2022年初等幾何研究試題答案

1、初等幾何研究試題答案（I ）一、線段與角的相等 1. O1、O2相交于 A、B, O1 的弦 BC交O2于 E, O2的弦 BD交O1 于 F, 求證: （1）若 DBA=CBA,則 DF=CE; (2) 若 DF=CE,則DBA=CBA. 證明:(1) 連接 AC、AE、AF、AD 在O1中, 由CBA=DBA得 AC=AF 在O2中, 由CBA=DBA得 AE=AD 由 A、C、B、E四點共圓得 1=2 由 A、D、B、E四點共圓得 3=4 所以 ACE AFD DF=CE (2) 由（1）得 1=2, 3=4 DF=CE ACE AFD AD=AE 在O2中, 由 AD=AE可得 DBA

2、=CBA 2. 在 ABC中,AC=BC,ACB=90 O ,D 是 AC上的一點 ,AEBD的延長線 于 E, 又 AE=1 2BD, 求證:BD 平分 ABC. 證明: 延長 AE,BC交于點 F AEDBCA90ADEBDC CBDCAF ACBC又ACFBCA90ACFBCDAFBD又AE1BDAE1 2AF2又ABEEBEBE平分ABF即BD平分ABC3. 已知在凸五邊形 CDE=180o2 , ABCDE中 , BAE=3 ,BC=CD=DE,且 BCD=求證: BAC=CAD=DAE. 證明: 連接 BD,得 CBD是等腰三角形且底角是 CDB=180o(180o2) 2=. B

3、DE=(180 2)-=180o3A、B、D、E共圓 同理 A、C、D、E共圓BAC=CAD=DAE 4. 設 H為銳角 ABC的垂心 , 若 AH等于外接圓的半徑 . 求證: BAC=60o證明: 過點 B作 BDBC,交圓周于點 D,連結 CD、AD C DBC=90o, CD是直徑 , 則CAD=90o由題, 可得 AHBC, BHAC BD AH, AD BH AH=BD 又AH等于外接圓的半徑 (R) 四邊形 ADBH是BD=R,而 CD=2R 在 Rt BCD中,CD=2BD,即BCD=30oBDC=60o又 BAC=BDC BAC=BDC=60o5. 在 ABC中, C=90 o

4、,BE 是B的平分線 ,CD是斜邊上的高 , 過 BE、CD之交點 O且平行于 AB的直線分別交 AC、BC于 F、G,求證 AF=CE. 證明: 如圖 13, 1=2. 2=3, GB = GO, 5=4=6, CO =CE, FG AB,AFCF=BGCG=GOCG, 又 FCO COG,COCF=GOCG=AFCF, CO=AF,CO=CE,AF=CE. 6. 在 ABC中, 先作角 A、B的平分線 , 再從點 C作上二角的平分線值平行線 , 并連結它們的交點證: 如圖所示設 AC、ED的交點為 F D、E,若 DE BA,求證: ABC等腰. AD是 A的平分線1=2 DE AB 1=

5、3 CE AD 3=5, 4=2 1=2=3=4=5 則 FAD和 FCE是等腰三角形AF=DF,EF=CF AC=DE 同理可證 BC=DE AC=BC ABC是等腰三角形7. 三條中線把ABC分成 6 個三角形 , 若這六個三角形的內(nèi)切圓中有4 個相等 . 求證: ABC是正三角形AHFGOLEKrrJIBDC證明: AOF、 AOE、 COD、 COE、 BOF、 BOD面積都相等S OFB=S OEC即: 2 1 BF r+1 FO r+ 2 1 BO r= 2 1 CE r+1 OE r+ 21 OC r 211 (BF+FO+BO) r= 2 (CE+OE+OC) r 2BF+FO

6、+BO=CCE+OE+OC CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ 2DH+2BH=2FK+2CK 2BF=2CE 又 F、E 分別為 AB、AC之中點AB=AC 同理:AB=BC 故 ABC是正三角形 . 8. 平行四邊形被對角線分成四個三角形中 證明:該四邊形為菱形 . A,若有三個的內(nèi)切圓相等DEOIHBFGC 證明:又 AOB、 BOC 、 COD、 DOA四個三角形的面積相等1ODDCOC2r1OBBCOCrOG22ODCDOCODBCOBOCBCOIOCDCOEOGOBOC2DF2CFBH2 CH2DC2BCDCBC四邊形為菱形9. 凸四邊形被對角線分成4 個三

7、角形 ,皆有相等的內(nèi)切圓 ,求證:該四邊形是菱形 . A B O1P O4D Q O N O2M O3C 證明:連結 O1 、O2,分別作 O1 、O2 到 AC 的垂線 ,垂足分別為 P 、M 在 ABC中,BO 是O1 、O2的公切線BOO1 O2 又 O1 、O2半徑相同 , 且都與 AC相切O1 O2 AC BOAC BDAC 兩個相等的內(nèi)切圓 O1 、O3在對頂三角形 AOB與 COD中周長 C AOB=C COD AO+BO+AB=CO+DO+CD 又OP=OQ=OM=ON （ AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) 2AB=2CD AB=CD 同

8、理 AD=BC 四邊形 ABCD是平行四邊形又ACBD 四邊形 ABCD是菱形10. 在銳角 ABC 中,BD,CE 是兩高 ,并自 B 作 BFDE 于 F,自 C 作 CGDE 于 G,證明:EF=DG. A G D E M F B O C 證明:設 O,M 分別是 BC,FG 的中點 , 所以 OM BF, 因為 BFFG, 所以 OM FG, 又因為 BEC=BDC= 90 所以 BCDE 四點在以 BC 為 直徑的圓上 , 因為 OM DE, 所以 OM 平分 ED, 所以 FM-EM=MG-MD 即 EF=DG. 11. ABC 中,M 是 BC 的中點 ,I 是內(nèi)心 ,BC 與內(nèi)

9、切圓相切與 K. 求證:直線 IM 平分線段 AK. ALGBHDIKCEMF O證明:作出 A 的旁切圓 O,設它與 BC 邊和 AB,BC 的延長線分別切 于 D,E,F,（如圖）連接 AD 交內(nèi)接圓于L,則因內(nèi)接圓和旁切圓以A 為中點成位似 ,則: IL BC,即 K,I,L 共線 于是原題借中位線可如下轉化 MI 平分 AK, M 平分 DK BD=KC 后者利用圓 I 與圓 O 兩條外公切線相等EG=FH BD+BK=CD+CK 則反推過去 ,得到 IM 平分線段 AK. 12在 ABC 中,M 是 BC 的中點 ,I 是內(nèi)心 ,A HBC 于 H,AH 交 MI 于 E,求證:AE

10、 與內(nèi)切圓半徑相等 . ABFMLEGIHCK證明:如圖所示作 ABC 的內(nèi)切圓 , 切點分別交于 KL 與 AC BC 于點 K、AB 于點 F、AC 于點 G,連接 KL 是直徑 , 又M 為 BC 的中點 ,I 為內(nèi)心 ,則 AL 又AHBC AH LK 又點 E 點 I 分別都在 AH 、LK 上AE LI 四邊形 AEIL 為平行四邊形AELI 命題得證 . 13. 在矩形 ABCD 中,M 是 AD 的中點 ,N 是 BC 的中點 ,在 CD 的延長 線取 P 點,記 Q 為 PM 與 AC 的交點 ,求證:QNMMNP 證明:利用矩形的中心 設 O 是矩形 ABCD 的中心 ,則

11、 O 也是 MN 的中點 , 延長 QN 交 OC 的延長線于 R,如圖,則 O 又是 PR的 中點,故 NC 平分 PNR.,而 NMNG. NM 平分 PNQ 14. 給定以 O 為頂點的角 ,以及與此角兩邊相切于 A、B 的圓周 ,過 A作 OB 的平行線交圓于 證:OK=KB. C,連結 OC 交圓于 E,直線 AE 交 OB 于 K,求證明:如圖所示 ,過 C 作圓的切線交 OB 延長線于 D.OD,OA,CD 都是圓的切線 ,且 AC CD 四邊形 ACDO是等腰梯形 , DOA=D BOC=ACO,ACO=OAK BOC=OAK DOA=D AOK ODC CD 1KO 1OD

12、2 AO 2 OA=OB OB=OA=2KO, 即 OK=KB 15. 在等腰直角 ?ABC 的兩直角邊CA,CB 上取點 D、E 使 CD=CE,從 C、D 引 AE 得垂線 ,并延長它們分別交 AB 于 K、L,求證:KL=KB. LBEKDCHE證明:延長 AC 至 E使 CE=CE,再連 BE交 AE 的延長線于 H. ?ABC 是等腰直角三角形AC=BC ,ACB= BCE=90又 CE=CE ?BCE?ACE CAE=CBE AEC=BEH ?BHE ?ACE BHE=ACB=90DL CK EB 及 DC=CE KL=LB. 16. 點 M 在四邊形 ABCD 內(nèi),使得 ABMD

13、 為平行四邊形 ,試證:若CBM=CDM,則 ACD= BCM. 證:作 AN BC 且 AN=BC, 連接 DN、NC ABMD 為平行四邊形 ,AN BC 且 AN=BC ABCN 、DMCN 為平行四邊形 ,AD=BM DN=CM 、AN=BC ADN BMC 1=3,2=4,6=7 1=2 3=4 A、C、N、D 共圓（視角相等）5=7（同弧 AD）5=6 即ACD= BCM 17. 已知 ABC=ACD=60 , 且ADB=90 -腰的. 證明: 延長 CD使得 BDDE,并連結 AE ADB90 1 BDC 22ADBBDC180又BDCADBADE180ADBADE 又BDDE,

14、ADAD ADB ADE ABDAED60 ,ABAE 1 BDC,求證 : ABC是等 2又 ACD60 ACE為正三角形ACAE ABAC ABC為等腰三角形18. O1、O2 半徑皆為 r, O1 平行四邊形 過的二頂 A、B,O 2 過頂點 B、C,M是O1、O2的另一交點 , 求證 AMD的外接圓半徑也是r. DCMO 2OAO1BE證明: 設 O為 MB的終點 連接 CO并延長 O1于 E 則由對稱知 O為 CE的中點O平分 MB O平分 CE MEBC是平行四邊形ME BC AD MEAD亦是平行四邊形 MAE AMD AMD的外接圓半徑也為 r 19. 在凸五邊形 ABCDE

15、中,有ABC=ADE, AEC=ADB, 求證 :BAC=DAE.D F C A 證明:連接 BD,CE,設它們相交于 F,如圖, AEC=ADB. A,E,D,F 四點共圓 . DAE=DFE. 又ABC=ADE=AFE. A,B,C,F 四點共圓 . BAC=BFC. 又DFE=BFC. BAC=DAE.20. 在銳角 ABC 中,過各頂點作其外接圓的切線,A、C 處的兩切線分別交 B 處的切線于 M 、N,設 BD 是 ABC 的高（D 為垂足）,求證:BD 平分 MDN. 證明:如上圖 ,m、n 分別表示過 M、N 的切線長 ,再自 M 作 MM AC 于 M , 作 NN AC 于

16、N,則有N BNCN MAM NCNAM / CN =AM/CN=m/n 又MM BD NNM D/DN =MB/BN=m/n 由等比性質(zhì)知m/n=(M DAM )/(DN -CN )=AD/DC ADM CDN DM/DN=m/n 即 DM/m=DN/n BD 平分 MDN 21.已知:AD 、BE、CF 是 ABC 的三條高 .求證 :DA 、EB、FC 是 DEF 的三條角平分線 . 證明:連結 DF、FE、DECFAB AD BC B、D、H、F 共圓 13 ADBC BE AC B、D、E、A共圓 2=3 2=1 AD平分 EDF 同理 ,CF 平分 EFD BE 平分 FED 即證

17、 :DA 、EB、FC 是 DEF 的三條角平分線22.已知 AD 是 ABC 的高,P 是 AD 上任意一點 ,連結 BP-CP,延長交AC、AB 于 E、F,證 DA 平分 EDF. A E F P B J D I C 證:過 E、F 兩點分別作 EH、FG,使 EHBC,FGBC,且交 CF、BE 于I、JEHBC,AD BC,FGBC EH AD FG EH = EIAD = APFG FJEHEIFGFJ又EP PJHDGD EIP JFP EIEP EHDFGDFJPJDFJ=DEI FDB=EDC 即ADF=ADE 即 DA平分 EDF 23.圓內(nèi)三條弦 PP1、QQ1、RR1、

18、兩兩相交 ,PP1與 QQ1交于 B,QQ1 與RR1 交于 C,RR1 與 PP1 交于 A,已知 :AP=BQ=CR,AR 1=BP1=CQ1,求證:ABC 是正三角形 . 解:設 AP=BQ=CR=m,AR 1=BP1=CQ1, 則由相交弦定理得 m(c+n)=n(b+m) m(a+n)=n(c+m) m(b+n)=n(a+m) 即 ma=nc mb=na mc=nb 三式相加得 m=n 所以 a=b=c 即 ABC 是正三角形24.H 為 ABC 的垂心 ,D、E、F 分別為 BC、CA、AB 的中點 ,一個以 H 為心的圓交 DE 于 P、Q,交 EF 于 R、 S,交 FD 于 T

19、、 V.求 證:CP=CQ=AR=AS=BT=BU A T CK E BQ R S F H B D AC 證明:連結 AS、AR、RH 由相交弦定理知 : AHHA=BH HB=CH HC AS 2=AR 2=AK 2+KR 2 設 H 的半徑為 r, 在 KRH 中,KR 2=r 2-HK 2 AS 2=r 2+（AK+KH ） （AK-HK ）=r 2+AH (AK-HK) 在 ABC 中,F、E 為 AB、AC 的中點 ,且 AA BC AK=KA AS 2=AR 2=r 2+AH HA 同理:BT2=BU 2=r 2+BHHB CP 2=CQ 2=r 2+CHHC 25、在銳角三角形 ABC 中,AD、BE、CF 是各邊上的高 ,P、Q 分別在 線段 DF、EF 上,且PAQ 與DAC 同向相等 . 求證:AP 平分 FPQ R AF Q EP B