利用空間向量解決立體幾何的向量2

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用5 前段時(shí)間我們研究了用空間向量求角(包括線線角、線面角和面面角)、求距離(包括線線距離、點(diǎn)面距離、線面距離和面面距離) 今天我來(lái)研究如何利用空間向量來(lái)解決立體幾何中的有關(guān)證明及計(jì)算問(wèn)題。 一、 用空間向量處理“平行”問(wèn)題 RDBCAA1QPNMD1C1B1例1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是A1B1和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且A1P=BQ，M是AB1的中點(diǎn)，N是PQ的中點(diǎn). 求證： MN平面AC.（）M是中點(diǎn)，N是中點(diǎn) MNRQ MN平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1法（）作PP1AB于P1，作MM1 AB于M1，連結(jié)QP1， 作NN1 QP1于N1

2、，連結(jié)M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又NN1、MM1均等于邊長(zhǎng)的一半故MM1N1N是平行四邊形，故MNM1N1MN平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，又A1P=BQ=2x則P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1)所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量為 (0, 0, 1)， 又M不在平面AC 內(nèi)，所以MN平面ACDCBAD1C1B1A1例2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證： 平面A1BD平面CB1D1(1)平行四邊形A1BC

3、D1 A1BD1C平行四邊形DBB1D1 B1D1BD于是平面A1BD平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx(2)證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則向量設(shè)平面BDA1的法向量為則有x+z=0 x+y=0令x=1,則得方程組的解為x=1 y=-1 z=-1故平面BDA1的法向量為同理可得平面CB1D1的法向量為則顯然有即得兩平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以 平面BDA1CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyxDCBAD1C1B1A1FGHE例3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點(diǎn).

4、 求證： 平面AEH平面BDGFADGF，AD=GF又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四邊形ADGE AEDG 故得平面AEH平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略證：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz則求得平面AEF的法向量為求得平面BDGH的法向量為顯然有故 平面AEH平面BDGF 二、 用空間向量處理“垂直”問(wèn)題 二、 用空間向量處理“垂直”問(wèn)題 DACBBCDAFEXYZ例4練習(xí)1證明: 分別以 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系 例6：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分別是BB1、CC1上的點(diǎn)，且BE=a，CF=2a 。 求證

5、: 面AEF面ACF。AFEC1B1A1CBxzy不防設(shè) a =2，則A（0，0，0），B（3 ，1，0）C（0，2，0），E（ 3，1，2） F（0，2，4），AE=（ 3，1，2）AF=（0，2，4），因?yàn)椋瑇軸面ACF 所以 可取面ACF的法向量為m=（1，0，0），設(shè)n=（x,y,z)是面AEF的法向量，則AFEC1B1A1CBzyxnAE=3x+y+2z=0nAF=2y+4z=0 x=0y= -2z令z=1得, n=（0，-2，1）顯然有m n=0，即，mn面AEF面ACF證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz ，ADCB求證：平面MNC平面PBC；已知ABCD是矩形，PD平面AB

6、CD，PDDCa，AD ，M、N分別是AD、PB的中點(diǎn)。PMN練習(xí)2小結(jié)： 利用向量的有關(guān)知識(shí)解決一些立體幾何的問(wèn)題，是近年來(lái)很“熱”的話題，其原因是它把有關(guān)的“證明”轉(zhuǎn)化為“程序化的計(jì)算” 。本課時(shí)講的內(nèi)容是立體幾何中的證明“線面平行、垂直”的一些例子，結(jié)合我們以前講述立體幾何的其他問(wèn)題(如：求角、求距離等)，大家從中可以進(jìn)一步看出基中一些解題的“套路”。 利用向量解題 的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系及寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。 用代數(shù)的方法解決立體幾何問(wèn)題是立體幾何的發(fā)展趨勢(shì)，而向量是用代數(shù)的方法解決立體幾何問(wèn)題的主要工具，故學(xué)會(huì)用向量法解立體幾何問(wèn)題是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)。 ; ; orz25m

7、sr ;再做幾個(gè)菜，把米飯也熱一熱。對(duì)啦，再做一大鍋西紅柿雞蛋掛面湯吧，他們?nèi)齻€(gè)辛苦趕路，一定饑渴了?！闭f(shuō)著話，就要起身。小青趕快強(qiáng)打精神站起來(lái)，對(duì)喬氏說(shuō)：“姆媽?zhuān)阈?，我知道弟弟妹妹們喜歡吃什么！”耿直把軟皮箱靠墻邊上放了，拉過(guò)小東伢來(lái)，從上到下看了兩遍后，驚喜地說(shuō)：“小東伢，你幾歲了？”小東伢沒(méi)有說(shuō)話，只是舉起一個(gè)巴掌輪流動(dòng)動(dòng)手指頭。耿直說(shuō)：“五歲啦？好伢子，你活脫脫就是一個(gè)小塊頭的東伢子?。　毙〖一飬s瞪著一雙黑眼珠說(shuō)：“你們大人都光顧自己的事情，一會(huì)兒哭一會(huì)兒笑的，我還不知道應(yīng)該怎么叫你們呢！”東伢子和耿正這個(gè)時(shí)候正好進(jìn)來(lái)了。東伢子說(shuō)：“爹這就告訴你，這個(gè)是大舅爺，這個(gè)是二舅爺，這個(gè)

8、是姨姨！”小家伙忽閃著一對(duì)大眼睛看過(guò)每一個(gè)人后，問(wèn)喬氏：“婆婆，是真的嗎？”喬氏點(diǎn)點(diǎn)頭說(shuō)：“是真的！”小東伢立馬就高興地笑了，大聲嚷著：“噢，我終于有舅爺和姨姨嘞！以前都是別人有，就我沒(méi)有。現(xiàn)在我也有啦！”隨后就撲上來(lái)挨著個(gè)兒叫，大家的臉上終于露出了笑容。想著耿大哥的事情還沒(méi)有問(wèn)清楚，喬氏含著笑的眼里又流下了心酸的淚水。耿正趕快過(guò)來(lái)拉起喬氏的手，東伢子遞來(lái)一塊干毛巾，耿正接過(guò)來(lái)替喬氏擦去滿臉的淚水，輕輕地說(shuō)：“娘娘，你莫要傷心著急，先知道我爹早已經(jīng)不在人世就行了。等一會(huì)兒咱們吃完了飯，我慢慢說(shuō)給您聽(tīng)好嗎？”喬氏聽(tīng)話地點(diǎn)點(diǎn)頭，輕輕地說(shuō)：“好的，吃了飯?jiān)俑嬖V我吧。”午飯都做好和重新熱好了，大家圍坐

9、在圓桌邊上吃飯。雖然剛剛經(jīng)歷了久別重逢的大喜和大悲，但耿正兄妹三人對(duì)這頓味道熟悉的飯菜還是吃得非常香甜。45第九十七回 祭“靈車(chē)”激走搶劫賊|（上善若水揚(yáng)美德，厚德載物展胸襟；民間多少感人事，何懼惡人起禍端。）大家坐在一起高高興興地吃完午飯，耿大業(yè)招呼兩個(gè)伙計(jì)過(guò)來(lái)把面盆兒碗碟什么的都拾掇到大廚房里去洗刷，自己和妻兒依然隨意坐了和耿正兄妹三個(gè)繼續(xù)聊天兒。聊了一會(huì)兒以后，耿正看看天色尚早，就對(duì)耿大業(yè)夫婦說(shuō)：“大白騾好腳力，今兒個(gè)再走三十里路沒(méi)有問(wèn)題的。我們著急回老家去呢，咱們就此告辭吧！”耿大嫂不依，說(shuō)：“知道你們急著回老家去。但說(shuō)什么也得住一晚上啊，我們還有很多話沒(méi)有說(shuō)呢！”耿大業(yè)也說(shuō)：“你們看，這大廳的兩邊各有一大間臥房呢，大床小床的寬敞得很。我和兩位兄弟睡一邊，