隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課件

1、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .例如,可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 兩邊對(duì) x 求導(dǎo)( 注意 y = y(x) )(含導(dǎo)數(shù) 的方程)第1頁(yè)，共17頁(yè)。例1. 求由方程在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故確定的隱函數(shù)第2頁(yè)，共17頁(yè)。例2. 求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解: 橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)故切線方程為即第3頁(yè)，共17頁(yè)。例3. 求的導(dǎo)數(shù) . 解: 兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)第4頁(yè)，共17頁(yè)。 1) 對(duì)

2、冪指函數(shù)可用對(duì)數(shù)說明:按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:求導(dǎo)法求導(dǎo) :第5頁(yè)，共17頁(yè)。2) 有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如,兩邊取對(duì)數(shù)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)第6頁(yè)，共17頁(yè)。又如, 對(duì) x 求導(dǎo)兩邊取對(duì)數(shù)第7頁(yè)，共17頁(yè)。二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù)可導(dǎo), 且則時(shí), 有時(shí), 有(此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,第8頁(yè)，共17頁(yè)。若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得記第9頁(yè)，共17頁(yè)。?例4. 設(shè), 且求已知解:練習(xí): 書P112 題8(1)解:注意 :對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)? 第10頁(yè)，共17頁(yè)。例

3、5. 拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻 t 的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè) 為切線傾角,則第11頁(yè)，共17頁(yè)。拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出 (即 t = 0 )時(shí), 傾角為達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻高度落地時(shí)刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向第12頁(yè)，共17頁(yè)。例6. 設(shè)由方程確定函數(shù)求解: 方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo) , 得故第13頁(yè)，共17頁(yè)。 三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì) t 求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率第14頁(yè)，共17頁(yè)。例7. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為 500 m 時(shí), 觀察員視線的仰角增加率是多少? 解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則兩邊對(duì) t 求導(dǎo)已知 h = 500m 時(shí),第15頁(yè)，共17頁(yè)。思考題: 當(dāng)氣球升至500 m 時(shí)停住 , 有一觀測(cè)者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來,當(dāng)距離為500 m 時(shí), 仰角的增加率是多少 ?提示: 對(duì) t 求導(dǎo)已知求第16頁(yè)，共17頁(yè)。試求當(dāng)容器內(nèi)水例8. 有一底半徑為 R cm , 高為 h cm 的圓錐容器 ,今以 自頂部向容器內(nèi)注水 ,位等于錐高的一