2010年四川省高考數(shù)學試卷(理科)答案與解析

1、 參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）（5分）（2010四川）i是虛數(shù)單位，計算i+i2+i3=（）A.-1B.1C.-iD.i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算.【分析】利用復數(shù)i的幕的運算，容易得到答案.【解答】解：由復數(shù)性質知：i2=-1故i+i2+i3=i+（-1）+（-i）=-1故選A【點評】本題考查復數(shù)幕的運算，是基礎題.（5分）（2010四川）下列四個圖象所表示的函數(shù)，在點x=0處連續(xù)的是（）A.D.【考點】函數(shù)的連續(xù)性.【專題】數(shù)形結合.【分析】根據連續(xù)的定義，函數(shù)f在x=0連續(xù)，滿足兩個條件f不僅在x=0處有極限且有定義，而且等于它的函數(shù)值.根據圖象

2、可知A函數(shù)在x=0無定義，B有間斷點即極限不存在,C雖然有極限但是極限不等于f（0），得到正確答案即可.【解答】解：由圖象及函數(shù)連續(xù)的性質知，A中的函數(shù)在x=0處無意義，所以不連續(xù)；B中的函數(shù)x趨于0無極限，所以不連續(xù)；C中雖然有極限，但是不等于f（0）,所以不連續(xù)；只有D滿足連續(xù)的定義，所以D中的函數(shù)在x=0連續(xù).所以D正確.故選D【點評】考查學生掌握連續(xù)的定義，會利用數(shù)學結合的數(shù)學思想解決實際問題.3.（5分）（2010四川）21og510+log50.25=（）A.0B.1C.2D.4【考點】對數(shù)的運算性質.【分析】根據對數(shù)運算法則可直接得到答案.【解答】解：T21og510+log50

3、.25=log5l00+log50.25=log525=2故選C.【點評】本題主要考查對數(shù)的運算法則.（5分）（2010四川）函數(shù)f（x）=x2+mx+1的圖象關于直線x=1對稱的充要條件是（）A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1【考點】函數(shù)的圖象.【專題】計算題.【分析】根據二次函數(shù)對稱軸定義和互為充要條件的條件去判斷即可.【解答】解：函數(shù)f（x）=x2+mx+1的對稱軸為x=-專o-更=1nm=-2.2答案：A.【點評】本題考查了互為充要條件的關系和二次函數(shù)的對稱軸問題.（5分）（2010四川）設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，BC2二16，|AB+AC|=|AB-ACI，

4、則丨酬1=（）A.8B.4C.2D.1【考點】向量的線性運算性質及幾何意義.【分析】先求出lBC|=4,又因為|扭十AC|-1AB-AC|=1眈1=2丨慚|=4，可得答案.2-【解答】解：由BC=16，得|EC|=4,T|運+血|二|込AC|=迅0=4，而|逓+疋曰|巫|I瓦|=2故選C.【點評】本題主要考查平面向量的線性運算，屬基礎題.（5分）（2010四川）將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向右平行移動尋個單位長度，再TOC o 1-5 h z把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式是（）7T7T17T171A.y=sin（2x-JB.y=sin（2x-JC.

5、y=sin（x-）D.y=sin（x-105210220【考點】函數(shù)y=Asin（x+Q）的圖象變換.【專題】分析法.【分析】先根據左加右減進行左右平移，然后根據橫坐標伸長到原來的2倍時w變?yōu)樵瓉淼募哆M行橫向變換.【解答】解：將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向右平行移朮個單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式為y=sin（x-需）再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式是y=sin（丄x）.210故選C.【點評】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換.平移的原則是左加右減、上加下減.（5分）（2010四川）某加工廠用某原料由甲車間加工出A產品，由乙車間加工出B產品.甲車間加

6、工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產品，每千克A產品獲利40元.乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產品，每千克B產品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天獲利最大的生產計劃為（）甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱【考點】簡單線性規(guī)劃的應用.【專題】計算題；壓軸題.【分析】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，根據題意列出不等式組，找出目標函數(shù)【解答】解：

7、設甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，70則1_0工+6応4罰嚴yEN目標函數(shù)z=280 x+200y結合圖象可得：當x=15，y=55時z最大.故選B.【點評】在解決線性規(guī)劃問題是，我們常尋找邊界點，代入驗證確定最值8.（5分）（2010四川）已知數(shù)列%的首項a10，其前n項的和為Sn，且Sn+1=2Sn+aP則=（）A.0B.C.1D.22【考點】極限及其運算；等比數(shù)列的前n項和.【專題】計算題.【分析】由題意知an+2=2an+i，再由S2=2S+a，即a2+a=2a+aPa2=2a，知an是公比為2的等比數(shù)列，所以Sn=a+2a+22a+2nia】=(2n-1)a】,由此可知答案.

8、【解答】解：由Sn+1=2Sn+a1,且Sn+2=2Sn+1+a1作差得an+2=2an+1又S2=2S+a,即卩a2+a1=2a1+aPa2=2a1故an是公比為2的等比數(shù)列Sn=a+2a1+22a1+2n-4=(2n-1)a】仃:n_Ian2al1則linn-ooSnfL-00(2-1)a2故選B【點評】本題考查數(shù)列的極限和性質，解題時要認真審題，仔細解答.229.(5分)(2010四川)橢圓的右焦點為F,其右準線與x軸的交a2b2點為A.在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F,則橢圓離心率的取值范圍是【考點】橢圓的簡單性質.【專題】計算題；壓軸題.【分析】由題意，橢圓上存在點P,

9、使得線段AP的垂直平分線過點F,即F點到P點與A點的距離相等，根據IPFI的范圍求得IFAI的范圍，進而求得蘭的范圍即離心率e的范圍.a【解答】解：由題意，橢圓上存在點P,使得線段AP的垂直平分線過點F,即F點到P點與A點的距離相等2,2而IFAI=ccIPFlGa-c,a+c,2于是Ga-c,a+cc即ac-c2b2ac+c2-a【解答】解：2$【專題】計算題；壓軸題.整理成且一b丿a,進而利用均值不等式求得原式的最小值.冷-bj7-:-10且u+25cm）（a-5c）+a_ab+ab4(a5c)2+ab+-+a(a_b)+ab0+2+2=4當且僅當a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1時

10、等號成立c=滿足條件.5故選B【點評】本題主要考查了基本不等式的應用.主要口考查了運用基本不等式求最值的問題.二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.（4分）（2010四川）的展開式中的第四項是二【考點】二項式定理.【專題】計算題.【分析】利用二項式的展開式的通項公式求出第4項.【解答】解：t4=C；故答案為：-丄巴【點評】本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具.14.（4分）（2010四川）直線x-2y+5=0與圓x2+y2=8相交于A、B兩點，則IABI=：3.【考點】直線與圓的位置關系.【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圓心到直線的距離來求解

11、.【解答】解：圓心為（0,0）,半徑為2屜圓心到直線x-2y+5=0的距離為d一山十-22故得IABI=2l3._故答案為：2帀.【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查學生的理解能力，是基礎題.15.（4分）（2010四川）如圖，二面角a-1-B的大小是0,線段ABua.BGl,AB與l所成的角為30.則AB與平面B所成的角的正弦值是_呼_.【考點】平面與平面之間的位置關系；與二面角有關的立體幾何綜合題.【專題】計算題；壓軸題.【分析】過點A作平面B的垂線，垂足為C,在B內過C作1的垂線.垂足為D,連接AD,從而/ADC為二面角a-1-B的平面角，連接CB,貝貶ABC為AB與平面B所成的角，

12、在直角三角形ABC中求出此角即可.【解答】解：過點A作平面B的垂線，垂足為C,在B內過C作1的垂線.垂足為D連接AD,有三垂線定理可知AD丄1,故/ADC為二面角a-1-p的平面角，為60又由已知，ZABD=30連接CB,貝貶ABC_為AB與平面p所成的角設AD=2，貝9AC=l3,CD=1AB=AD=4sin30sinZABC；AB_4【點評】本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及直線與平面所成角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題.（4分）（2010四川）設S為復數(shù)集C的非空子集.若對任意x，yGS,都有x+y,x-y，xyGS，則稱S為封閉集.下列命題：集合S=a

13、+bil（a,b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）為封閉集；若S為封閉集，則一定有0GS；封閉集一定是無限集；若S為封閉集，則滿足SCTCC的任意集合T也是封閉集.其中真命題是.（寫出所有真命題的序號）【考點】集合的包含關系判斷及應用；子集與真子集；復數(shù)的基本概念.【專題】計算題；綜合題；壓軸題；新定義.【分析由題意直接驗證即可判斷正誤;令x=y可推出是正確的;找出反例集合S=0,即可判斷的錯誤.S=0,T=0,1,推出-1不屬于T,判斷是錯誤的.【解答】解：兩個復數(shù)的和是復數(shù)，兩個復數(shù)的差也是復數(shù)，所以集=a+bi|（a,b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）為封閉集，正確.當S為封閉集時，因為x-yGS，取x=y,

14、得0GS,正確對于集合S=0，顯然滿足所有條件，但S是有限集，錯誤取S=0,T=0,1,滿足SCTCC，但由于0-1=-1不屬于T,故T不是封閉集，錯誤.【點評】本題考查復數(shù)的基本概念，集合的子集，集合的包含關系判斷及應用，是中檔題.三、解答題（共6小題，滿分74分）（12分）（2010四川）某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內印有，獎勵一瓶”或謝謝購買”字樣,購買一瓶若其瓶蓋內印有獎勵一瓶字樣即為中獎，中獎概率理.甲、乙、丙三位同學每人購買了一瓶該飲料.求甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率；(口)求中獎人數(shù)E的分布列及數(shù)學期望E&【考點】離散型隨機變量及其分布列；隨機事件.【專題】計算題.【分析(1)甲、

15、乙、丙三位同學每人是否中獎相互獨立，可利用獨立事件的概率求解，甲中獎概率為j,乙、丙沒有中獎的概率為卡，相乘即可.中獎人數(shù)E的所有取值為0,1,2,3,是二項分布.EB(3,【解答】解：(1)設甲、乙、丙中獎的事件分別為A、B、C,那么P(A)=P(B)=P(C)p=p(A)P(B)p(C)#申2=-,答：甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率(2)E的可能值為0,1,2,3,P(E=k)=:(k=0,1,2,3)所以中獎人數(shù)E的分布列為0123P12525512167272216Ec=0 x+1x+2x+3x-【點評】本題考查相互獨立事件、互斥事件的概率、離散型隨機變量的分布列、二項分布及期望等知識

16、.同時考查利用所學知識分析問題解決問題的能力.18.(12分)(2010四川)已知正方體ABCD-ABCD的棱長為1,點M是棱AA，的中點,點O是對角線BD的中點.(I)求證：OM為異面直線AA，和BDZ的公垂線；(口)求二面角M-BCZ-BZ的大小；(皿)求三棱錐M-OBC的體積.【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線的判定；直線與平面垂直的判定；與二面角有關的立體幾何綜合題.【專題】計算題；綜合題；轉化思想.【分析（I）連接AC,取AC中點K,則K為BD的中點，連接OK,證明MO丄AA,M0丄BDOM是異面直線AA和BDZ都相交，即可證明OM為異面直線AA和BDZ的公垂線；（口）取BBZ

17、中點N,連接MN，則MN丄平面BCCZBZ,過點N作NH丄BC于H,連接MH,說明/MHN為二面角M-BCZ-B，的平面角，解三角形求二面角M-BCZ-B，的大小；（皿）利用Vm-obc=Vm-oad=Vo-mad，求出仏ma，d以及0到平面MAD距離h,即可求三棱錐M-OBC的體積.【解答】解：（I）連接AC,取AC中點K,則K為BD的中點，連接0K因為M是棱AA的中點，點0是BD的中點所以AMDD所以moM由AA丄AK,得MO丄AA因為AK丄BD,AK丄BB,所以AK丄平面BDDB所以AK丄BD所以MO丄BDZ又因為OM是異面直線AA和BD都相交故OM為異面直線AA和BDZ的公垂線（口）取

18、BB中點N,連接MN,貝VMN丄平面BCCZBZ過點N作NH丄BC于H,連接MH則由三垂線定理得BC丄MH從而，ZMHN為二面角M-BC-B的平面角V2VsMN=1,NH=BNsin45=24卄亠1W1戸廠在RtAMNH中，tanZMHN貢故二面角M-BC-Bz的大小為arctan2l2（皿）易知,Sa0bc=Saoa，d，且OBC和厶OAD都在平面BCDA內點O到平面MAZDZ距離h=gVM-OBC=VM-OAD=VO-MAd=ESAMADh=DrCf【點評】本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決數(shù)

19、學問題的能力.19.(12分)(2010四川)(I)證明兩角和的余弦公式Ca+B：os(a+B)=cosacosB-sinasinB；由Ca+p推導兩角和的正弦公式Sa+B：sin(a+B)=sinacosB+cosasinB.(口)已知ABC的面積諾，血疋二3，且U口SB二，求cosC.【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)；同角三角函數(shù)基本關系的運用；兩角和與差的正弦函數(shù).【專題】計算題；證明題.【分析(I)建立單位圓，在單位圓中作出角，找出相應的單位圓上的點的坐標，由兩點間距離公式建立方程化簡整理既得；由誘導公式cos號-(a+B)=sin(a+B)變形整理可得.(口)，求出角A的正弦，再由，用c

20、osC=-cos(A+B)求解即可.【解答】解：(I)如圖，在直角坐標系xOy內做單位圓O,并作出角a、B與-B，使角a的始邊為Ox,交OO于點P1，終邊交OO于P2；角B的始邊為OP2，終邊交OO于P3；角-B的始邊為OP，終邊交OO于P4.則P1(1，0)，P2(cosa，sina)P3(cos(a+B)，sin(a+B),P4(cos(-B),sin(-B)由P1P3=P2P4及兩點間的距離公式，得cos(a+B)-12+sin2(a+B)=cos(-B)-cosa2+sin(-B)-sina2展開并整理得：2-2cos(a+B)=2-2(cosacosB-sinasinB)二cos(a

21、+B)=cosacosB-sinasinB.(4分)兀7T由易得cos(-a)=sina，sin(-a)=cosasin(a+B)=cos-兀2(a+B)=cos(兀2-a)+(-B)=cos(兀2-a)cos(-B)-a)sin(-B)=sinacosB+cosasinB(6分)(口)由題意，設ABC的角B、C的對邊分別為b、c1T-則S祜bcsinA=bccosA=30AG(0,cosA=3sinA2又sin2A+cos2A=1,sinA=，cosA=-1010由題意，cosB三，得sinB55cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=】10故cosC=cosn-(A+B)=-

22、cos(A+B)=(12分)10【點評】本小題主要考查兩角和的正、余弦公式、誘導公式、同角三角函數(shù)間的關系等基礎知識及運算能力.20.(12分)(2010四川)已知定點A(-1,0),F(2,0),定直線1：，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線1的距離的2倍.設點P的軌跡為E,過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交1于點M、N.(I)求E的方程；(口)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F,并說明理由.【考點】圓與圓錐曲線的綜合.【專題】計算題；證明題；壓軸題.【分析】(I)設P(x,y),欲求點P的軌跡方程，只須求出x,y之間的關系式即可，結合題中條件：“動點P與點F的距離是

23、它到直線1的距離的2倍利用距離公式即得；(口)先分類討論：當直線BC與x軸不垂直時；當直線BC與x軸垂直時，對于第種情形，設BC的方程為y=k(x-2),將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合向量垂直的關系利用向量的坐標運算即可求得結論，從而解決問題.對于第種情形，由于直線方程較簡單，直接代入計算即可驗證.【解答】解:(I)設P(x,y),則；(x-2)2+y2=2|x-|2化簡得X2-總弋1(yH0)；(口)當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y=k(x-2)(kH0)2與雙曲線x2=1聯(lián)立消去y得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0-1由題意知3

24、-k20且厶0S1設B(x1,y1),C(x2,y2),貝S12_k2-34k+3y2=k2(X-2)(X2-2)=k2XX2-2(X+X2)+4=k2(因此M點的坐標為Kl+1)一z35、)冊同理可得FN二(-寺3y22(込+1)因為Xi、x2h-1,所以直線AB的方程為y=(X+1)-81kfck.因此FA4(屮)_=9當直線BC與x軸垂直時，直線方程為x=2，則B(2,3),C(2,-3)AB的方程為y=x+1,因此M點的坐標為(*,為)，阿二(一為，號)同理可得FN二因此二(_)2+-|X一號)=0綜上FN=0,即FM丄FN故以線段MN為直徑的圓經過點F.【點評】本小題主要考查直線、軌

25、跡方程、雙曲線等基礎知識，考查平面解析幾何的思想方法及推理運算能力.21.(12分)(2010四川)已知數(shù)列an滿足ai=0,a2=2，且對任意m、nGN*都有a2m-i+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2求a3,a5；設bn=a2n+i-a2n-i(nGN*),證明:bj是等差數(shù)列；設cn=(an+i-an)qn-i(qHO,nGN*),求數(shù)列cn的前n項和Sn.【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和.【專題】綜合題；壓軸題；轉化思想.【分析(1)欲求a3,a5只需令m=2,n=1賦值即可.以n+2代替m,然后利用配湊得到bn+i-bn，和等差數(shù)列的定義即可證明.由(1)(2)兩問的結果可以

26、求得cn,利用乘公比錯位相減求cn的前n項和Sn.【解答】解：(1)由題意，令m=2,n=1,可得a3=2a2-a+2=6再令m=3,n=1,可得a5=2a3-a+8=20(2)當nGN*時，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8于是a2（n+1）+1-a2（n+l）_l（a2n+l_a2n_1）=8即bn+1-bn=8所以bj是公差為8的等差數(shù)列（3）由（1）（2）解答可知bn是首項為b=a3-a=6,公差為8的等差數(shù)列則bn=8n-2,即a2n+i-a?i=8n-2另由已知（令m=1）可得an=%-1+且1(n-1)2.那么an+1-a2n-128n-2-2n

27、+1=2n于是cn=2nqn-1.當q=1時，Sn=2+4+6+2n=n(n+1)當qH1時，Sn=2q+4q1+6q2+.+2nqn-兩邊同乘以q,可得qSn=2q1+4q2+6q3+.+2nqn.上述兩式相減得(1-q)Sn=2(1+q+q2+.+qn-1)-2nqn1-=2-2nqn1_qCn+1)q如屮十L-【卅1)屮+1(q-1)222.(14分)(2010四川)設f1-aKa0且aH1),g(x)是f(x)的反函數(shù).設關于x的方程求心S（葢）在區(qū)間2,6上有實數(shù)解,n(n+L)(q=l)綜上所述，sn=所以Sn=2【點評】本小題是中檔題，主要考查數(shù)列的基礎知識和化歸、分類整合等數(shù)學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力.同時考查了等差，等比數(shù)列的定義，通項公式，和數(shù)列求和的方法