彈塑性力學(xué)-02(張量初步)

1、張量指標(biāo)(zhbio)符號(hào)與張量運(yùn)算 為了推導(dǎo)簡(jiǎn)潔(jinji)，采用了張量指標(biāo)符號(hào)及相應(yīng)的運(yùn)算。這里作一簡(jiǎn)介指標(biāo)符號(hào)與求和約定 張量是具有多重方向性的物理量，有多個(gè)分量。例如彈性力學(xué)中的應(yīng)力張量和應(yīng)變張量在三維空間中都有9個(gè)分量。張量可以用指標(biāo)符號(hào)來簡(jiǎn)潔地表示，指標(biāo)符號(hào)由一個(gè)名稱和一組指標(biāo)組成，例如應(yīng)力張量可以記為： 1共二十四頁張量其中 是應(yīng)力張量的名稱，9個(gè)分量都用同一名稱；右下角的i和j稱為指標(biāo)，指標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù)，即張量所具有的方向性的數(shù)目；后面括號(hào)標(biāo)明了指標(biāo)的取值范圍，即張量所在空間的維數(shù)，對(duì)三維空間每個(gè)方向性有三個(gè)分量，每個(gè)指標(biāo)可以取值為1或2或3。當(dāng)式中的i和j相互獨(dú)立地

2、分別1，2，3取時(shí)可以得到9種排列，于是用一個(gè)符號(hào) 就全面地表示了應(yīng)力張量的9個(gè)分量。通常約定：在笛卡兒直角坐標(biāo)系中一律采用位于右下角的“下指標(biāo)”；三維空間的指標(biāo)用拉丁字母表示；二維空間的指標(biāo)用希臘字母表示。按此約定，本書對(duì)用拉丁字母或希臘字母表示的指標(biāo)不再用括號(hào)加注取值范圍。2共二十四頁張量 指標(biāo)分兩類：?jiǎn)≈笜?biāo)和自由指標(biāo)。在表達(dá)式或方程的某項(xiàng)中成對(duì)出現(xiàn)(chxin)（即重復(fù)出現(xiàn)(chxin)兩次）的指標(biāo)，稱為啞指標(biāo)，簡(jiǎn)稱啞標(biāo)。啞標(biāo)定義了一種運(yùn)算法則，即按照愛因斯坦（Einstein A.）求和約定，把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。例如，兩個(gè)矢量和之點(diǎn)積的分量表達(dá)式為：引進(jìn)(ynjn)對(duì)啞

3、標(biāo)的求和約定代替疊加號(hào) 除啞標(biāo)外，在表達(dá)式或方程的某項(xiàng)中非成對(duì)出現(xiàn)（即出現(xiàn)一次或重復(fù)出現(xiàn)三次及三次以上）的其他指標(biāo)都是自由指標(biāo)。例如，采用啞標(biāo)后，線性變換寫成3共二十四頁張量再引進(jìn)自由指標(biāo)，可以(ky)進(jìn)一步合并成一個(gè)表達(dá)式：這里 是啞標(biāo)， 是自由指標(biāo)。自由指標(biāo)可以輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。4共二十四頁張量每個(gè)自由指標(biāo)代表一個(gè)方向性：當(dāng)它取值1或2或3時(shí)，分別代表該方向性在x或y或z方向上的分量。當(dāng)i分別取1,2,3時(shí)，給出三個(gè)分量方程。若表達(dá)式中出現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)不同名的自由指標(biāo)，則表示(biosh)具有兩個(gè)或多個(gè)方向性 兩個(gè)(lin )自由指標(biāo)，表示應(yīng)力是二階張量。 啞標(biāo)經(jīng)

4、過遍歷求和變成一個(gè)無方向性的數(shù)，正如力和位移兩個(gè)矢量經(jīng)過點(diǎn)乘后得到功，就不再有方向性。 5共二十四頁張量啞標(biāo)僅表示要做遍歷求和的運(yùn)算，至于用什么字母來表示則無關(guān)緊要，因此可以成對(duì)(chn du)地任意換標(biāo)。 只要(zhyo)指標(biāo)仍是啞標(biāo)且取值范圍和相同 自由指標(biāo)僅表示要在取值范圍內(nèi)輪流取值，因此也可以換標(biāo) 合理選擇指標(biāo)和及時(shí)進(jìn)行換標(biāo)是熟練應(yīng)用指標(biāo)符號(hào)的關(guān)鍵，應(yīng)用時(shí)應(yīng)該遵循如下原則： 6共二十四頁張量（1）同時(shí)取值的指標(biāo)必須同名(tngmng)，獨(dú)立取值的指標(biāo)應(yīng)防止重名。 例如，原來記為 、 和 的三個(gè)矢量 滿足矢量和關(guān)系 當(dāng)用指標(biāo)(zhbio)符號(hào)表示此求和關(guān)系時(shí)不能直接代入寫為 而應(yīng)根據(jù)“合

5、矢量的分量等于分矢量對(duì)應(yīng)分量之和”的規(guī)則把指標(biāo)換成同名，寫成 或 7共二十四頁張量反之，若要把曾記為 和 的兩個(gè)矢量的分量逐個(gè)地兩兩相乘，則指標(biāo)應(yīng)及時(shí)地?fù)Q成異名，寫成 這樣當(dāng)下標(biāo) 和 輪流取1，2，3時(shí)，共得到九個(gè)數(shù)。如果誤寫為 則成為矢量點(diǎn)積 再如： 這里用兩對(duì)異名的啞標(biāo)正確地表示了兩個(gè)括號(hào)中相互獨(dú)立的遍歷求和過程。如果誤寫成 ，則 變成自由指標(biāo)，失去了遍歷求和的意義。 8共二十四頁張量把啞標(biāo)誤寫成自由指標(biāo)的形式(xngsh)是初學(xué)者常犯的錯(cuò)誤，請(qǐng)讀者自己判別下式中不等號(hào)的原因： （2）在一個(gè)(y )用指標(biāo)符號(hào)表示的方程或表達(dá)式中可以包含若干項(xiàng)，各項(xiàng)間用加號(hào)、減號(hào)或等號(hào)分開。自由指標(biāo)的影響是

6、整體性的，它將同時(shí)出現(xiàn)在同一方程或表達(dá)式的所有各項(xiàng)中，所以自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)的同名自由指標(biāo)全部改成同一個(gè)(y )新字母，否則未換名的項(xiàng)就無法與已換名的各項(xiàng)同時(shí)求同一方向上的分量。 （3）啞標(biāo)的影響是局部性的，它可以只出現(xiàn)在方程或表達(dá)式的某一項(xiàng)中，所以啞標(biāo)只需成對(duì)地局部換名。表達(dá)式中不同項(xiàng)內(nèi)的同名啞標(biāo)并沒有必然的聯(lián)系，可以換成不同的名字，因?yàn)楦鶕?jù)求和約定，啞標(biāo)的有效范圍僅限于本項(xiàng)。9共二十四頁張量指標(biāo)(zhbio)符號(hào)也適用于微分表達(dá)式。例如，三維空間中線元長(zhǎng)度和其分量之間的關(guān)系 多變量(binling)函數(shù)的全微分可寫成多重求和可以用兩對(duì)（或幾對(duì)）不同啞標(biāo)來表示。例如

7、二重和 這里共有九項(xiàng)求和。 10共二十四頁張量對(duì)于不符合“成對(duì)準(zhǔn)則”的特殊情況需要做特殊處理。例如，若要對(duì)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，一般(ybn)應(yīng)加求和號(hào)?；蛘?，在多余指標(biāo)下加一橫，表示該多余指標(biāo)不計(jì)指標(biāo)數(shù)。例如： 若無法避免(bmin)自由指標(biāo)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，一般應(yīng)特別申明對(duì)該指標(biāo)不作遍歷求和，或者將其中一個(gè)指標(biāo)加下橫，以示不計(jì)其數(shù)。 例如方程 是自由指標(biāo) 11共二十四頁張量綜上所述，通過啞指標(biāo)(zhbio)可把許多項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)，通過自由指標(biāo)(zhbio)又把許多方程縮寫成一個(gè)方程。 指標(biāo)符號(hào)使書寫變得十分簡(jiǎn)潔，但也必須十分小心，因?yàn)樵S多重要(zhngyo)的含義往往只表現(xiàn)

8、在指標(biāo)的細(xì)微變化上。在公式推導(dǎo)過程中，要根據(jù)所描述問題本來的運(yùn)算規(guī)律來合理選擇和及時(shí)更換指標(biāo)的名稱。 12共二十四頁張量練習(xí)：將下面表達(dá)式按求和(qi h)約定寫成展開形式13共二十四頁張量練習(xí)：將下面表達(dá)式按求和約定寫成展開(zhn ki)形式注意應(yīng)力(yngl)張量和應(yīng)變張量的對(duì)稱性，有14共二十四頁張量張量運(yùn)算(yn sun)-張量代數(shù) 相等 若兩個(gè)(lin )張量和相等，則對(duì)應(yīng)分量相等。以二階張量為例： 和、差 若兩個(gè)同維同階張量與之和（或差）是另一個(gè)同維同階張量，則和（或差）的分量是兩個(gè)張量的對(duì)應(yīng)分量之和（或差）。以二階張量為例： 數(shù)積 張量和一個(gè)數(shù)（或標(biāo)量函數(shù)）相乘得到另一個(gè)同維同

9、階張量，其分量關(guān)系為15共二十四頁張量并積 兩個(gè)(lin )同維同階（或不同階）張量A和B的并積（或稱外積）T是一個(gè)階數(shù)等于A、B階數(shù)之和的高階張量，其分量由A、B兩個(gè)(lin )張量的分量?jī)蓛上喑硕?。以A、B分別為三階和二階張量為例：其中(qzhng)指標(biāo)的順序不能任意調(diào)換。 縮并 若高階張量的指標(biāo)符號(hào)中出現(xiàn)一對(duì)啞標(biāo)，則該對(duì)指標(biāo)就失去了方向性，張量被縮并為低二階的新張量。例如，三階張量 中的第一和第三指標(biāo)為啞標(biāo)，則它被縮并為一個(gè)矢量：16共二十四頁張量若啞標(biāo)的(bio de)位置不同，則縮并的結(jié)果也不同。 例如， 是一個(gè)保留了 方向性的矢量，而上述 是一個(gè)保留了 方向性的矢量。不同方向性的

10、物理意義是不一樣的例如在應(yīng)力張量 中 代表的是截面法線的方向,而 代表的是截面上應(yīng)力的分解方向。內(nèi)積 并積運(yùn)算加縮并運(yùn)算合稱為內(nèi)積。在指標(biāo)(zhbio)符號(hào)中，內(nèi)積表現(xiàn)為啞標(biāo)的一對(duì)指標(biāo)(zhbio)分別出現(xiàn)在相互并乘的兩個(gè)張量中，例如：17共二十四頁張量對(duì)并積的不同(b tn)指標(biāo)進(jìn)行縮并其結(jié)果也不同(b tn)。 點(diǎn)積 是最常用的一種內(nèi)積，它是前張量A的最后指標(biāo)與后張量B的第一指標(biāo)縮并的結(jié)果，記為 。其指標(biāo)符號(hào)為：兩個(gè)(lin )二階張量的點(diǎn)積對(duì)應(yīng)于矩陣乘法。線性代數(shù)或者空間解析幾何的點(diǎn)積是張量運(yùn)算中縮并運(yùn)算的特例18共二十四頁張量轉(zhuǎn)置 張量指標(biāo)的順序一般不能任意調(diào)換，若將張量 （指標(biāo)符號(hào)為

11、 ）的兩個(gè)指標(biāo)位置相互對(duì)換，則得到一個(gè)新張量 （指標(biāo)符號(hào)為 ），稱為張量 的轉(zhuǎn)置張量。若轉(zhuǎn)置張量與原張量相等，即 ，則為對(duì)稱張量。若轉(zhuǎn)置張量等于原張量的負(fù)值，即 ，則為反對(duì)稱張量。加法分解 任意二階張量 均可唯一地分解成對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量A之和： 上兩式的運(yùn)算(yn sun)也稱為對(duì)稱化和反對(duì)稱化。19共二十四頁張量球形張量與偏斜張量 任意二階對(duì)稱張量 均可分解為球形張量 和偏斜張量 之和： 球形張量這里的 是張量 三個(gè)主對(duì)角分量之平均值； 是單位張量，其三個(gè)主對(duì)角分量均為1，其他分量均為0。 偏斜(pin xi)張量 偏斜(pin xi)張量是原張量與球形張量之差，其三個(gè)主對(duì)角分量之和為零

12、。20共二十四頁張量并矢量 把 個(gè)獨(dú)立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積是一個(gè) 階張量。例如，并矢量 是一個(gè)三階張量，記為 ，它的指標(biāo)符號(hào)表達(dá)式為：由于矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的排列順序(shnx)不能任意調(diào)換。張量微積分 定義在空間(kngjin)域上的張量場(chǎng)可以用一個(gè)張量函數(shù)來表示。該函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)反映了張量場(chǎng)的空間(kngjin)變化規(guī)律。在笛卡兒直角坐標(biāo)系中，沿坐標(biāo)線方向的三個(gè)單位矢量是與空間(kngjin)點(diǎn)坐標(biāo)無關(guān)的常量，所以笛卡兒張量的微積分可以歸結(jié)為對(duì)其每個(gè)分量求導(dǎo)或求積。 21共二十四頁張量考慮(kol)三維空間中的張量函數(shù)其每個(gè)分量(fn ling)都有三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)： 可以更簡(jiǎn)潔地把偏導(dǎo)數(shù)記為排在逗號(hào)或偏導(dǎo)號(hào)后面的指標(biāo)稱為導(dǎo)數(shù)指標(biāo)。 如果連續(xù)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)的性質(zhì) 22共二十四頁張量作業(yè)(zuy)以指標(biāo)符號(hào)(fho)表示虎克定律 以指標(biāo)符號(hào)表示下列運(yùn)動(dòng)方程 23共二十四頁內(nèi)容摘要張量。當(dāng)i分別取1,2,3時(shí)，給出三個(gè)分量方程。自由指標(biāo)僅表示要在取值范圍內(nèi)輪流取值，因此也可以換標(biāo)。合理選擇指標(biāo)和及時(shí)進(jìn)行換標(biāo)是熟練應(yīng)用指標(biāo)符號(hào)的關(guān)鍵，應(yīng)用時(shí)應(yīng)該遵循如下原則：。這里用兩對(duì)異名的啞標(biāo)正確地表示了兩個(gè)括號(hào)中相