第八講分析的嚴格化

1、第十章 分析的嚴格化實數(shù)理論的建立分析基礎的奠基極限理論的嚴格化1微積分的創(chuàng)立，被譽為“人類精神的最高勝利”。然而牛頓和萊布尼茲的微積分在邏輯上并不夠嚴格，這使得他們的學說從一開始就受到懷疑和批評。微積分理論在使用無限小概念上的隨意與混亂，引起了所謂的“第二次數(shù)學危機”。為了消除早期微積分的邏輯缺陷，數(shù)學家們在其嚴格基礎的重建方面做出了種種嘗試。2在18世紀的分析時代，先是達朗貝爾用初等的極限概念代替了牛頓含糊的首末比方法。后是歐拉提出了關于無限小的不同階零的理論。拉格朗日則主張用泰勒級數(shù)來定義導數(shù)。歐拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化觀點，而達朗貝爾的極限觀點則為微積分的嚴格表述提供了合

2、理內(nèi)核。310.1 柯西與分析基礎經(jīng)過一個世紀的不懈努力，數(shù)學家們在嚴格化基礎上重建微積分的嘗試終于在19世紀初開始初見成效。其中最具影響力的先驅性人物當推法國數(shù)學家柯西。他于1820年前后，在分析方法方面完成了一系列著作，它們以嚴格化為目標，對微積分的基本概念給出了明確定義，并在此基礎上重建和拓展了微積分的重要事實與定理。 41變量?！耙来稳≡S多互不相同的值的量叫作變量”。2函數(shù)。“當變量之間這樣聯(lián)系起來的時候，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其他變量的值的時候，人們通常想象這些量是用其中的一個來表達的，這時這個量就取名為自變量，而由這些自變量表示的其他量就叫作這個自變量的函數(shù)”。

3、按照這個定義，不僅無窮級數(shù)可以規(guī)定一個函數(shù)，而且也突破了函數(shù)必須有解析表達式的要求。53極限?！爱斖蛔兞恐鸫嗡〉闹禑o限趨向于一個固定的值，最終使它的值與該定值的差要多小就多小，那么最后這個定值就稱為所有其他值的極限”。4無限小量?！爱斖蛔兞恐鸫嗡〉慕^對值無限減小，以致比任意給定的數(shù)還要小，這個變量就是所謂的無限小或無限小量”?？挛鞯臒o限小不再是一個無限小的固定數(shù)。5連續(xù)函數(shù)?？挛鞯谝淮谓鉀Q了函數(shù)連續(xù)性的定義問題。 66導數(shù)與微分?？挛靼褜?shù)明確定義為差商 當 無限地趨向于零的極限，函數(shù)的微分法則定義為 7積分?？挛魇紫戎赋觯谘芯糠e分或原函數(shù)的各種性質以前，應先證明它們是存在的。也就是

4、說需要首先對一大類函數(shù)給出積分的一般定義。7在以上一系列定義的基礎上，柯西得以嚴格地表述并證明微積分基本定理，中值定理等一系列重要定理 ?？挛鬟€對無窮級數(shù)進行了嚴格化處理，明確定義了級數(shù)的收斂性，并研究了判別級數(shù)收斂的條件。 8柯西的工作向分析的全面嚴格化邁出了關鍵的一步。他的許多定義和論述已經(jīng)相當接近于微積分的現(xiàn)代形式。尤其是關于微積分基本定理的敘述與證明，幾乎與今天的教科書完全一樣。 910.2 分析的算術化柯西的工作在一定程度上澄清了微積分基礎問題上長期存在的混亂，但他的理論還只能說是“比較嚴格”，人們不久便發(fā)現(xiàn)柯西的理論實際上也存在漏洞。例如，他用了許多“無限趨近”、“想要多小就多小”

5、等直覺描述的語言。特別是，微積分計算植根于實數(shù)園地，但直到19世紀中葉，數(shù)學家們還沒有給出實數(shù)的明確定義。 10對實數(shù)系缺乏充分的理解，不僅會造邏輯上的間斷，有時甚至會導致結論上的錯誤。當時人們對連續(xù)函數(shù)處處可微的看法就是一個典型。當?shù)聡鴶?shù)學家魏爾斯特拉斯在1861年給出一個處處連續(xù)但卻處處不可微的函數(shù)時，整個數(shù)學界大為震驚。 11魏爾斯特拉斯的例子是 其中a是奇數(shù)，b(0,1)為常數(shù)，使得，魏爾斯特拉斯的函數(shù)使人們迫切感到徹底擺脫對幾何直覺的依賴，重新考察分析基礎，基于純粹算術重建分析學的必要性。 12由此引來了19世紀后半葉的“分析算術化”運動，這場運動的主將就是魏爾斯特拉斯。魏爾斯特拉斯

6、認為實數(shù)是全部分析的本源。要使分析嚴格化，首先就要使實數(shù)系本身嚴格化。為此最可靠的辦法是按照嚴密的推理將實數(shù)歸結為整數(shù)（有理數(shù)）。這樣，分析的所有概念便可由整數(shù)導出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補。這就是所謂“分析算術化”綱領。1310.2.1 魏爾斯特拉斯在數(shù)學史上，魏爾斯特拉斯因對分析嚴格化的貢獻而贏得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號。這種嚴格化的突出表現(xiàn)是-語言的創(chuàng)立，還有一致收斂性的引進?？梢哉f，數(shù)學分析達到今天所具有的嚴密形式，本質上不能缺少魏爾斯特拉斯的工作。1410.2.2 實數(shù)理論1857年，魏爾斯特拉斯給出了第一個嚴格的實數(shù)定義，這個定義大意是先從自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù)，然后通過無窮

7、多個有理數(shù)的集合來定義實數(shù)。但沒有正式發(fā)表。1872年，戴德金、康托爾、梅雷和海涅等人幾乎同時發(fā)表了他們各自的實數(shù)理論。戴德金和康托爾的實數(shù)構造方法正是我們現(xiàn)在通常所采用的。15戴德金的方法也稱為戴德金分割，是將一切有理數(shù)的集合Q劃分為兩個非空不相交的子集A1和A2，使得A1中的每一個元素小于A2中的每一個元素，這時戴德金把這個劃分定義為有理數(shù)的一個分割，記為（A1，A2）。有些分割是有理數(shù)產(chǎn)生的，在這樣的分割中，要么A1有最大元素，要么A2有最小元素。16但有些分割卻不是，例如，若A2是由滿足 的一切正有理數(shù) x 組成，A1是由一切其余的有理數(shù)組成，則既不存在A1的最大元素，也不存在A2的最

8、小元素，因為不存在有理數(shù)x使得 。17戴德金說：每當我們考慮一個不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割（A1，A2）時，就得到一個新數(shù)即無理數(shù)a，我們認為這個數(shù)是由分割（A1，A2）完全確定的。因此，戴德金就把一切實數(shù)組成的集合R定義為有理數(shù)集的一切分割，而一個實數(shù)a就是一個分割（A1，A2）。18康托爾的基本思想則是把實數(shù) a 定義為滿足柯西收斂準則的有理數(shù)基本序列 ?？低袪柊衙總€有理數(shù)基本序列與一個實數(shù)等同起來。而兩個基本序列 與 ，若 ，則被看成是等價的，即它們定義同一個實數(shù)。 19用現(xiàn)代語言說，康托爾的定義相當于把實數(shù)集合定義為有理數(shù)的基本序列的一切等價類的集合。如果r是一個有理數(shù)，則序列 就表示對應

9、于r的實數(shù)。20戴德金和康托爾在他們各自的實數(shù)定義下都嚴格證明了實數(shù)系的完備性。這樣長期以來圍繞著實數(shù)概念的邏輯循環(huán)得以徹底消除。實數(shù)的定義及其完備性的確立，標志著由魏爾斯特拉斯倡導的分析算術化運動大致宣告完成。 2110.2.3 集合論的誕生在分析的嚴格化過程中，一些基本概念如極限、實數(shù)、級數(shù)等的研究都涉及到由無窮多個元素組成的集合，這樣就導致了集合論的建立。狄利克雷、黎曼等人都研究過這方面的問題，但只有康托爾在這一過程中系統(tǒng)發(fā)展了一般點集的理論，并開拓了一個全新的數(shù)學研究領域。 22康托爾是在研究函數(shù)的三角級數(shù)表達式的唯一性問題時開始接觸無窮點集的。他在1872年發(fā)表的關于三角級數(shù)中一個定

10、理的推廣中定義了一系列點集論的基本概念，如極限點、導集等，奠定了無窮點集論的初步基礎。23在將唯一性定理推廣到允許無窮例外點等的過程中，康托爾認識到，這些例外點的集合及其導集所產(chǎn)生的問題與全體實數(shù)集合的構造性質密切相關。他得出結論：全體有理數(shù)的集合是可數(shù)的，他還證明全體實代數(shù)數(shù)的集合也是可數(shù)的。 24有理數(shù)是可數(shù)的每個正有理數(shù)都出現(xiàn)在這個陣列中。如果我們按箭頭所示次序依次重新排列，略去已經(jīng)出現(xiàn)過的數(shù)，就得到全體正有理數(shù)的一個無窮序列r1,r2,r3,r4,，于是序列0，-r1，r1，-r2, r2,-r3，r3，就是包括了所有有理數(shù)的集合。這樣就證明了有理數(shù)集的可數(shù)性。25思考：請證明實數(shù)集不

11、是可數(shù)集。提示：證明（0，1是不可數(shù)的.26康托爾關于實數(shù)不可數(shù)性的發(fā)現(xiàn)，是為建立超窮集合論而邁出的真正有意義的一步。1878年在他發(fā)表的文章中，康托爾明確提出了“基數(shù)”或“勢”的概念：給定兩個集合M和N，如果能夠根據(jù)某種規(guī)則在它們之間建立起一一對應的關系，就稱這兩個集合有相同的“基數(shù)”，或者說“等勢”。27康托爾認為，建立集合論重要的是把數(shù)的概念從有窮數(shù)推廣到無窮數(shù)?？低袪栐?883年的一篇文章里提出了良序集和序數(shù)的概念，又在1891年發(fā)表的“集合論的一個根本問題”里，證明了著名的康托爾定理：一集合的冪集的基數(shù)較原集合的基數(shù)大。2810.3 分析的擴展 在分析嚴格化的同時，數(shù)學家開始更自覺地

12、將分析工具應用于其他數(shù)學分支。 2910.3.1 復分析的建立直到19世紀初，復數(shù)的“合法性”仍是一個未解決的問題，盡管如此，18世紀的數(shù)學家如達朗貝爾和歐拉等人在他們的工作中大量地使用復數(shù)和復變量，并由此發(fā)現(xiàn)了復函數(shù)的一些重要性質。復分析真正作為現(xiàn)代分析的一個研究領域，是在19世紀建立起來的，主要奠基人是柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯。 30柯西在1825年出版的關于積分限為虛數(shù)的定積分的報告可以看成是復分析發(fā)展史上的第一座里程碑。柯西的積分理論是復分析的開山利斧，通過它可以導出與復函數(shù)的解析性相關的一系列本質結果。31黎曼以題為單復變函數(shù)一般理論基礎的論文在哥廷根大學獲得博士學位。就復變函數(shù)論而

13、言，黎曼的論文以導數(shù)的存在性作為復函數(shù)概念的基礎。黎曼這篇論文的突出特征是其中的幾何觀點。 32魏爾斯特拉斯為復變函數(shù)論開辟了又一條研究途徑。他相信函數(shù)論的原理必須建立在代數(shù)真理的基礎上，所以他把目光投向了冪級數(shù)，用冪級數(shù)定義函數(shù)在一點鄰域內(nèi)的解析性，并演出整個解析函數(shù)理論。 33在19世紀末，魏爾斯特拉斯的方法占據(jù)了主導地位，但后來柯西和黎曼的思想被融合在一起，其嚴密性也得到了改進，而魏爾斯特拉斯的思想也逐漸從柯西黎曼觀點推導出來。這樣，上述三種傳統(tǒng)便得到了統(tǒng)一。 3410.3.2 解析數(shù)論的形成19世紀分析方法的一個重要應用領域是數(shù)論。事實上，歐拉在數(shù)論中已引進了分析方法。不過這種方法在當

14、時還顯得十分有限而不成熟。35解析數(shù)論作為有意識使用分析方法研究數(shù)論問題的一門分支是從狄利克雷開始的。1837年，狄利克雷利用分析方法證明了歐拉和勒讓德早先提出的一個猜想，即每一個算術序列a + n b（a, b互素）中都有無窮多個素數(shù)。36在證明中，狄利克雷引入了后來隨其命名的L函數(shù) 其中是s復變數(shù)， 稱為狄利克雷（剩余）特征標。此后，狄利克雷L函數(shù)成為研究數(shù)論問題的重要工具。37不過促使解析數(shù)論取得長足進展的重要因素是關于素數(shù)分布問題的研究。若以(x)表示不超過x的素數(shù)的個數(shù)。歐拉、勒讓德、高斯都曾推測 但他們都未能給予證明。這就是著名的素數(shù)定理。 38最先在這方面作出貢獻的是俄國數(shù)學家切

15、比雪夫。他在1850年給出并證明了當x充分大時，不等式 成立，其中39素數(shù)定理也引起了黎曼的興趣。他在1859年發(fā)表文章，從歐拉的一個有關恒等式中引出了黎曼函數(shù)的概念，指出素數(shù)性質可以通過復變函數(shù)(s)來探討。他還建立了與(s)的零點有關的表示(x)的公式。因此，研究素數(shù)分布的關鍵轉變?yōu)閷瘮?shù)(s)性質的討論 .40黎曼開創(chuàng)了解析數(shù)論的新時期，并使復分析成為這一領域的重要工具。在這篇文章中，黎曼還提出一個猜想：(s)在帶形區(qū)域 中的一切零點都位于 這條線上，其中 表示復變數(shù)s的實部。這就是著名的黎曼猜想，至今沒有解決。411896年，阿達馬和瓦萊普桑根據(jù)黎曼的方法和結果，應用整函數(shù)理論，終于證

16、明了素數(shù)定理，從此解析數(shù)論開始得到迅速發(fā)展，并成為20世紀最為活躍的數(shù)論分支之一。 4210.3.3 數(shù)學物理與微分方程物理問題從來就是數(shù)學發(fā)展的源泉。18世紀數(shù)學和物理的結合點主要是常微分方程。隨著物理科學研究的現(xiàn)象從力學向電學以及電磁學擴展，到19世紀，偏微分方程的求解為數(shù)學家和物理學家關注的重點。 4319世紀偏微分方程發(fā)展的序幕，由法國數(shù)學家傅里葉拉開。他因研究吸熱或放熱物體內(nèi)部任何點處的溫度隨空間和時間的變化規(guī)律，于1822年發(fā)表了熱的解析理論，這是數(shù)學史上的經(jīng)典文獻之一。傅里葉研究的主要問題是吸熱或放熱物體內(nèi)部任何點處的溫度隨空間和時間的變化規(guī)律。 44傅里葉的工作在發(fā)展偏微分方程

17、理論的同時，解放了人們對函數(shù)概念的固有認識，從此以后，函數(shù)不再僅僅局限于解析函數(shù)或可展成泰勒級數(shù)的函數(shù)。 4519世紀偏微分方程的另一個重要發(fā)展是圍繞著位勢方程來進行的，這方面的代表人物是格林。位勢方程也稱拉普拉斯方程。拉普拉斯曾采用球面調和函數(shù)法解過這個方程，不過他得出的是一個錯誤結論。“位勢”的名稱來源于格林，與前人不同的是，格林充分認識到了位勢方程的重要性，并發(fā)展了位勢函數(shù)的一般理論。 46格林求解位勢方程的方法稱為奇異點方法。1828年，格林建立了許多有益于推動位勢理論朝前發(fā)展的極為關鍵的定理與概念。其中以格林公式（n為物體表面指向內(nèi)部的法向，dv是體積元， 是面積元）和作為一種帶奇異

18、性的特殊位勢的格林函數(shù)概念影響最為深遠。47格林是劍橋數(shù)學物理學派的開山祖師，他的工作培育了湯姆遜、史托克斯、麥克斯韋等強有力的后繼者。作為19世紀典型的數(shù)學物理學家。他們的主要目標，是發(fā)展求解重要物理問題的一般數(shù)學方法，而他們手中的主要武器就是偏微分方程，以致于在19世紀，偏微分方程幾乎變成了數(shù)學物理的同義語。就在這一時期，通過各種實際的物理問題，數(shù)學家們建立起了類型眾多的微分方程。 48然而，面對自己建立的微分方程，數(shù)學家們試圖推求其顯式解的努力卻屢遭敗績。這種情況促使他們轉而考慮解的存在性?？挛髯钕仍?9世紀20年代對一類特殊的常微分方程給出了第一個存在性定理，接著，他又在1848年的一

19、系列論文討論了偏微分方程解的存在性并提出了證明的長函數(shù)方法。 49柯西的工作在1875年被俄國女數(shù)學家柯瓦列夫斯卡婭獨立地發(fā)展為包括擬線性方程和高階組在內(nèi)的非常一般的形式。有關的偏微分方程解的存在唯一性定理在現(xiàn)代文獻中常常稱為“柯西柯瓦列夫斯卡婭定理”。 50經(jīng)過長時期的相對沉寂之后，到19世紀后半葉，常微分方程理論的研究也日顯突出，并且在兩個大的方向上開拓了常微分方程研究的新局面，其中的重大發(fā)展都與龐加萊的名字聯(lián)系在一起。51第一個方向是與奇點問題相聯(lián)系的常微分方程解析理論。常微分方程解析理論是由柯西開創(chuàng)的，但柯西之后，解析理論重點向大范圍轉移。黎曼和福克斯發(fā)展了線性方程理論，?？怂古c龐加萊探討了一階非線性方程理論，到龐加萊與克萊因的自守函數(shù)理