有限與無限的問題65張幻燈片

1、有限與無限的問題 數(shù)學(xué)文化課程組1高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別？2更加全面；更加深刻；更加細(xì)微；更加本質(zhì)；更加理論化；更加系統(tǒng)化；3高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別？從 研究“常量”發(fā)展到研究“變量”從 研究“有限”發(fā)展到研究“無限” 初等數(shù)學(xué)更多地在“有限”的領(lǐng)域里討論，更多地以“有限”為手段和工具進(jìn)行討論； 高等數(shù)學(xué)則更多地在“無限”的領(lǐng)域里討論，更多地以“無限”為手段和工具進(jìn)行討論。4什么是悖論 悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。 悖論（paradox）具體是指：由一個被承認(rèn)是真的命題為前提，設(shè)為B，進(jìn)行正確的邏輯推理后，得出一個與前提互為矛盾命題的結(jié)論非B；反之，

2、以非B為前提，亦可推得B。那么命題B就是一個悖論。所謂正確5 例如：“甲 是 乙”與 “甲 不是 乙” 這兩個命題中總有一個是錯的； 但 “本句話 是 七個字”與 “本句話 不是 七個字” 又均是對的，這就是悖論。6 再如：“萬物皆數(shù)”學(xué)說認(rèn)為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對角線之長卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。7 1. 外祖母悖論 我會穿梭時空，回到過去，把我自己的外祖母殺了。我外祖母沒了，我媽就沒了，我也就沒了。而我沒了，就沒有人殺我外祖母，我外祖母就不會死，那我又有了。而有了我，外祖母就沒了，我也就沒了這就是悖論，自己與自己就有矛盾。 3.“說謊者循環(huán)” A說：“下面

3、是句謊話。 B說：“上面是句真話?！?2.說謊者悖論自指引發(fā)的悖論 “我正在說謊” 有克利特人中的一個本地中先知說：“克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶”(圣經(jīng)提多書第一章)物理學(xué)中“平行宇宙” 這一理論中，世界不是只有一個，而是有許多平行的世界存在，按照如今的歷史過程：羅馬帝國時代、大英帝國時代、工業(yè)時代、第一次世界大戰(zhàn)、第二次世界大戰(zhàn)、電腦網(wǎng)絡(luò)如果將整個工業(yè)時代去掉，那至此以后的歷史軌跡將會得到巨大的改變，或者兩次世界大戰(zhàn)都不會出現(xiàn)，又或者世界大戰(zhàn)將會在我們的另外一個平行的世界里存在，也就是說另外一個世界如今的我們可能正在遭受著戰(zhàn)爭的陰影。這個時候“外祖母悖論”就有了合理的解釋：一個人可

4、以回到過去殺死自己的外祖母，但這將導(dǎo)致世界進(jìn)入兩個不同的軌道，一條中有那個人（原先的軌道），而另一條中沒有那個人。The Time MachineThe Matrix 一、芝諾悖論-由無限引出的 芝諾（前490？前430？）是（南意大利的）愛利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實的；運動只是假象。于是他設(shè)計了四個例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。131）兩分法向著一個目的地運動的物體，首先要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2如此類推，以至無窮，永遠(yuǎn)不能到達(dá)終點。結(jié)論

5、是：無窮是不可窮盡的過程，運動永遠(yuǎn)不可能開始的。 2）阿基里斯(Achilles)悖論： 阿基里斯追不上烏龜。 153）飛矢不動悖論一支飛行的箭是靜止的：由于每一時刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處于運動狀態(tài)。 4）“操場或游行隊伍”A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的C看來，比如說，A、B都在1小時內(nèi)移動了2公里；可是，從A看來，則B在1小時內(nèi)就移動了4公里。由于B保持等速移動，所以移動2公里的時間應(yīng)該是移動4公里時間的一半。因而一半的時間等于兩倍的時間。 2. 癥結(jié)“有限與無限”的矛盾 無限段長度的和，可能是有限的； 無限段時間的和，也可能是有限的。3. 芝諾悖論

6、的意義： 1）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展 2）較早的“反證法”及“無限”的思想 3）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾： 空間和時間有沒有最小的單位？18 芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續(xù)的”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散的”。在芝諾看來，這兩種理論都有毛??；所以，“運動只是假象，不動不變才是真實”。 芝諾的哲學(xué)觀點雖然不對，但是，他如此尖銳地提出了空間和時間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進(jìn)了認(rèn)識的發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻(xiàn)。19book.huihoo/paradox-box/從驚訝到思考數(shù)學(xué)悖論奇景二、“有無限個房間”的旅館 1. “客滿”后又來1位客人（“客滿”？）

7、1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了1號房間 21 2. 客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇數(shù)號房間 22 3. 客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 給出了一萬個、又一萬個的空房間 23全面、深刻地揭示本質(zhì)的回答是容易推廣的。24 2. 客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇數(shù)號房間 共兩個這樣的旅游團，所以把房間兩個一份、兩個一份地分，可以讓兩個旅游團的1號客人、2

8、號客人、。分別入住。 25 3. 客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 給出了一萬個、又一萬個的空房間 26全面、深刻地揭示本質(zhì)的回答是容易推廣的。該旅館客滿后又來了9857個旅游團，每個團中都有無窮個客人，如何安排？該旅館客滿后又來了10億個旅游團，每個團中都有無窮個客人，如何安排？27是否有人想提什么問題？28 4. 該旅館客滿后又來了無窮個旅游團，每個團中都有無窮個客人，還能否安排？ “無窮大！任何一個其他問題都不曾如此深刻地影響人類的精神；任何一個其他觀點都不曾如此有效地激勵人類的智力；然而，

9、沒有任何概念比無窮大更需要澄清”-Hilbert29三、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系 1. 區(qū)別 1） 在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下， 部分總是小于全體。30 當(dāng)初的伽利略悖論，就是因為沒有看到 “無限”的這一個特點而產(chǎn)生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 該兩集合：有一一對應(yīng)，于是推出兩集合的元素個數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數(shù)不相等。這就形成悖論。31 2.） “有限”時成立的許多命題，對“無限”不再成立 （1）實數(shù)加法的結(jié)合律 在“有限”的情

10、況下，加法結(jié)合律 成立: (a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c 32 在“無限”的情況下，加法結(jié)合律不再成立。如33 （2）有限級數(shù)一定有“和”。 是個確定的數(shù) 無窮級數(shù)一定有“和”。 則不是個確定的數(shù)。稱為該 級數(shù)“發(fā)散”。反之稱為“收斂”。34 2. 聯(lián)系 在“有限”與“無限”間建立聯(lián)系的手段，往往很重要。 1）數(shù)學(xué)歸納法 通過有限的步驟，證明了命題對無限個自然數(shù)均成立。 2）極限 通過有限的方法，描寫無限的過程。 如： ； 自然數(shù)N，都 ，使 時， 。 35 3）無窮級數(shù) 通過有限的步驟，求出無限次運算的結(jié)果，如 4）遞推公式 , n= 2,3, 36 3. 數(shù)學(xué)中的無限

11、在生活中的反映 1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的 （整體看又是圓的） 2）銼刀銼一個光滑零件： 每一銼銼下去都是直的 （許多刀合在一起的效果又是光滑的）37 3） 不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積，長方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。 規(guī)則圖形的面積不規(guī)則圖形的面積？ 法.用方格套（想像成透明的）。方格越小（格子的數(shù)目越多），所得面積越準(zhǔn)。 38 法.首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)則圖形若干個曲邊梯形），再設(shè)法求曲邊梯形的面積：劃分，求和， 矩形面積之和 近似等于曲邊梯形面積； 越小，就越精確；再取極 ，就得到曲邊梯形的面積。39 四、 潛無限與實無限 1潛無限與實無限簡史 潛

12、無限是指把無限看成一個永無終止的過程，認(rèn)為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個實體。40 從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持這種潛無限的觀點。他們認(rèn)為“正整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個個正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從1，2，3，寫起，每寫一張，就把該紙條裝進(jìn)一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。 因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個實體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。 亞里士多德只承認(rèn)潛無限，不承認(rèn)直線是由點構(gòu)成。 41 但康托不同意這一觀點，他很愿意把這個裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個完整的實體。這就是實無限的觀點。 康托的工作是劃

13、時代的，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托的觀點。所以康托當(dāng)時的處境和待遇都不太好。 高斯反對實無限：反對把無窮量作為現(xiàn)實的實體，認(rèn)為無限只不過是一種說話的方式 42實無限、潛無限只是一個硬幣的兩個面兩種無窮思想經(jīng)歷了此消彼長，兩種無限在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中都是有用武之地。微積分采用潛無限，非標(biāo)準(zhǔn)分析采用實無限無窮本身是一個矛盾體，既是一個需無窮逼近的過程，也是一個可供研究的實體Hilbert認(rèn)為：無窮是一個永恒之謎，無窮是人類心情寧靜的最大敵人康托Georg Ferdinand Philip Cantor (18451918) 德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845

14、年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。44由于康托爾的無窮學(xué)說從根本上否定了“整體大于部分”的觀念，而且他在無限王國走得如此遠(yuǎn)，以至于同時代的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都不能理解他的觀點，懼怕集合論。有人說，康托爾的集合論是一種“疾病”，康托爾的概念是“霧中之霧”，甚

15、至說康托爾是“瘋子”。來自數(shù)學(xué)權(quán)威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進(jìn)精神病醫(yī)院。1918年1月6日，康托爾在一家精神病院去世。 康托的無窮集合論也導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機。 三次數(shù)學(xué)危機與“無限的聯(lián)系 第一次數(shù)學(xué)危機的要害是不認(rèn)識無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它可以看成是無窮個有理數(shù)組成的數(shù)列的極限。 第二次數(shù)學(xué)危機的要害是極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮”的重要手段。貝克萊的責(zé)難，也集中在“無窮小量”上。由于無窮和有窮的本質(zhì)區(qū)別，所以極限的嚴(yán)格定義，極限的存在性，無窮級數(shù)的收斂性這樣一些問題就顯得特別重要。 第三次數(shù)學(xué)危機的要害是“是其

16、本身成員的所有集合的集合”這樣界定集合的說法有毛病。人們犯了自我指謂、惡性循環(huán)的錯誤。而且“所有集合的集合”這樣的說法涉及無窮多個集合，有些矛盾可能掩蓋在其中難以發(fā)覺，特別是無窮集合之間也可能比較大小，這一新鮮事物讓許多人難以接受。 2無限集合也有“大小” 從“一一對應(yīng)”說起 實無限的觀點讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的“大小”。 正整數(shù)集合是最“小”的無限集合。 實數(shù)集合比正整數(shù)集“大”。實數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實數(shù)集合更大。 不存在最“大”的無限集合（即對于任何無限集合，都能找到更“大”的無限集合）。47 “無窮集合”的本質(zhì)“無窮集合”中一定可以找到一個真子集，與全集一一

17、對應(yīng)。如果一個集合中能夠找到一個真子集，與全集一一對應(yīng)，這個集合一定是“無窮集合” 。 這需要“一一對應(yīng)”的觀點。 1）“一一對應(yīng)”雙射（單射+滿射） 2）集合的勢|A|集合中元素的多少 3）|N| =可數(shù)無窮勢 a ， |Q|= a 4）|R| =不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢 c）, ：無理數(shù)比有理數(shù)多得多。49 5）無窮集合可能有不同的勢，其中最小的勢是 a ；不存在最大的勢。 6）“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”長期未徹底解決 “連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”：可數(shù)無窮 a 是無限集中最小的勢，連續(xù)統(tǒng)勢 c 是（否？）次小的勢。 ？50 康托1882年曾認(rèn)為他證明了這一假 設(shè)，后來發(fā)現(xiàn)證明有錯。 直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)

18、學(xué)家的興趣。51無限可分與原子論很多思想家都研究過無窮大。古希臘的哲學(xué)家們就一條線段(或者就任何數(shù)量而言)，是不是可無限地被分割，或者說是不是可以最終得到一個不可分割的點(即“原子”)等問題，展開了無休止的爭論。他們的現(xiàn)代追隨者物理學(xué)家們今天仍然還在設(shè)法解決同一個問題，他們使用巨大的粒子加速器尋找“基本粒子”那些構(gòu)成整個宇宙的基本磚塊。天文學(xué)家一直在從另一個極端的無限廣闊的尺度上思索著無窮大問題。我們的宇宙真像它所呈現(xiàn)在晴朗的黑夜那樣無窮無盡，或是它有一個邊界(在這個邊界之外什么東西也不存在)嗎？有限宇宙的可能性似乎是對我們常識的一種挑戰(zhàn)。我們可以在任何方向上一直走下去而永遠(yuǎn)也到不了“邊”，這

19、個事實不是很清楚嗎？但是我們將不難看出，當(dāng)研究無窮大時，“常識”是一個非常差勁的向?qū)В?古希臘哲學(xué)家、詩人盧克萊修認(rèn)為宇宙是無限的，在其哲理長詩物性論中曾提到：如果你說宇宙是有限的，那么我的拐杖就能扔出這個有限的宇宙去！ 德國數(shù)學(xué)家黎曼對這一問題給出了解答，舉例說明：一只圓盤的表面是有限的，也是有界的，一只螞蟻走到圓盤的邊界就會掉下去；而一個足球的表面是有限的，卻是無界的，無論螞蟻在球面上怎么走都不會碰到邊界 這種對“無限”和“無界”的區(qū)分，尤其是有限無界的提法具有很重要的哲學(xué)意義：否定了宇宙是無限的說法。 即：這個宇宙是有限的，而不是無限的；這個宇宙不是無限宇宙中的有限宇宙，在這個宇宙之外已經(jīng)沒有任何空間了！ 五哲學(xué)中的無限 1哲學(xué)對“無限”的興趣 哲學(xué)是研究整個世界的科學(xué)。自從提出“無限”的概念，就引起了哲學(xué)家廣泛的關(guān)注和研究。現(xiàn)在我們知道哲學(xué)中有下邊一些命題： 55 物質(zhì)是無限的；時間與空間是無限的；物質(zhì)的運動形式是無限的。 一個人的生命是有限的；一個人對 客觀世界的認(rèn)識是有限的。56 2數(shù)學(xué)對“無限”的興趣 數(shù)學(xué)則更嚴(yán)密地研究有限與無限的關(guān)系，大大提高了人類認(rèn)識無限的能力。在有限環(huán)境中生存的有限的人類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的智慧；在