波函數(shù)薛定諤方程課件

1、11 、關(guān)于物質(zhì)波的波函數(shù) 回顧前面關(guān)于德布羅意物質(zhì)波的概念,任何物質(zhì)粒子都具有波粒二象性。我們把描述微觀粒子概率波的數(shù)學(xué)函數(shù)式稱(chēng)作波函數(shù)，是時(shí)空函數(shù)（ x,y,z.t)波函數(shù)常用表示。一、波函數(shù)物質(zhì)波不同于經(jīng)典概念的波,不代表實(shí)在的物理量的波動(dòng)，它反映的是物質(zhì)粒子運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律，故也稱(chēng)為概率波。2三維情形為： 波函數(shù)形式為： 由歐拉公式波面x0電場(chǎng)強(qiáng)度用 E 表示，光的經(jīng)典平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程為 在經(jīng)典物理學(xué)中我們只用了其中的實(shí)數(shù)部分。（ 1 ）光的經(jīng)典 (電磁波) 波函數(shù) 2 、光子的波函數(shù)3Pr波面（ 2 ）光子的平面波波函數(shù) 于是光子的平面波波函數(shù)為利用基本關(guān)系式將上述各量代入：得4（

2、 3 ）光子波函數(shù)與光的經(jīng)典波函數(shù)的區(qū)別 物理上的區(qū)別： 在光學(xué)中， E 表示光的電矢量,E2 表示光波的強(qiáng)度。 在光子（物質(zhì)波）中，波函數(shù)本身并無(wú)直接的物理意義，但 表示t時(shí)刻 ，在空間 r 處的體積元 dv 中發(fā)現(xiàn)光子的概率。 (r,t) 描述的波稱(chēng)為概率波。波函數(shù)代表的量變量光的經(jīng)典波函數(shù)E(電矢量)，k光子波函數(shù)（無(wú)直接意義），p函數(shù)形式上的區(qū)別： 光的概率波不象經(jīng)典電磁波那樣描述某一物理量 (電矢量) 的波動(dòng)！53 、物質(zhì)波的波函數(shù) 對(duì)于一個(gè)不受外力作用的沿 X 方向運(yùn)動(dòng)的單能 (由 E hv 可知其相當(dāng)于單色)自由粒子，與其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的單色物質(zhì)波波函數(shù)，可表示為 假如這個(gè)單能粒

3、子不是沿 X 軸運(yùn)動(dòng)，而是在三維空間沿矢徑 r 方向傳播，那么這時(shí)的波函數(shù)為:波函數(shù)是復(fù)數(shù)，模的平方可表示為64 、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋: (1)概率密度:玻恩假定：概率波的波函數(shù)，模的平方代表 t 時(shí)刻，在空間 r 點(diǎn)處單位體積元中發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的概率，稱(chēng)為概率密度。 t 時(shí)刻在空間 r 附近體積 dv 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：r說(shuō)明：代表粒子的概率分布的不是波函數(shù)本身，而是波函數(shù)模的平方。波函數(shù)無(wú)直接的物理意義。波函數(shù)不是一個(gè)物理量。7(2)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件 則在體積v內(nèi)出現(xiàn)的概率體積dv內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率 由于在一般的原子現(xiàn)象中，可以不考慮粒子的產(chǎn)生與湮滅現(xiàn)象，故在整個(gè)空間范圍內(nèi)去搜尋它，是一定能夠

4、找到的，也就是說(shuō),粒子在整個(gè)空間范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率等于 1 ， 上式稱(chēng)作波函數(shù)的歸一化條件，可見(jiàn)波函數(shù)也是歸一化函數(shù)。波函數(shù)必須同時(shí)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件和歸一化條件。統(tǒng)計(jì)詮釋要求，波函數(shù)應(yīng)滿足:標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃?、有限和連續(xù)；歸一化條件：8 5 、波函數(shù)的疊加原理 為了使我們對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋理解得全面些,我們簡(jiǎn)單地介紹一下波函數(shù)的疊加原理-波函數(shù)的疊加原理是:波函數(shù)可線性疊加以電子束的雙縫干涉 (如圖所示) 為例w若1和2是描述粒子可能狀態(tài)的波函數(shù),那么,這兩個(gè)函數(shù)的線性疊加 C1 1+C2 2 也是一個(gè)波函數(shù),它所描述的狀態(tài)是該粒子的另一個(gè)可能的狀態(tài)。9假設(shè)只開(kāi)縫1,電子束到達(dá)屏上的波函數(shù) 1 在屏上形

5、成單縫衍射的概率分布為 1 2 。 只開(kāi)縫2,電子束到達(dá)屏上的波函數(shù) 2 在屏上形成單縫衍射的概率分布為 2 2 。 可見(jiàn)兩縫同時(shí)打開(kāi)的概率分布不是兩縫分別打開(kāi)時(shí)的概率之和而是多了干涉項(xiàng)。 從宏觀來(lái)看即出現(xiàn)了干涉，1和2是電子束的兩種可能運(yùn)動(dòng) 狀態(tài)，C11 C22則是另一種可能運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 如果雙縫同時(shí)開(kāi)放,則到達(dá)屏上的波函數(shù)為 C11 C22，其在屏上形成的概率分布為(此處由于對(duì)稱(chēng)，權(quán)重 =1）10二、薛定諤方程由于微觀粒子具有波粒二象性，對(duì)于微觀粒子的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，牛頓方程已不再適用，因此，必須另新建一套處理微觀粒子問(wèn)題的方法。1926 年，奧地利物理學(xué)家薛定諤在德布羅意波假說(shuō)的基礎(chǔ)上建立了勢(shì)

6、場(chǎng)中微觀粒子的微分方程。 薛定諤方程既不能由經(jīng)典理論導(dǎo)出，也不能用嚴(yán)格的邏輯推理來(lái)證明，它的正確與否只能用實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。1 、一般的薛定諤方程 微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)(x,y,z,t)描述，薛定諤認(rèn)為，這個(gè)波函數(shù)應(yīng)該是適用于微觀粒子的波動(dòng)方程的一個(gè)解。 11必須是線性微分方程,即其方程的解必須能滿足疊加原理 (因?yàn)槲镔|(zhì)波能夠干涉)。 薛定諤提出了波函數(shù)(x,y,z,t)所適用的（在非相對(duì)論）動(dòng)力學(xué)方程： （）式中稱(chēng)之為拉普拉斯算符，必須能滿足德布羅意波公式的要求，12（）表示微觀粒子受到的作用勢(shì)能，它一般的是 r 和 t 的函數(shù)，（） m 是微觀粒子的質(zhì)量。引入哈密頓量算符哈密頓量代表粒子的

7、總能量 (注意 t)用哈密頓量表示的薛定諤方程為13處于定態(tài)的微觀粒子的波函數(shù)稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)（或稱(chēng)為能量本征函數(shù)），一般用小寫(xiě)的表示，即定態(tài)波函數(shù)所滿足的薛定諤方程稱(chēng)為定態(tài)薛定諤方程， 即為式中是粒子的總能量，又稱(chēng)為能量本征值。 、定態(tài)的薛定諤方程 如果微觀粒子受到的作用勢(shì)能不隨時(shí)間變化，亦即 U=U(x,y,z),此時(shí)系統(tǒng)的能量不隨時(shí)間變化，系統(tǒng)的這種狀態(tài) 稱(chēng)之為定態(tài)。143 、薛定諤方程的意義一維定態(tài)薛定諤方程設(shè)微觀粒子在外勢(shì)場(chǎng)中作一維運(yùn)動(dòng)，這時(shí)該方程為薛定諤方程在量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典物理中的地位相當(dāng)。薛定諤方程本身并不是實(shí)驗(yàn)規(guī)律的總結(jié)，也沒(méi)有什么更基本的原理可以證明它的正確性。從薛定諤方程得到的結(jié)論正確與否，需要用實(shí)驗(yàn)事實(shí)去驗(yàn)證。薛定諤方程是量子力學(xué)的一條基本假設(shè)。15