BC平面ACD;(2)已知O為AB中點(diǎn),在線段CE上是否存在點(diǎn)F,使得OF平面ACD?若存在,求出CFFE的值;若不存在,請說明理由.4.如圖,BCD與MCD都是邊長為2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=23,求點(diǎn)A到平面MBC的距離.5.(2021山東煙臺(tái)二中三模)在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,AA1=2AB=2.求BC到平面ADC1B1的距離.6.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,AC=4,BD=2,且側(cè)棱AA1=3.其中O1為A1

3、C1與B1D1的交點(diǎn).(1)求點(diǎn)B1到平面D1AC的距離;(2)在線段BO1上,是否存在一個(gè)點(diǎn)P,使得直線AP與CD1垂直?若存在,求出線段BP的長;若不存在,請說明理由.高考解答題專項(xiàng)四立體幾何中的綜合問題第1課時(shí)利用空間向量證明平行、垂直與利用空間向量求距離1.證明AA1平面BAC,AA1AB,AA1AC.又AB=AC,BC=2AB,CAB=90,即CAAB,AB,AC,AA1兩兩互相垂直.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)AB=2,則A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)A1B1=(0,2,0),由圖知,平面AA1C的

4、一個(gè)法向量為n=(0,1,0).A1B1=2n,即A1B1n.A1B1平面AA1C.(2)易知AB1=(0,2,2),A1C1=(1,1,0),A1C=(2,0,-2),設(shè)平面A1C1C的一個(gè)法向量m=(x1,y1,z1),則mA1C1=0,mA1C=0,即x1+y1=0,2x1-2z1=0,令x1=1,則y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).AB1m=01+2(-1)+21=0,AB1m.又AB1平面A1C1C,AB1平面A1C1C.2.(1)證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1分別作為x軸,y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),E1,12,1,F12

5、,1,1,G0,12,1,EF=-12,12,0,BF=-12,0,1,而AG=-1,12,1,AG=EF+BF,故AG與EF,BF共面.AG不在平面BEF內(nèi),AG平面BEF.(2)解設(shè)M(1,1,m),則DM=(1,1,m),DM平面BEF,DMEF=0,DMBF=0,-12+m=0,解得m=12,故當(dāng)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí),DM平面BEF.3.(1)證明因?yàn)镃E平面ABD,AD平面ABD,所以ADCE.因?yàn)锳DDB,CEDB=E,所以AD平面BCD.因?yàn)锽C平面BCD,所以ADBC.又BCAC,ACAD=A,所以BC平面ADC.(2)解不存在.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),垂直于AB的方向?yàn)閤軸正方向,O

6、B為y軸正方向,垂直于平面ADB的方向?yàn)閦軸正方向.不妨設(shè)圓的半徑為3,E為點(diǎn)C在平面ABD上的正投影,所以E在x軸正方向上.由AB=2AD,知ABD=30,則BE=2,OE=1,BC=6,CE=2,所以E(1,0,0),B(0,3,0),C(1,0,2).設(shè)F(1,0,t),t0,2).由(1)知BC即為平面ACD的法向量,BC=(1,-3,2),OF=(1,0,t),若OF平面CAD,則OFBC=0,即1+2t=0,t=-22,所以線段CE上不存在點(diǎn)F,使得OF平面CAD.4.解如圖,取CD的中點(diǎn)O,連接OB,OM,因?yàn)锽CD與MCD均為正三角形,所以O(shè)BCD,OMCD.又平面MCD平面B

7、CD,平面MCD平面BCD=CD,OM平面MCD,所以MO平面BCD,所以O(shè)MOB.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OC,BO,OM分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)锽CD與MCD都是邊長為2的正三角形,所以O(shè)B=OM=3,則O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,3),B(0,-3,0),A(0,-3,23),所以BC=(1,3,0),BM=(0,3,3).設(shè)平面MBC的法向量n=(x,y,z),由nBC,nBM,得nBC=0,nBM=0,即x+3y=0,3y+3z=0,取x=3,可得平面MBC的一個(gè)法向量為n=(3,-1,1).又BA=(0,0,23),所以所求距離為d=

8、|BAn|n|=2155.5.解連接AE,因?yàn)榱呅蜛BCDEF為正六邊形,則AFE=DEF=120,因?yàn)锳F=EF,則AEF=30,故AED=90,因?yàn)镋E1底面ABCDEF,不妨以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EA,ED,EE1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則A(3,0,0),B(3,1,0),D(0,1,0),B1(3,1,2),在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,BB1CC1且BB1=CC1,所以四邊形BB1C1C為平行四邊形,則BCB1C1.因?yàn)锽C平面ADC1B1,B1C1平面ADC1B1,所以BC平面ADC1B1,所以BC到平面ADC1B1的距離等

9、于點(diǎn)B到平面ADC1B1的距離.設(shè)平面ADC1B1的法向量為m=(x1,y1,z1),AD=(-3,1,0),AB1=(0,1,2),由mAD=-3x1+y1=0,mAB1=y1+2z1=0,取y1=23,則m=(2,23,-3),AB=(0,1,0),所以直線BC到平面ADC1B1的距離為d=|ABm|m|=2319=25719.6.解(1)由于菱形的對角線互相垂直平分,故以AC與BD的交點(diǎn)O為原點(diǎn),以射線OA,OB,OO1分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),B(0,1,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3),B1(0,1,3),D1(0,-1,3),設(shè)平面D1AC的法向量為n=(x,y,z),由AC=(-4,0,0),AD1=(-2,-1,3),得nAC=-4x=0,nAD1=-2x-y+3z=0,令z=1,則n=(0,3,1).因?yàn)镈1B1=(0,2,0),故點(diǎn)B1到平面D1AC的距離為d=|D1B1n|n|=610=3510.(2)設(shè)BP=BO1,01,則由AB