高考數(shù)學(xué)100個熱點題型秒解技巧之利用極化恒等式速解向量內(nèi)積范圍問題

1、 化 難 為 易 化 繁 為 簡 2019年4月版秒解高考數(shù)學(xué)100招 選擇、填空篇 例（2016山東理7）函數(shù)的最小正周期是( )A. B. C. D.【秒解】根據(jù)口訣：和差不變,積商減半,易知以及的周期均為,則的周期為,選.四大特色助快速解題 100個秒解技巧 80個精妙二級結(jié)論 10年高考真題為例 700個例題深入剖析目錄 CONTENTS1、集合 利用特值逆代法速解集合運算題22、集合 利用對條件具體化巧解集合運算題3、集合 運用補集運算公式簡化集合計算4、簡易邏輯 利用韋恩圖巧解集合與數(shù)量關(guān)系題5、簡易邏輯 借助數(shù)軸法巧解充要條件問題6、復(fù)數(shù) 利用逆代法、特值法速解含參型復(fù)數(shù)題7、復(fù)

2、數(shù) 利用公式速解有關(guān)復(fù)數(shù)的模的問題8、復(fù)數(shù) 利用結(jié)論快速判斷復(fù)數(shù)的商為實數(shù)或虛數(shù)9、復(fù)數(shù) 利用公式快速解決一類復(fù)數(shù)問題10、三視圖 柱體和錐體的三視圖快速還原技巧11、三視圖 利用“三線交點”法巧妙還原直線型三視圖12、不等式 利用逆代法巧解求不等式解集問題 13、不等式 利用特值法速解比較大小問題 14、不等式 利用數(shù)軸標根法速解高次不等式15、不等式 用代入法速解f型不等式選擇題16、不等式 利用幾何意義與三角不等式速解含有絕對值的不等式17、不等式 利用結(jié)論速解含雙絕對值函數(shù)的最值問題18、不等式 利用“1的代換”巧解不等式中的最值問題19、不等式 利用“對稱思想”速解不等式最值問題20

3、、不等式 利用柯西不等式速解最值問題21、線性規(guī)劃 利用特殊法巧解線性規(guī)劃問題22、線性規(guī)劃 高考中常見的線性規(guī)劃題型完整匯總23、程序框圖 程序框圖高效格式化解題模式24、排列組合 排列組合21種常見題型解題技巧匯總25、排列組合 利用公式法速解相間涂色問題26、排列組合 速解排列組合之最短路徑技巧27、二項式定理 二項式定理常見題型大匯總28、二項式定理 利用公式速解三項型二項式指定項問題29、平面向量 特殊化法速解平面向量問題30、平面向量 利用三個法則作圖法速求平面向量問題31、平面向量 HYPERLINK /p/31042443 三點共線定理及其推論的妙用32、平面向量 平面向量等和

4、線定理的妙用33、平面向量 向量中的“奔馳定理”的妙用34、平面向量 三角形四心的向量表示及妙用35、平面向量 利用極化恒等式速解向量內(nèi)積范圍問題36、空間幾何 利用折疊角公式速求線線角37、空間幾何 求體積的萬能公式：擬柱體公式38、空間幾何 空間坐標系中的平面的方程與點到平面的距離公式的妙用39、空間幾何 利用空間余弦定理速求異面直線所成角40、空間幾何 利用公式速解空間幾何體的外接球半徑41、函數(shù) 用特值法速解分段函數(shù)求范圍問題42、函數(shù) 數(shù)形結(jié)合法速解函數(shù)的零點與交點問題43、函數(shù) 數(shù)型結(jié)合法巧解帶f的函數(shù)型不等式44、函數(shù) 函數(shù)的周期性的重要結(jié)論的運用45、函數(shù) 利用特值法巧解函數(shù)圖

5、像與性質(zhì)問題46、函數(shù) 通過解析式判斷圖像常用解題技巧47、函數(shù) 利用結(jié)論 速解“奇函數(shù)C”模型問題48、函數(shù) 利用特值法速解與指數(shù)、對數(shù)有關(guān)的大小比較問題49、函數(shù) 巧用耐克函數(shù)求解函數(shù)與不等式問題50、函數(shù) 利用對數(shù)函數(shù)絕對值性質(zhì)速解范圍問題51、函數(shù) 巧用原型函數(shù)解決抽象函數(shù)問題52、函數(shù) 構(gòu)造特殊函數(shù)巧解函數(shù)問題53、導(dǎo)數(shù) 特殊化與構(gòu)造方法巧解導(dǎo)數(shù)型抽象函數(shù)問題54、導(dǎo)數(shù) 極端估算法速解與導(dǎo)數(shù)有關(guān)選擇題55、導(dǎo)數(shù) 用母函數(shù)代入法巧解函數(shù)、導(dǎo)數(shù)中求范圍問題56、導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)求導(dǎo)在函數(shù)與圓錐曲線切線問題中的妙用57、三角函數(shù) 利用口訣巧記誘導(dǎo)公式及其運用58、三角函數(shù) 利用結(jié)論速求三角函數(shù)

6、周期問題59、三角函數(shù) 巧用特值法、估算法解三角函數(shù)圖像問題60、三角函數(shù) 海倫公式及其推論在求面積中的妙用61、三角函數(shù) 借助直角三角形巧妙轉(zhuǎn)換弦與切62、三角函數(shù) 特殊技巧在三角變換與解三角形問題中的運用63、三角函數(shù) 齊次式中弦切互化技巧64、三角函數(shù) 利用射影定理秒解解三角形問題65、三角函數(shù) 三角形角平分線定理的妙用66、三角函數(shù) 三角形角平分線長公式的妙用67、三角函數(shù) 三角形中線定理及其推論的妙用68、三角函數(shù) 利用測量法估算法速解三角形選擇題69、三角函數(shù) 利用公式法速解三角函數(shù)平移問題70、數(shù)列 利用公式法速解等差數(shù)列與71、數(shù)列 利用列舉法速解數(shù)列最值型壓軸題72、數(shù)列 用

7、特殊化法巧解單條件等差數(shù)列問題73、數(shù)列 等差數(shù)列性質(zhì)及其推論的妙用74、數(shù)列 觀察法速解一類數(shù)列求和選擇題75、數(shù)列 巧用不完全歸納法與猜想法求通項公式76、數(shù)列 代入法速解數(shù)列選項含型選擇題77、數(shù)列 一些數(shù)列選擇填空題的解題技巧78、統(tǒng)計與概率 估算法速解幾何概型選擇題79、直線與圓 利用相交弦定理巧解有關(guān)圓的問題80、直線與圓 利用精準作圖估算法速解直線與圓選擇題81、直線與圓 利用兩圓方程作差的幾何意義速解有問題82、圓錐曲線 利用“阿波羅尼圓”速解一類距離比問題83、圓錐曲線 用點差法速解有關(guān)中點弦問題84、圓錐曲線 用垂徑定理速解中點弦問題85、圓錐曲線 用中心弦公式定理速解中心

8、弦問題86、圓錐曲線 焦點弦垂直平分線結(jié)論的妙用87、圓錐曲線 利用二次曲線的極點與極線結(jié)論速求切線和中點弦方程88、圓錐曲線 用公式速解過定點弦中點軌跡問題89、圓錐曲線 巧用通徑公式速解離心率等問題90、圓錐曲線 巧用三角形關(guān)系速求離心率91、圓錐曲線 構(gòu)造相似三角形速解離心率92、圓錐曲線 用平面幾何原理巧解圓錐曲線問題93、圓錐曲線 利用焦點弦公式速解焦點弦比例問題94、圓錐曲線 利用焦點弦公式速解焦半徑與弦長問題95、圓錐曲線 橢圓焦點三角形面積公式的妙用96、圓錐曲線 雙曲線焦點三角形面積公式的妙用97、圓錐曲線 離心率與焦點三角形底角公式的妙用98、圓錐曲線 用離心率與焦點三角形

9、頂角公式速求離心率范圍99、圓錐曲線 用特值法巧解圓錐曲線選填題100、圓錐曲線 用對稱思想速解圓錐曲線問題35、平面向量 利用極化恒等式速解向量內(nèi)積范圍問題 （1） （2）（1）（2）兩式相加得：結(jié)論：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.思考1：如果將上面（1）（2）兩式相減,能得到什么結(jié)論呢？ 極化恒等式對于上述恒等式,用向量運算顯然容易證明.那么基于上面的引例,你覺得極化恒等式的幾何意義是什么？幾何意義：(1)平行四邊形模式:向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.（2）三角形模式:在圖中的三角形中（為的中點）,因為,所以 例

10、1(2012年浙江文15)在中,是的中點,則 .【秒解】因為是的中點,由極化恒等式得：=9= 16在運用極化恒等式的三角形模式時,關(guān)鍵在于取第三邊的中點,找到三角形的中線,再出極化恒等式. 例2(2012北京文13改)已知正方形的邊長為1,點是邊上的動點,則的值為 . 【秒解】如圖,取中點,設(shè),則,由極化恒等式得： 例3 已知正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓,點是圓上的一個動點,則的取值范圍是 . 【秒解】取的中點,連結(jié),因為三角形為正三角形,所以為三角形的重心,在上,且,所以,（也可用正弦定理求）又由極化恒等式得：,因在圓上,所以當在點處時,當在的延長線與圓的交點處時,所以涉及數(shù)量積的范圍或最值時

11、,可以利用極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞?再用數(shù)形結(jié)合等方法求出單變量的范圍、最值即可. 例4 已和為圓的一條直徑,點P為直線上任一點,則的最小值為( )A.1 B. C.2 D.【秒解】由極化恒等式得：而,又的最小值為點到直線的距離,選A. 例5 在銳角中,已知,則的取值范圍是 【秒解】,如圖,作出兩個臨界的直角三角形,且為的中點,則圖1中,=;圖2中,則易知的取值范圍是. 例6 （2010福建文11）若點和點分別為橢圓的中心和左焦點,點P為橢圓上點的任意一點,則的最大值為（ ）A.2 B.3 C.6 D.8【秒解】如圖設(shè)橢圓的右頂點為,中點為,易知,531FxyOAB3 練1（2013浙江理7）在中,是邊上一定點,滿足,且對于邊上任一點,恒有.則( )A. B.C. D.【答案】D 練2 （2008浙江理9）已知,是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量滿足,則的最大值是（ ） A.1 B.2 C. D.【答案】C 練3在中,若M是AB中點,在線段上運動,的最小值為 . 【答案】 練4 已知是圓的直徑,長為2,是圓上異于的一點,是圓所在平面上任意一點,則的最小值為（ ）A. B. C. D.【答案】C 練5 在中,若是所在平面內(nèi)一點,且,則的最大值為 . 【