導數(shù)微分以及其應用

1、關于導數(shù)微分及其應用27.07.20221第一張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.20222大學數(shù)學基礎 微積分的產(chǎn)生是數(shù)學上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術和理論科學的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術和科學的發(fā)展。 微積分是微分學和積分學的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期。早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅，而我國莊子的天下篇中也有 “ 一尺之錘，日取其半，萬世不竭 ” 的極限思想，公元 263 年，劉徽為九間算術作注時提出了 “ 割圓術 ” ，用正多邊形來逼近圓周。這是極限論思想的成功運用。 積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)

2、學家阿基米德在拋物線求積法中用究竭法求出拋物線弓形的面積，沒有用極限，是 “ 有限 ” 開工的窮竭法。微積分的創(chuàng)始人是牛頓和萊布尼茨。 解析幾何為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎 。第二張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.20223大學數(shù)學基礎第一節(jié) 函 數(shù)區(qū)間一、預備知識設a，b是兩個實數(shù)，且ab開區(qū)間 ： 滿足不等式 axb一切實數(shù)的全 體。閉區(qū)間 ： 滿足不等式 axb的一切實數(shù)的 全體。 半開區(qū)間 ：滿足不等式 axb的一切實數(shù)的 全體。 ：a x b第三張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.20224大學數(shù)學基礎表示全體實數(shù)，或寫成 x ；表示大于a的全體

3、實數(shù)，或寫成a x +；表示小于a的全體實數(shù)，或寫成 x a；表示 a x +；表示N的一切an，有不等式 | an a| 稱數(shù)列an以有限數(shù)a為極限，常數(shù)a叫作數(shù)列an當n時的極限?；蚍Q數(shù)列an收斂到a，記作第十六張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202217大學數(shù)學基礎(2)、單調(diào)數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱單調(diào)數(shù)列。 (3)、有界數(shù)列對于數(shù)列an，如果存在正數(shù)M，使得數(shù)列中的每一項an(n=1,2,3,)都滿足不等式-M an0，總存在一個0，0|x-x0|時，有 | f(x)-A|0，作直線 y=A+，y=A-,這兩條直線形成一橫條區(qū)域. 對于這個,存在點x

4、0的一個鄰域(x0-，x0+)，當x(x0-，x0+)但xx0時，有不等式：點（x, f(x)）落在上面所做的一橫條區(qū)域內(nèi)。第二十五張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202226大學數(shù)學基礎第二十六張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202227大學數(shù)學基礎第二十七張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202228大學數(shù)學基礎、當x時函數(shù)f(x)的極限第二十八張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202229大學數(shù)學基礎解第二十九張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202230大學數(shù)學基礎 、 極

5、限的四則運算法則當x 時，性質也成立。第三十張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202231大學數(shù)學基礎數(shù)列極限四則運算也有類似的定理:第三十一張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202232大學數(shù)學基礎第三十二張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202233大學數(shù)學基礎所以 解 注意到第三十三張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202234大學數(shù)學基礎分母的極限不為零。解第三十四張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202235大學數(shù)學基礎 4、兩個重要極限第三十五張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于

6、2022年6月27.07.202236大學數(shù)學基礎解因此第三十六張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202237大學數(shù)學基礎解第三十七張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202238大學數(shù)學基礎解先用x去除分母及分子，然后取極限.第三十八張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202239大學數(shù)學基礎解第三十九張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202240大學數(shù)學基礎5、無窮小量和無窮大量 、無窮小量例如一個函數(shù) 當 時以0為極限，稱該函數(shù)為當 時的無窮小量。第四十張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.0

7、7.202241大學數(shù)學基礎.定理無窮小量階 第四十一張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202242大學數(shù)學基礎第四十二張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202243大學數(shù)學基礎下面是幾個常用的等價無窮?。?第四十三張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202244大學數(shù)學基礎、無窮大量第四十四張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202245大學數(shù)學基礎第四十五張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202246大學數(shù)學基礎第三節(jié) 連 續(xù)1、連續(xù)的定義第四十六張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022

8、年6月27.07.202247大學數(shù)學基礎第四十七張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202248大學數(shù)學基礎區(qū)間連續(xù)的定義第四十八張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202249大學數(shù)學基礎連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線。 第四十九張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202250大學數(shù)學基礎第五十張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202251大學數(shù)學基礎2、初等函數(shù)的連續(xù)性定理 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)都連續(xù)。定理 初等函數(shù)在定義域上的區(qū)間上連續(xù)。第五十一張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.2

9、02252大學數(shù)學基礎解第五十二張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202253大學數(shù)學基礎3、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質有界性定理 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在此區(qū)間上一定有界。第五十三張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202254最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在此區(qū)間上一定有最大值和最小值即：大學數(shù)學基礎第五十四張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202255大學數(shù)學基礎第五十五張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202256大學數(shù)學基礎第五十六張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.2022

10、57大學數(shù)學基礎證明 第五十七張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202258大學數(shù)學基礎如果記f(x)在閉區(qū)間a, b上的最的大值為M，最小值為m, 且mcM，那么存在一點a, b使得 f()=c。第五十八張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202259大學數(shù)學基礎第五十九張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202260大學數(shù)學基礎第四節(jié) 函數(shù)的導數(shù)一、導數(shù)的概念 兩個例子 (1)、切線問題設A點是曲線c上的一點。如何確定曲線c在A點的切線AT呢？ 第六十張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202261大學數(shù)學基

11、礎第六十一張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202262大學數(shù)學基礎(2)、瞬時速度 設物體A沿著一條直線運動，我們用s=s(t)表示t時刻物體A離開初始位置的距離。求A在t0時刻的瞬時速度v(t0) ？第六十二張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202263大學數(shù)學基礎1、定義存在，則稱這個極限為函數(shù) f(x)在點x0處的導數(shù)，并稱函數(shù)f(x)在x0處可導或有導數(shù)。(點導數(shù))第六十三張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202264大學數(shù)學基礎如果這個極限不存在，就稱函數(shù)f(x)在x0處不可導 。解：第六十四張，PPT共一百零一頁，

12、創(chuàng)作于2022年6月27.07.202265大學數(shù)學基礎第六十五張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202266大學數(shù)學基礎2、定義(區(qū)間導數(shù))第六十六張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202267大學數(shù)學基礎導函數(shù)的定義式為第六十七張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202268大學數(shù)學基礎解：第六十八張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202269大學數(shù)學基礎3、 基本求導公式和求導法則基本求導公式第六十九張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202270大學數(shù)學基礎導數(shù)的四則運算 第七十張

13、，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202271大學數(shù)學基礎解：解：第七十一張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202272大學數(shù)學基礎解：第七十二張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202273大學數(shù)學基礎復合函數(shù)的求導法則鏈鎖法則 第七十三張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202274大學數(shù)學基礎解：將函數(shù)分解的兩個簡單函數(shù) ， 根據(jù)鏈鎖法則，有第七十四張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202275大學數(shù)學基礎解：將函數(shù)分解的兩個簡單函數(shù) ， 根據(jù)鏈鎖法則，有第七十五張，PPT共一百零一頁

14、，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202276大學數(shù)學基礎4、高階導數(shù) 二階及二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù) 第七十六張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202277大學數(shù)學基礎解：先求函數(shù)的一階導數(shù) 再求一階導數(shù)的導數(shù) 二階是一階導數(shù)的導數(shù) 第七十七張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202278大學數(shù)學基礎第七十八張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202279大學數(shù)學基礎第五節(jié) 函數(shù)的微分一、微分的概念 1.定義 設y=f(x)在點x處可導，則 稱為函數(shù) y=f(x)在點x處的微分，記作dy，即：dy= 。 微分的表達式2.定理：可

15、導函數(shù)一定可微，可微函數(shù)一定可導。第七十九張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202280大學數(shù)學基礎二、微分的幾何意義xyOxAT是曲線y=f(x)上點A處的切線。其中 是切線AT和x軸正方向的夾角。當自變量從x變到x+dx時，曲線y=f(x)在點A處的切線的改變量是TC=dy。這就是微分的幾何意義。第八十張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202281大學數(shù)學基礎解：因為所以第八十一張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202282大學數(shù)學基礎三、 基本微分公式第八十二張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.2022

16、83大學數(shù)學基礎四、 微分的運算第八十三張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202284大學數(shù)學基礎解：用函數(shù)乘積的微分法則， 第八十四張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202285大學數(shù)學基礎第八十五張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202286大學數(shù)學基礎第六節(jié) 導數(shù)的應用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理xyOABlP第八十六張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202287大學數(shù)學基礎第八十七張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202288大學數(shù)學基礎二、洛必塔法則 第八十八張，

17、PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202289大學數(shù)學基礎解：因為所以第八十九張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202290大學數(shù)學基礎第九十張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202291大學數(shù)學基礎大學數(shù)學基礎解：因為所以第九十一張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202292大學數(shù)學基礎三、函數(shù)的單調(diào)性第九十二張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202293大學數(shù)學基礎解：第九十三張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202294大學數(shù)學基礎四、函數(shù)的極值函數(shù)的極大值和極小值都稱為函數(shù)的極值，函數(shù)的極大值點和極小值點都稱為函數(shù)的極值點。 第九十四張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202295大學數(shù)學基礎稱使 為零的點為函數(shù)的駐點 。第九十五張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年6月27.07.202296大學數(shù)學基礎第九十六張，PPT共一百零一頁，創(chuàng)作于2022年