高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)空間點線面之間的位置關(guān)系學(xué)案理新人教A版

1、學(xué)案42空間點、線、面之間的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的含義.2. 了解可以作為推理依據(jù)的公理和 定理3能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.回扣教材夯實基礎(chǔ)【自主梳理】1.平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線上的 在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2:過 的三點，有且只有一個平面.公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有 過該點的公 共直線.2.直線與直線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系的分類共面直線異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)（2）異面直線所成的角定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點 O作直線az /a, b

2、 /b,把a 與b所成的 叫做異面直線a, b所成的角（或夾角）.范圍：.直線與平面的位置關(guān)系有 、三種情況.平面與平面的位置關(guān)系有 、兩種情況.平行公理平行于 的兩條直線互相平行.定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角 .【自我檢測】. （2011 泉州月考）若直線a與b是異面直線，直線 b與c是異面直線，則直線 a與 c的位置關(guān)系是（）A.相交B相交或異面C.平行或異面D平行、相交或異面.已知a, b是異面直線，直線 c/直線a,則c與b（ ）A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D不可能是相交直線.如圖所示，點 巳Q R, S分別在正方體的四條棱上，且是所

3、在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是（）. （2010 全國 I ）直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若/ BAC= 90 , AB= AC= AA1,則異面直 線BA與AC所成的角等于（）A 30B. 45C. 60D 905.下列命題：空間不同三點確定一個平面；有三個公共點的兩個平面必重合；空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；三角形是平面圖形；平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；垂直于同一直線的兩直線平行；一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是 .（填序號）課堂活動區(qū)探究點一平面的基本性質(zhì)【例1】如圖所示，空間四

4、邊形 ABCD43, E、F、G分別在AB BC CD上，且滿足 AE： EB= CF： FB =2 ： 1, CG： GD= 3 ： 1,過 E、F、G 的平面交 ADT H,連接 EH.（1）求 AH： HD（2）求證:EH FG BD三線共點.變式遷移如圖，E、F、G H分別是空間四邊形 AB BC CD DA上的點，且EH與FG相交于點O. 求證：B、D O三點共線.探究點二異面直線所成的角例2(2009 全國I )已知三棱柱 ABG- AiBiCi的側(cè)棱與底面邊長都相等， Ai在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線 AB與CC所成的角的余弦值為(A峭 BfC若變式遷移2 (20

5、11 淮南月考)在空間四邊形 ABC邛，已知AA 1,BC=，3，且ADLBC 對角線BD= 寫,AC=半，求AC和BD所成的角.滲透教學(xué)思想轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用【例】Pfi(12分)如圖所示，在四棱錐 P ABCDK底面是邊長為 2的菱形，/ DAB= 60 ,對角 線AC與BD交于點 Q PQL平面 ABCD PB與平面ABC所成角為60 .(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點，求異面直線 DE與PA所成角的余弦值.多角度審題】對(1)只需求出高PQ易得體積；對(2)可利用定義，過 E點作PA的平 行線，構(gòu)造三角形再求解.【答題模板】解 (1)在四棱錐 P-ABCD43,PQL平面

6、 ABCD / PBO是PB與平面 ABCD成的角,即/ PBQ= 60 ,2分在 RtAOB 中， BO AB- sin 30 =1,又 PQL OB，PQ= BQ tan 60.底面菱形的面積 S= 2X；X2X2X*=243,，四棱錐 PABCM體積 V-abc產(chǎn)；*233=2.6 分3(2)取AB的中點F,連接EF, DF,E 為 PB中點，. EF/ PADEF為異面直線DE與PA所成角(或其補角). 8分在RtMOB中，AO= AB- cos 30 = 3,在 RtPOA中，PA=0,，EF=弓.在正三角形 AB/口正三角形 PDB中，DF= DE= ，人一DE2+EF2-D八由余

7、弦定理得cos/ DEF= C匚匚匚10分2DE, EF小唱一出21亞=29 4 .所以異面直線 DE與PA所成角的余弦值為 乎.12分【突破思維障礙】求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān)，往往將角的頂點取在其中的一條直線上，特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點或異面線段的端點.總之，頂點的選擇要與已知量有關(guān)，以便于計算，具體步驟如下：(1)利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上；(2)證明作出的角即為所求角；(

8、3)利用三角形來求解， 異面直線所 成角的范圍是(0 , 90 .【易錯點剖析】.求異面直線所成的角時，僅指明哪個角，而不進(jìn)行證明.忘記異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負(fù)值.課堂小結(jié).利用平面基本性質(zhì)證明“線共點”或“點共線”問題：(1)證明共點問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證交點在第三條直 線上，有時也可將問題轉(zhuǎn)化為證明三點共線.(2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理 3可知這些點在交線上，因此共線.異面直線的判定方法：1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi).2)反證法：用此方法可以證明兩直線是異面直線.3.

9、求異面直線所成的角的步驟：(1) 一般是用平移法(可以借助三角形的中位線、平行四邊形等)作出異面直線的夾角;(2)證明作出的角就是所求的角；(3)利用條件求出這個角；(4)如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補 角才是要求的角.謖后糠司區(qū)精題精練規(guī)范答題（滿分：75分）A.C.、選擇題（每小題5分，共25分）和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是（）異面平行給出下列命題:B.相交D.異面或相交A.C.3. （2011 寧德月考）D.H若平面a上的直線a與平面3上的直線b為異面直線，直線 C是a與3的交線， 那么c至多與a、b中的一條相交；若直線 a與b異面

10、，直線b與c異面，則直線a與c 異面；一定存在平面 a同時和異面直線a、b都平行.其中正確的命題為 （）H如圖所示，在正三角形 ABC中，D E、F分別為各邊的中點，G H、I、J分別為AFAD BE、DE的中點，將 ABC沿DE EF、DF折成三棱錐以后,A 9060（2009 全國II ）已知正四棱柱 面直線BE與CD所成角的余弦值為（45ABCD- A1B1GD 中, )GH與IJ所成角的度數(shù)為（）0AA = 2AR E為AA的中點，則異A*A 10b53 .110, 10D3（2011 三明模擬）正四棱錐SABCD勺側(cè)棱長為42,底面邊長為 小，E為SA的中點，則異面直線 BE和SC所

11、成的角為（3045)6090二、填空題（每小題4分，共12分）D一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：AB! EF;AB與CM所成的角為60 ;EF與MN異面直線；MM/ CD,則正確結(jié) 論的序號是.八1曲B（2009 四川）如圖所示，已知正三棱柱 ABC-A1BC1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC的中點，則異面直線 AB和BM所成的角白大小是 .如圖所示，正四面體 PABC中，M為棱AB的中點，則PA與CM所成角的余弦值為三、解答題（共38分）（12分）（2011 溫州月考）如圖所示，正方體 ABCD-AiBiCiD中，E, F分別是AB和AA的中點.求證：（1）E , C

12、, D, F四點共面；（2）CE, DF, DA三線共點.（12 分）在棱長為a的正方體 ABCD- ABGDi中, 過這三點的截面，并求這個截面的周長.巳 Q R分別是棱 CC, AQ, AB的中點，畫出（14分）（2011 舟山模擬）如圖，正方體 ABCD-A1B1GD的棱長為2, E為AB的中點.（1）求證：ACL平面BDD;（2）求異面直線BD與CE所成角的余弦值.（3）求點B到平面AEC的距離.學(xué)案42 空間點、線、面之間的位置關(guān)系自主梳理1.兩點不在一條直線上一條 2.(1)平行相交(2)銳角或直角 0, 2 3 3.平行 相交 在平面內(nèi)4.平行相交 5.同一條直線6.相等或互補自

13、我檢測D a , c都與直線b異面，并不能確定直線a, c的關(guān)系.C a, b是異面直線，直線 c/直線a.因而cD b,否則，若c/b,則a / b與已知矛盾，因而cD b.C A中 PQ/ RS B中 RS/ PQD中RS和PQ相交.C a d.將直三棱柱 ABC-A1B1G補成如圖所示的幾何體.由已知易知：該幾何體為正方體.連接 GD,則 GD/ BA.異面直線BA與AC所成的角為/ ACiD(或補角)，在等邊AACiD 中，Z ACiD= 60 .5.課堂活動區(qū)【例1】 解題導(dǎo)引 證明線共點的問題實質(zhì)上是證明點在線上的問題，其基本理論是把 直線看作兩平面的交線，點看作是兩平面的公共點，

14、由公理 3得證.AE CF (1)解E1r 奇 2, .4/ AC.EF/ 平面 ACD而 EF?平面 EFGH 且平面 EFG用平面 ACD= GH EF/ GH. 而 EF/ AC .AC/ GH.AH CG_.3,即 AH： HD= 3 ： 1.HD GD(2)證明 EF/ GH 且 EC= 3 黑 J AC 3 AC 4.EFw GH，四邊形 EFGHM弟形.令 EHn FG= P,貝U PC EH 而 EH?平面 ABDPC FG FG?平面 BCD平面ABDT平面BCD= BD.PC BD. .EH FG BD三線共點.變式遷移1 證明EC AB, HC AD,.EC 平面 ABD

15、 HC 平面 ABD.1 .EH?平面 ABD. Em FG= O, . .OC 平面 ABD.同理可證oe平面bcd.oe平面 abdt平面 bcd即oe bdb d o三點共線.例2 解題導(dǎo)引高考中對異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟為：(1)平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常 選擇特殊位置的點，如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點.(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角.(3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.(4)取舍：因為異面直線所成角0的取值范圍是0 0 9

16、00 ,所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為異面直線所成的角.D 國如圖，ADL平面ABC且D為BC的中點，設(shè)三棱柱的各棱長為1,則AD=乎，由AD 1112_L平面 ABC知 AQ=萬，RtZABD中，易求 AB=4+ 4= 2.CC/ A/A,AB AA所成的角即為 A* CC所成的角.在.1 112 33知cos / AAB= = - AB與CC所成的角的余弦值為-. 2X1X1 44AiBA中，由余弦定理可變式遷移2解如圖所示，分別取AD CDABBD的中點E、F、GH,連接EF FH HG GE GF由三角形的中位線定理知，EF/ AC且EF=*，GB BD,且GE= 呼.G%口

17、EF所成的銳角(或直角)就是AC BD所成的角.13同理，GH/ AD HF/ BCGH= 3, HF=又 ADL BC / GHF= 90 ,GU=GH+ hU=1. 在EFG, eG+E1=1 = GF, .Z GEF90 ,即AC和BD所成的角為90 .課后練習(xí)區(qū)DC 錯，c可與a、b都相交；錯，因為a、c可能相交也可能平行；正確，例如過異面直線 a、b的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件.B Aie,oEHG與IJ為一對異面直線，過 D分別作HG與IJ的平將三角形折成三棱錐，如圖所示, 行線，因 GH DFIJ / AD所以/ ADF為所求，因此HG與IJ所成角為60 .C

18、 如圖所示，連接 AB,則AB/ C D故異面直線 BE與CD所成的角即為 BE與AB所成的角.設(shè) AB= a,則 AE= a, A B= 5a,BE= 2a. ABE中，由余弦定理得cos / A BE=BU+AE2 A1E22BE- AiB2a2 + 5a2-a2 _310-2x A/2ax5a- 10 .5. C 設(shè)AC中點為Q則OB SC連接BO則/ BEO或其補角）即為異面直線 BE和 SC所成的角，_ 1-2-16EO= SC=玄，BO= BD=萬，在 SAB43, cosA百+AEB=.2 AB AE BE= 2.在 BEOKcos / BEOB= eO BO 1=一2BE- E

19、O2 ./ BEO= 606.AABL EF, AB/ CM解析 把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，易知 EF與MN#面，MNLCD故正確.7. 90解析 延長AB至D,使AiBi=BiD,則AB/ BD/MBtM是直線AB和BM所成的角.設(shè)三棱柱的各條棱長為2,則BM=鄧,BD= 2班,C C2=Ai D2+Ai C2-2A D- Ai C cos 60 =1 6 + 4 2X4= 1 2.dM= CC2+CM=1 3,bM+bDdM.-cosZ DBIW- = 0, ./ DBIW90 .2 BM- BD解析如圖，取PB中點N,連接CN MN / CMN； PA與。麗成白角

20、（或補角），設(shè)PA= 2,則CM=布,MN= 1, CN=木.MN+ CM CN 3 C0S/CMN=2MN CM = 69.證明 （1）如圖所示，連接 CD, EF, AB,E、F分別是AB和AA的中點，_1 _ .EF/ AB,且 EF= AB, （2 分）又 AD 觸 BC，四邊形ABCD是平行四邊形，.AB/ CD, . EF/ CD,EF與CD確定一個平面 色 ,E, F, C, DC”，即E, C, D, F四點共面.（6分）, 一 ，11（2）由（1）知 EF/ CD,且 EF= CD,四邊形CDFE是梯形，CE與DF必相交，設(shè)交點為 P, （8分）則PC C日平面ABCD且PC DF?平面AADD,.PC 平面 ABCD! PC 平面 AiADD（10 分）又平面 ABC。平面 AADD= AD.PC AD . CE DF, DA三線共點.（12 分）10.解 如圖所示，連接 QR并延長，分別與 CiBi, CD的延長線交于E, F兩點.連接EP交BB于M點，連接FP交DD