數(shù)字信號(hào)處理：第4章4.1-4.5 數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計(jì)方法

1、1第四章 數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計(jì)方法 4.1 引言 4.2 數(shù)字濾波器的表示方法及其分類4.3 IIR基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)4.4 FIR基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)4.5 IIR濾波器的設(shè)計(jì)4.6 FIR濾波器的設(shè)計(jì)2 系 統(tǒng)輸出輸入差分方程h (n)H(z)以及零極點(diǎn)分布 時(shí)域波形頻域成分時(shí)域波形頻域成分34.1 引 言 離散時(shí)間信號(hào)在傳輸、檢測(cè)、估計(jì)等過(guò)程中都要廣泛使用數(shù)字濾波器,主要用于對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行加工.數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn): 精度高穩(wěn)定度高; 結(jié)構(gòu)組合靈活; 不存在阻抗匹配問(wèn)題; 便于大規(guī)模集成.易實(shí)現(xiàn)多維濾波器.對(duì)于確定的輸入和輸出關(guān)系,可以用不同的結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn).44.1 引 言 一般時(shí)域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用

2、差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。如果系統(tǒng)輸入輸出服從N階差分方程 其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 5 數(shù)字濾波器的兩種實(shí)現(xiàn)方法:1.用數(shù)字硬件構(gòu)成專用的數(shù)字信號(hào)處理機(jī)(組成模型)2.編寫濾波運(yùn)算軟件,在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)(軟件工具matlab)6 給定一個(gè)差分方程，不同的算法有很多種，例如： 74.2 數(shù)字濾波器的表示方法及其分類 觀察(4.1)式，數(shù)字信號(hào)處理中有三種基本算法，即乘法、加法和單位延遲，三種基本運(yùn)算用流圖表示如圖4.2.1所示。 8圖4.2.1 三種基本運(yùn)算的方框圖和流程圖表示9 +1/z1/zx(n)b0a1a2y(n)x(n)y(n)b0a1a21/z1/z二階數(shù)字濾波器的差分

3、方程為10 FIR網(wǎng)絡(luò)中一般不存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述： 其單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的，按照(4.2.2)式，h(n)表示為 其它n FIR系統(tǒng)的特點(diǎn)：（1）h(n)為有限長(zhǎng)的序列（2）結(jié)構(gòu)中一般沒(méi)有反饋環(huán)路，為非遞歸結(jié)構(gòu)（3）系統(tǒng)函數(shù)H(z)只有系數(shù)bi，沒(méi)有系數(shù)ai11 另一類IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，也就是說(shuō)，信號(hào)流圖中存在環(huán)路。這類網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的。例如一個(gè)簡(jiǎn)單的一階IIR網(wǎng)絡(luò)差分方程為 y(n)=a1y(n-1)+x(n), |a1|1 其單位脈沖響應(yīng)IIR系統(tǒng)的特點(diǎn)：（1）h(n)為無(wú)限長(zhǎng)的序列（2）結(jié)構(gòu)中一般含有反饋環(huán)路，為遞

4、歸結(jié)構(gòu)（3）系統(tǒng)函數(shù)H(z)有ai系數(shù)124.3 無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 1.直接型 對(duì)N階差分方程重寫如下： 13 14 圖4.3.1 IIR網(wǎng)絡(luò)直接型型和型結(jié)構(gòu) 15 例4.3.1 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。 解 由H(z)寫出差分方程如下：16圖4.3.2 例4.3.1圖17 2. 級(jí)聯(lián)型 在(4.1.2)式表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，分子分母均為多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式的系數(shù)一般為實(shí)數(shù)，現(xiàn)將分子分母多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解，得到18 式中，0j、1j、2j、1j和2j均為實(shí)數(shù)。這H(z)就分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)形式，如下式： H(z)=H1(z)

5、H2(z)Hk(z) (4.3.3) 式中Hi(z)表示一個(gè)一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，每個(gè)Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖4.3.3所示。 19x(n)y(n)A圖4.8 每個(gè)二階節(jié)都用直接型結(jié)構(gòu)的級(jí)聯(lián)形式20級(jí)聯(lián)型的特點(diǎn)1.零極點(diǎn)的調(diào)整方便,從而容易調(diào)整頻率響應(yīng)特性;2. 前后位置的排列,必須考慮誤差效應(yīng).21 例4.3.2 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： 試畫出其級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 解 將H(z)分子分母進(jìn)行因式分解，得到 22 3.并聯(lián)型 如果將級(jí)聯(lián)形式的H(z)，展開部分分式形式，得到IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 圖4.3.4 例4.3.2圖 23 式(4.5)表明，濾波

6、器可由P個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)、Q個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)和一個(gè)常數(shù)支路并聯(lián)構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)如圖4.9所示。（4.5）24圖4.9 IIR系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu) 25 并聯(lián)型的特點(diǎn)1.極點(diǎn)的調(diào)整方便,但不能直接調(diào)整零點(diǎn),如果需要準(zhǔn)確傳輸零點(diǎn),則采用級(jí)聯(lián)型;2.運(yùn)行速度快;3.各基本階的誤差互不影響.26 例4.3.3 畫出例題4.3.2中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解 將例4.3.2中H(z)展成部分分式形式： 將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖4.3.4所示。 27 圖4.3.5 例4.3.3圖 x(n)y(n)z1z11680.520-16-0.520z128結(jié)構(gòu)名稱所需延時(shí)單元零，極點(diǎn)調(diào)節(jié)誤差問(wèn)題直接1型2N不能

7、直接調(diào)節(jié)無(wú)積累直接2型N不能直接調(diào)節(jié)無(wú)積累級(jí)聯(lián)型N可單獨(dú)調(diào)節(jié)有積累并聯(lián)型N只能單獨(dú)調(diào)節(jié)極點(diǎn)無(wú)積累29網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)置定理： 如將原網(wǎng)絡(luò)中所有支路的方向加以反轉(zhuǎn)，并將輸入 x(n)和輸出y(n)相互交換，則網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)不改變。 利用轉(zhuǎn)置定理，可以將以上討論的各種結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)置處理，從而得到各種新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。例如，將圖46所示的直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)置后得到如圖410所示的結(jié)構(gòu)，畫成輸入在左、輸出在右的習(xí)慣形式，便成為圖411所示的結(jié)構(gòu)。30流圖轉(zhuǎn)置 a1a2b0b1b2z1z1a1b2b0b1a2z1z1x(n)y(n)x(n)y(n)兩流圖等效直接型直接型轉(zhuǎn)置 a1a2b0b1b2z1z1x(n)直接型y

8、(n)314.4 有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是沒(méi)有反饋支路，即沒(méi)有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程為32 1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接畫出結(jié)構(gòu)圖如圖4.4.1所示。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為卷積型結(jié)構(gòu)或抽頭延時(shí)線濾波器或橫向?yàn)V波器. 圖4.4.1 FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 33 2. 級(jí)聯(lián)型 將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對(duì)的零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階形式，這樣級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)因式都用直接型實(shí)現(xiàn)。 例4.4.1 設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)

9、如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 畫出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 34 解 將H(z)進(jìn)行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖4.4.2所示。 圖4.4.2 例4.4.1圖353.快速卷積型 FFTFFTIFFTx(n)y(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H(k)=Y(k)用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積364.線性相位FIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。 1. 線性相位條件 對(duì)于長(zhǎng)度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為

10、 37 式中，Hg()稱為幅度特性，()稱為相位特性。注意，這里Hg()不同于|H(ej)|, Hg()為的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ej)|總是正值。H(ej)線性相位是指()是的線性函數(shù)，即 ()= -, 為常數(shù) (4.4.3) 如果()滿足下式： ()=0-,0是起始相位 (4.4.4) 嚴(yán)格地說(shuō)，此時(shí)()不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即38 也稱這種情況為線性相位。一般稱滿足(4.4.3)式是第一類線性相位；滿足(4.4.4)式為第二類線性相位。 下面推導(dǎo)與證明滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，即 h(n)=h(N-n-1)

11、 (4.4.5) 滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱，即 h(n)=-h(N-n-1) (4.4.6)39 (1) 第一類線性相位條件證明：將(4.4.5)式代入上式得令m=N-n-1,則有(4.4.7) 40 按照上式可以將H(z)表示為 將z=e j代入上式，得到： 按照(4.4.2)式，幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為(4.4.8) (4.4.9) 41 (2) 第二類線性相位條件證明：(4.4.10) 令m=N-n-1,則有 同樣可以表示為42 因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為(4.4.11) (4.4.12) 43 2. 線性相位FIR濾波器幅度特性H

12、g()的特點(diǎn) 1) h(n)=h(N-n-1),N=奇數(shù) 按照(4.4.8)式，幅度函數(shù)H g()為 式中，h(n)對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，余弦項(xiàng)也對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，可以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項(xiàng)n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為44 令m=(N-1)/2-n,則有(4.4.13) (4.4.14) 式中 按照(4.4.14)式，由于式中cos(n)項(xiàng)對(duì)=0,2皆為偶對(duì)稱，因此幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)=0,2是偶對(duì)稱的。 45 2) h(n)=h(N-n-1),N=偶數(shù) 推導(dǎo)情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點(diǎn)是由于N=偶數(shù)，Hg()中沒(méi)有單獨(dú)項(xiàng)，相

13、等的項(xiàng)合并成N/2項(xiàng)。 令m=N/2-n,則有46 (4.4.15) (4.4.16)n=1,2, 3, , N/2 按照式（4.4.15），當(dāng)=時(shí)， ，余弦項(xiàng)對(duì)=呈奇對(duì)稱，因此Hg()=0，即H(z)在z=ej=-1 處必然有一個(gè)零點(diǎn)，而且Hg()對(duì)=呈奇對(duì)稱。 當(dāng)=0或2時(shí)， 或-1，余弦項(xiàng)對(duì)=0, 2為偶對(duì)稱，幅度函數(shù)Hg()對(duì)于=0, 2也呈偶對(duì)稱。 如果數(shù)字濾波器在=處不為零，例如高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來(lái)設(shè)計(jì)。 47 令m=(N-1)/2-n，則有(4.4.17) (4.4.18) 3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇數(shù) 將(4.4.11)式重寫如下：4

14、8 由于sin(m)在=0, , 2處都為零，并對(duì)這些點(diǎn)呈奇對(duì)稱， 因此幅度函數(shù)Hg()在=0,2處為零，即H(z)在z=1上都有零點(diǎn)，且Hg()對(duì)于=0,2也呈奇對(duì)稱。 如果數(shù)字濾波器在=0, , 2處不為零，例如低通濾波器、 高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來(lái)設(shè)計(jì)， 除非不考慮這些頻率點(diǎn)上的值。 49 (4.4.19) (4.4.20) 4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶數(shù) 類似上面3)情況，推導(dǎo)如下：令m=N/2-n,則有50 當(dāng)=0, 2時(shí)， ，且對(duì)=0, 2呈奇對(duì)稱，因此H()在=0, 2處為零，即H(z)在z=1 處有一個(gè)零點(diǎn)，且H()對(duì)=0, 2也呈奇對(duì)稱。

15、 當(dāng)=時(shí)， 或1， 對(duì)=呈偶對(duì)稱，幅度函數(shù)H()對(duì)于=也呈偶對(duì)稱。 如果數(shù)字濾波器在=0, 2處不為零，例如低通濾波器、 帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來(lái)設(shè)計(jì)。 51 52 奇對(duì)稱單位沖擊響應(yīng) h(n)=-h(N-1-n)53 3. 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿足(4.4.7)式和(4.4.10)式，綜合起來(lái)用下式表示：(4.4.21) 圖4.4.1 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布 54 4. 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè)N為偶數(shù)，則有令m=N-n-1,則有55 (4.4.22)如果N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng)h(N-1)/2單獨(dú)列出， (4.4.23

16、) 56 圖4.4.2 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)57 圖4.4.3 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)58 5. 頻率采樣結(jié)構(gòu) 頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)會(huì)以采樣點(diǎn)數(shù)為周期進(jìn)行周期性延拓，如果在頻率域采樣點(diǎn)數(shù)N大于等于原序列的長(zhǎng)度M，則不會(huì)引起信號(hào)失真，此時(shí)原序列的z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關(guān)系式： 設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為M，系統(tǒng)函數(shù)H(z)=ZTh(n)，(4.4.1)式中H(k)用下式表示： (4.4.1) 59 要求頻率域采樣點(diǎn)數(shù)NM。這稱為頻率采樣的FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。請(qǐng)分析IIR濾波網(wǎng)絡(luò)，為什么不采用頻率采樣結(jié)構(gòu)？將(4.4.1)式寫成下式： (4.4.2) 式

17、中 Hc(z)是一個(gè)梳狀濾波器，頻率響應(yīng)幅度特性為半波正弦圖形,其零點(diǎn)為60圖4.4.3 FIR濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu) 61 (1)在頻率采樣點(diǎn)k，H(ejk)=H(k)，只要調(diào)整H(k)(即一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)中乘法器的系數(shù)H(k)，就可以有效地調(diào)整頻響特性，使實(shí)際調(diào)整方便。 (2)只要h(n)長(zhǎng)度N相同，對(duì)于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。 62 然而，上述頻率采樣結(jié)構(gòu)亦有兩個(gè)缺點(diǎn)： (1)系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消來(lái)保證的。 (2)結(jié)構(gòu)中，H(k)和 一般為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算

18、，這對(duì)硬件實(shí)現(xiàn)是不方便的。 為了克服上述缺點(diǎn)，對(duì)頻率采樣結(jié)構(gòu)作以下修正。 首先將單位圓上的零極點(diǎn)向單位圓內(nèi)收縮一點(diǎn)，收縮到半徑為r的圓上，取r123 124對(duì)不同n, 函數(shù) 的變化曲線125 |H(j)|2/c111/(1+2)N=3 =0.5N=6=0.32、切比雪夫(Chebyshev)濾波器幅度頻率特性：126 N=3 N=4 N=5 N=6 3、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn)：127 N=3 N=4 N=5 N=6 128 N=3 N=3 N=6 N=6 (3)過(guò)渡帶寬為cs-： 最小阻帶衰耗指標(biāo)sA應(yīng)滿足dB-ACjHscsNs+=)(11log(10)(222e 或 dB-AC

19、scsN+-)(1log(1022e。如果給定設(shè)計(jì)指標(biāo)sA、s、c和e，則可以由此關(guān)系式確定階數(shù)N。類似的如果用通帶最大波動(dòng)值cA作為設(shè)計(jì)指標(biāo)，即 dB-Ac+-)1log(102e。則得波動(dòng)系數(shù)11010-cAe。 129 130 說(shuō)明：可以證明Chebyshev 濾波器特性是較佳的全極點(diǎn)濾波器，在滿足給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)(通帶和阻帶逼近誤差容限)中，它具有較低的階數(shù)?；蛘哒f(shuō)，在相同的階全極點(diǎn)濾波器中，Chebyshev 濾波器特性對(duì)理想特性的逼近誤差較小。131階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)位置極點(diǎn)分布在橢圓上,橫坐標(biāo)與小圓有關(guān),縱坐標(biāo)與大圓有關(guān),注意2被2N整除的角度射線與兩圓相交決定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)1

20、324、 Chebyshev 濾波器的設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)逼近要求通過(guò)查特性曲線或計(jì)算求取階數(shù) 和波動(dòng)系數(shù)，計(jì)算（S）或者查表得（S）(1)設(shè)計(jì)指標(biāo)：Chebyshev濾波器逼近函數(shù)有兩個(gè)參數(shù)：階數(shù)和波動(dòng)系數(shù)。它們可通過(guò)給定的2個(gè)特征頻率點(diǎn)c，s的參數(shù)指標(biāo)Ac，As來(lái)確定。(即通帶和阻帶衰耗值。)133 134135 136（）利用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法將H(s)轉(zhuǎn)換為H（z）。137 從模擬濾波器到IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思想： s 平面 z 平面模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)H(z) 的頻率響應(yīng)要能模仿 H(s) 的頻率響應(yīng)，即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓因果穩(wěn)定的 H(s) 映射到因果穩(wěn)定的

21、 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z| 1138 數(shù) 字濾波器指 標(biāo)模 擬濾波器指 標(biāo)模擬原型低通數(shù)字原型低通模擬頻率變換非低通型基本數(shù)字濾波器模擬/數(shù)字 變 換數(shù)字頻率變換4.5 IIR濾波器的頻率變換 為了得到其他基本類型的數(shù)字濾波器，可以先用以上介紹的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出低通濾波器，再經(jīng)過(guò)變換來(lái)得到。139 說(shuō)明：具體的變換方法有兩種：模擬變換與數(shù)字變換；兩種變換都是先利用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法得到模擬原型低通函數(shù)Ha(s) ；模擬變換方法是把模擬原型低通函數(shù)Ha(s)變換成模擬非低通實(shí)際濾波器H (s)，再經(jīng)過(guò)SZ映射變換得到非低通基本數(shù)字濾波器H (z)。數(shù)字變換方法是先把模擬原型低通函數(shù)Ha(s)經(jīng)過(guò)SZ映射變換得到數(shù)字原型低通Hl(z)，再經(jīng)過(guò)數(shù)字/數(shù)字頻率變換得到非低通實(shí)際數(shù)字濾波器H (z)。140 2、實(shí)際模擬濾波器設(shè)計(jì)步驟：實(shí)際濾波器指非低通型的其他基本類型濾波器。(高通、帶通、帶阻)(1)由頻率坐標(biāo)變換關(guān)系把實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)