概率20162.5,2連續(xù)型隨機變量及其

1、2.5 連續(xù)型隨機變量及其 概率密度函數(shù)定義 設 X 是一隨機變量，若存在一個非負 可積函數(shù) f ( x ), 使得其中F ( x )是它的分布函數(shù)則稱 X 是連續(xù)型隨機變量，f ( x )是它的概率密度函數(shù)( p.d.f. )，簡稱為密度函數(shù)或概率密度連續(xù)型隨機變量的概念xf ( x)xF ( x )分布函數(shù)F ( x )與密度函數(shù) f ( x )的幾何意義p.d.f. f ( x )的性質 常利用這兩個性質檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù) 在 f ( x ) 的連續(xù)點處， 積分不是Cauchy 積分，而是Lesbesgue 意義下的積分，所得的變上限的函數(shù)是

2、絕對連續(xù)的，因此幾乎處處可導線段質量長度密度注意: 對于連續(xù)型隨機變量X , P ( X = a) = 0這里 a 可以是隨機變量 X 的一個可能的取值命題 連續(xù)型隨機變量取任一常數(shù)的概率為零強調 概率為1 (零) 的事件未必發(fā)生 (不發(fā)生)事實上對于連續(xù)型隨機變量Xbxf ( x)axf ( x)a例1 有一批晶體管，已知每只的使用壽命 X 為 連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為( c 為常數(shù)) 求常數(shù) c(2) 已知一只收音機上裝有3只這樣的晶體管，每只晶體管能否正常工作相互獨立，求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.解(1)c = 1000(2)設事件 A 表示一只晶體管的壽命小于

3、1500小時設在使用的最初1500小時三只晶體管中損壞的只數(shù)為 Y例2 設隨機變量X的概率密度為求(1) (2) 的分布函數(shù)。解(1) (2) 當時, 當時, 當時,當時,的分布函數(shù)為 (1) 均勻分布( a , b)上的均勻分布記作2.6 常見的連續(xù)型隨機變量的分布若 X 的密度函數(shù)為 ，則稱 X 服從區(qū)間其中X 的分布函數(shù)為xf ( x)abxF( x)ba即 X 的取值在(a,b)內任何長為 d c 的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關, 只與其長度成正比. 這正是幾何概型的情形.在進行大量數(shù)值計算時，如果在小數(shù)點后第 k 位進行四舍五入，則產生的誤差可以看作服從應用場合例3 秒表的最小刻度

4、差為0.01秒. 若計時精度是取最近的刻度值, 求使用該秒表計時產生的隨機誤差X 的概率密度, 并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率. 解 由題設知隨機誤差 X 等可能地取得區(qū)間 上的任一值，則所以(2) 指數(shù)分布若 X 的概率密度為則稱 X 服從 參數(shù)為的指數(shù)分布X 的分布函數(shù)為 0 為常數(shù)1xF( x)0 xf ( x)0對于任意的 0 a b, 應用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務系統(tǒng)中的服務時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似若 X服從指數(shù)分布,則所以，又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上例4 假定一

5、大型設備在任何長為 t 的時間內發(fā)生故障的次數(shù) N( t ) 服從參數(shù)為t 的Poisson分布, 求相繼兩次故障的時間間隔 T 的概率分布.解 即T服從指數(shù)分布 2.7 正態(tài)分布若X 的概率密度為則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布記作 X N ( , 2 ) 為常數(shù)，N (-3 , 1.2 )f (x) 的性質： 圖形關于直線 x = 對稱: f ( +a ) = f ( - a) 在 x = 時, f (x) 取得最大值在 x = 時, 曲線 y = f (x) 在對應的點處有拐點曲線 y = f (x) 以x軸為漸近線曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀 f (x) 的兩個參數(shù)

6、： 位置參數(shù)即固定 , 對于不同的 , 對應的 f (x)的形狀不變化，只是位置不同 形狀參數(shù)固定 ，對于不同的 ，f ( x) 的形狀不同.若 1 2 則比x = 2 所對應的拐點更靠近直線 x = 附近值的概率更大. x = 1 所對應的拐點前者取 Showfn1,fn3大小應用場合 若隨機變量 X 受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加, 則 X 服從正態(tài)分布.可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差； 人的生理特征；工廠產品的尺寸； 農作物的收獲量；海洋波浪的高度； 金屬線的抗拉強度；熱噪聲電流強度； 學生們的考試成績；一種重要的正態(tài)分布：N (0,1) 標準正態(tài)分布它的分布函數(shù)記為 (x)，其值有專門的表可查 (x) 是偶函數(shù)，其圖形關于縱軸對稱-xx對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2) 其分布函數(shù)作變量代換例5 設 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解P380 附表3例6 已知且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解二 圖解法0.2由圖0.3例 3 原理設 X N ( , 2), 求解在一次試驗中, X 落入區(qū)間( - 3 , +3 )的概率為 0.9974, 而超出此區(qū)間的可能性很小由3 原理知，當標準正態(tài)分