【學(xué)習(xí)課件】第3章離散付氏變換

1、第三章 離散傅里葉變換精選課件主要內(nèi)容離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）離散傅里葉變換（DFT）抽樣z變換頻域抽樣理論精選課件一.DFT是重要的變換 1.分析有限長(zhǎng)序列的有用工具。 2.在信號(hào)處理的理論上有重要意義。 3.在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、 卷積、相關(guān)都可以通DFT在計(jì)算機(jī)上 實(shí)現(xiàn)。 3-1引言精選課件二.DFT是現(xiàn)代信號(hào)處理橋梁 DFT要解決兩個(gè)問題：一是離散與量化，二是快速運(yùn)算。信號(hào)處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化精選課件傅里葉變換的幾種形式： 時(shí)間函數(shù) 頻率函數(shù)連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率傅里葉變換連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅里葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換離散時(shí)間、離散頻率離散傅里葉變

2、換精選課件 FT3.2 傅里葉變換的幾種可能形式t00精選課件 FS 時(shí)域周期化，頻域離散化0t-0精選課件時(shí)域離散化，頻域周期化。DTFTx(nT)T-T0T2Tt0-精選課件但是，前三種傅里葉變換對(duì)都不適于計(jì)算機(jī)上運(yùn)算，因?yàn)樗鼈冎辽僭谝粋€(gè)域（時(shí)域或頻域）中函數(shù)是連續(xù)的。因此，我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況。精選課件若時(shí)域離散并周期化，頻域周期化并離散化。t0T2T1 2 N n0 0 1 2 3kNTx(nT)=x(n)精選課件四種傅里葉變換形式的歸納 時(shí)間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期(T0)非周期和離散(0=2/T0)離散(T)和非周期周期(s=2/T)和連續(xù)離

3、散(T)和周期(T0)周期(s=2/T)和離散(0=2/T0)精選課件DFT的簡(jiǎn)單推演： 在一個(gè)周期內(nèi)，可進(jìn)行如下變換：精選課件精選課件視作n的函數(shù)，視作k的函數(shù)，這樣,正反精選課件3.3 離散傅里葉級(jí)數(shù)DFS ( Discrete Fourier Series ) 連續(xù)周期信號(hào):周期序列 ( r 為整數(shù), N 為周期) 導(dǎo)出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號(hào)的復(fù)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)開始的一、周期序列DFS的引入精選課件因 是離散的，所以 應(yīng)是周期的。代入而且，其周期為 ，因此 應(yīng)是N點(diǎn)的周期序列。對(duì)上式進(jìn)行抽樣，得：精選課件 又由于 所以求和可以在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行，即 這就是說，當(dāng)在k=0,1,

4、., N-1求和與在k=N,.,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的。精選課件二. 的k次諧波系數(shù) 的求法1.預(yù)備知識(shí)精選課件 同樣，當(dāng) 時(shí)，p也為任意整數(shù)，則所以亦即精選課件2. 的表達(dá)式 將式 的兩端乘 ，然后從 n=0到N-1求和則：精選課件精選課件的DFS精選課件 通常將定標(biāo)因子1/N移到 表示式中。即：精選課件3.離散傅氏級(jí)數(shù)的習(xí)慣表示法 通常用符號(hào) 代入，則：正變換：反變換：精選課件DFS的圖示說明精選課件函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)：1.共軛對(duì)稱性：2.同期性：i為整數(shù)3.可約性：4.正交性：i為整數(shù)精選課件4. 的周期性與用Z變換的關(guān)系周期性：精選課件 可看作是對(duì) 的一個(gè)周期 做z變換然后將z變換

5、在z平面單位圓上按等間隔角 抽樣得到K=01234567jImRez|z|=1N=8精選課件例：周期序列 展開為DFS，求其系數(shù)。解：方法1 整理x(n)有(N=12)：與DFS定義對(duì)比知：在 和 時(shí)： 方法2 由定義式直接計(jì)算，得 精選課件-2 -1 0 1 2 10 11 nN=12-2 -1 0 1 2 11 12 k6精選課件精選課件精選課件精選課件3.4 離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)FS性1、線性：其中， 為任意常數(shù)若則精選課件2、序列的移位精選課件3、調(diào)制特性精選課件4、對(duì)偶性證：精選課件5、周期卷積和若則討論: 周期卷積與線性卷積的區(qū)別在于：周期卷積求和只在一周期內(nèi)進(jìn)行。(注意周期信號(hào)的

6、線性卷積不存在)式中的卷積稱為周期卷積精選課件精選課件精選課件精選課件0 5 0 5 4 3 2 1 4 3 2 15 4 5 4 3 2 1 0 3 2 1 04 3 4 3 2 1 0 5 2 1 0 53 2 3 2 1 0 5 4 1 0 5 42 1 2 1 0 5 4 3 0 5 4 31 0 1 0 5 4 3 2 5 4 3 21 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 01 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -110 8 6 10 14 12 精選課件同樣，利用對(duì)稱性 若則精選課件3.5 離散傅里葉變換有限長(zhǎng)序列的離散

7、頻域表示在進(jìn)行DFS分析時(shí)，時(shí)域、頻域序列都是無限長(zhǎng)的周期序列周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列可以看成周期為N的周期序列的一個(gè)周期（主值序列）借助DFS變換對(duì)，取時(shí)域、頻域的主值序列可以得到一個(gè)新的變換DFT，即有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換精選課件另外一種寫法是其中 表示對(duì) n 取模N 運(yùn)算(或模 N的余數(shù))。對(duì)周期信號(hào)而言, 或 。精選課件舉例：設(shè)周期為 N=6。則有周期序列和求余運(yùn)算： 或 這是因?yàn)椋?(19=36+1) 同理 或 這是因?yàn)椋?(-2=-16+4) 同樣：X(k)也是一個(gè)N點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列精選課件有限長(zhǎng)序列的DFT定義式精選課件關(guān)于離散傅里葉變換(DFT

8、)：序列x(n)在時(shí)域是有限長(zhǎng)的(長(zhǎng)度為N)，它的離散傅里葉變換X(k)也是離散、有限長(zhǎng)的(長(zhǎng)度也為N)。n為時(shí)域變量，k為頻域變量。離散傅里葉變換與離散傅里葉級(jí)數(shù)沒有本質(zhì)區(qū)別，DFT實(shí)際上是離散傅里葉級(jí)數(shù)的主值，DFT也隱含有周期性。離散傅里葉變換(DFT)具有唯一性。DFT的物理意義：序列x(n)的Z變換在單位圓上的等角距取樣。精選課件x(n)的N點(diǎn)DFT是 x(n)的z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔抽樣； x(n)的DTFT在區(qū)間0,2上的N點(diǎn)等間隔抽樣。精選課件例1、計(jì)算 (N=12)的N點(diǎn)DFT.解： 精選課件精選課件精選課件精選課件N=4點(diǎn)的DFT？精選課件3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)

9、1、線性這里，序列長(zhǎng)度及DFT點(diǎn)數(shù)均為N若不等，分別為N1，N2，則需補(bǔ)零使兩序列長(zhǎng)度相等，均為N，且若則精選課件 有限長(zhǎng)序列的圓周移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對(duì)頻譜幅度無影響。時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位2、圓周移位精選課件其中 ；同理可證另一公式。證：推論：精選課件從圖中兩虛線之間的主值序列的移位情況可以看出：當(dāng)主值序列左移m個(gè)樣本時(shí)，從右邊會(huì)同時(shí)移進(jìn)m個(gè)樣本好像是剛向左邊移出的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進(jìn)來因此取名“循環(huán)移位”。顯然，循環(huán)移位不同于線性移位 精選課件若則證：3、對(duì)偶性精選課件4、圓周共軛對(duì)稱性第二章 2.9小節(jié)討論了共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列的概念，那里的對(duì)稱性是指關(guān)于

10、坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱性。DFT也有類似的對(duì)稱性，但DFT中涉及的序列x(n)是及其離散付立葉變換X(k)均為有限長(zhǎng)序列，且定義區(qū)間為0到N-1，因此若用2.9小節(jié)關(guān)于對(duì)稱性方法定義，算出的共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量都是(2N-1)點(diǎn)。對(duì)于DFT來說，其對(duì)稱性是指關(guān)于N/2點(diǎn)的對(duì)稱性。精選課件其中：共軛反對(duì)稱分量：共軛對(duì)稱分量：任意周期序列：精選課件定義：則任意有限長(zhǎng)序列：圓周共軛反對(duì)稱序列：圓周共軛對(duì)稱序列： 這表明長(zhǎng)為N的有限長(zhǎng)序列可分解為兩個(gè)長(zhǎng)度相同的兩個(gè)分量。精選課件證明： 則 共軛對(duì)稱特性之一精選課件共軛對(duì)稱特性之二精選課件共軛對(duì)稱特性之三證明：精選課件共軛對(duì)稱特性之四證明：精選課件共軛對(duì)

11、稱特性之五、六X(k)圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量的對(duì)稱性精選課件實(shí)、虛序列的對(duì)稱特性 當(dāng)x(n)為實(shí)序列時(shí)，根據(jù)特性之三，則 X(k)=Xep(k)又據(jù)Xep(k)的對(duì)稱性： 當(dāng)x(n)為純虛序列時(shí)，根據(jù)特性之四，則 X(k)=Xop(k)又據(jù)Xop(k)的對(duì)稱性：精選課件序列 DFT共軛對(duì)稱性精選課件序列 DFT實(shí)數(shù)序列的共軛對(duì)稱性純虛數(shù)序列的共軛對(duì)稱性精選課件 例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用一次N點(diǎn)DFT運(yùn)算來計(jì)算它們各自的DFT: 精選課件精選課件五、Parseval Theory若令 y(n) = x(n)表明序列時(shí)域、頻域能量相等精選課件六、圓周卷積和

12、圓周卷積A：設(shè)則實(shí)際上，圓周卷積為周期卷積的主值序列。即圓周卷積B：設(shè)圓周卷積記為NN精選課件圓周卷積過程：1）補(bǔ)零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圓周移位5）相乘相加NN精選課件證明： 相當(dāng)于將 作周期卷積和后，再取主值序列。將 周期延拓：則有：精選課件在主值區(qū)間 ，所以：同樣可證：NN精選課件2.時(shí)域圓周卷積過程N(yùn)-10nN-10n精選課件0m0m0m0m精選課件精選課件0233211N-1nN最后結(jié)果：精選課件七.有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積1.線性卷積 的長(zhǎng)度為 的長(zhǎng)度為 它們線性卷積為精選課件 的非零區(qū)間為 的非零區(qū)間為 兩不等式相加得 也就是 不為零的區(qū)間. 例如:1012n

13、1012n3精選課件m-1-2-3mm1012m精選課件mn2103145233211012m精選課件2.用圓周卷積計(jì)算線性卷積 圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列. 的長(zhǎng)度為 , 的長(zhǎng)度為 先構(gòu)造長(zhǎng)度均為L(zhǎng)長(zhǎng)的序列, 即將 補(bǔ)零點(diǎn);然后再對(duì)它們進(jìn)行周期延拓 ，即 所以得到周期卷積：精選課件精選課件 可見,周期卷積為線性卷積的周期延拓,其周期為L(zhǎng).由于 有 個(gè)非零值,所以周期L必須滿足: 又由于圓周卷積是周期卷積的主值序列,所以圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列,即結(jié)論：若則L點(diǎn)圓周卷積能代表線性卷積。精選課件八、線性相關(guān)與圓周相關(guān)線性相關(guān)：自相關(guān)函數(shù)：精選課件相關(guān)函數(shù)不滿足交

14、換率：精選課件相關(guān)函數(shù)的z變換：相關(guān)函數(shù)的頻譜：精選課件圓周相關(guān)定理當(dāng) 時(shí)，圓周相關(guān)可完全代表線性相關(guān)類似于線性卷積與圓周卷積之間的關(guān)系精選課件 3-7 抽樣Z變換-頻域抽樣理論一.如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列1.兩種抽樣 時(shí)域抽樣: 對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào),根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)行抽樣,所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。 頻域抽樣: 對(duì)一有限序列(時(shí)間有限序列)進(jìn)行DFT所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT就是頻域抽樣。精選課件2.由頻域抽樣恢復(fù)序列 一個(gè)絕對(duì)可和的非周期序列x(n)的Z變換為 由于x(n)絕對(duì)可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即

15、其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對(duì)X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到精選課件對(duì) 進(jìn)行反變換,并令其為 ,則精選課件 可見,由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。 也就是說,頻域抽樣造成時(shí)域周期延拓。1 , m=n+rN , 0 , 其他m精選課件3.頻域抽樣不失真的條件 當(dāng)x(n)不是有限長(zhǎng)時(shí)，無法周期延拓； 當(dāng)x(n)為長(zhǎng)度M,只有NM時(shí),才能不失真的恢復(fù)信號(hào),即精選課件1.由X(k)恢復(fù)X(Z) 序列x(n),（0nN-1）的Z變換為由于 ，所以（下頁?。┒?由X(k)表達(dá) X(Z)與 的問題內(nèi)插公式精選課件精選課件上式就是由X(k)恢復(fù)X(Z)的內(nèi)插公式,其中稱作內(nèi)插函數(shù)

16、。精選課件2.內(nèi)插函數(shù)的特性 將內(nèi)插函數(shù)寫成如下式:。精選課件 令分子為零,得 ； 所以有N個(gè)零點(diǎn)。令分母為零,得 為 一階極點(diǎn), Z=0為(N-1)階極點(diǎn)。但是極點(diǎn) 與一零點(diǎn)相消。這樣只有(N-1)個(gè)零點(diǎn),抽樣點(diǎn) 稱作本抽樣點(diǎn)。因此說,內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點(diǎn)處不 為零,其他(N-1)個(gè)抽樣點(diǎn)均為零。精選課件3.頻率響應(yīng) 單位圓上的Z變換即為頻響, 代入4.內(nèi)插函數(shù)的頻率特性精選課件 可見, 既是 的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為 當(dāng)k=0時(shí),則有精選課件 時(shí), 時(shí), ，所以 求極限方法解之精選課件 當(dāng)N=5時(shí), 的幅度特性 和相 位特性 ,如下圖：其中，精選課件N=5此抽樣點(diǎn)處相位突變精選課件精

17、選課件 由于i與k均為整數(shù),所以i k 時(shí) 這就是說,內(nèi)插函數(shù)在本抽樣點(diǎn) 上 , 而在其他抽樣點(diǎn)上 精選課件5. 與X(k)的關(guān)系 由于 的特性可知,在每個(gè)抽 樣點(diǎn)上其值為1, 故 就精確等于X(k)。即精選課件 而在抽樣點(diǎn)之間, 等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值 疊加而得。精選課件 3-8 利用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的逼近一.用DFT計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅氏變換可能造成的誤差 1.混疊現(xiàn)象 為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足 其中, 為抽樣頻率; 為信號(hào)的最高頻率分量； 或者 其中,T為抽樣間隔。 精選課件例 有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。 假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已

18、知條件為（1）頻 率分辨率為 ，（2） 信號(hào)的最高頻率 ，試確定 以下參量：（1）最小記錄長(zhǎng)度 ;(2) 抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間 間隔T; (3) 在一個(gè)記錄中的最小點(diǎn)數(shù)N。解：（a） 最小記錄長(zhǎng)度（b）最大的抽樣時(shí)間間隔T(c) 最小記錄點(diǎn)數(shù)N精選課件2.頻譜泄漏 在實(shí)際應(yīng)用中，通常將所觀測(cè)的信號(hào) 限制在一定的時(shí)間間隔內(nèi),也 就是說，在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行截?cái)嗖僮?或稱作：加時(shí)間窗,亦即用時(shí)間窗函數(shù)乘以信號(hào),由卷積定理可知，時(shí)域相乘,頻域?yàn)榫矸e,這就造成拖尾現(xiàn)象,稱之為頻譜泄漏.精選課件0n0nn精選課件3.柵欄效應(yīng) 用DFT計(jì)算頻譜時(shí)，只是知道為頻率 的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個(gè)譜線之間 的情況就不知道,這相當(dāng)通過一個(gè)柵欄觀察 景象一樣，故稱作柵欄效應(yīng)。 補(bǔ)零點(diǎn)加大周期 ，可使 變小來提高分辨力，以減少柵欄效應(yīng)。精選課件二.DFT與連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅氏變換間相對(duì)數(shù)值的確定 1.連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)傅氏變換對(duì)2.連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅氏級(jí)數(shù)變換對(duì)精選課件3.DFT變換時(shí): 精