高中數(shù)學(xué)組合計(jì)數(shù)問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載簡(jiǎn)單的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)沈虎躍【教學(xué)目標(biāo)】【知識(shí)與技能】1、靈活應(yīng)用分類(lèi)相加原理與分步相乘原理進(jìn)行計(jì)數(shù).2、掌握基本的組合數(shù)恒等變形 .【過(guò)程與方法】通過(guò)解決幾個(gè)簡(jiǎn)單的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握解決簡(jiǎn)單的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題的常用思考方法.【情感、態(tài)度價(jià)值觀】1、滲透解決問(wèn)題從自然的想法出發(fā)，從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手的基本原則.2、使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理.3、通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與分析解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，及鍥而不舍的精 神.【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：靈活應(yīng)用分類(lèi)相加原理與分步相乘原理進(jìn)行計(jì)數(shù).難點(diǎn)：如何將問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)或分步.【突破方式】通過(guò)典型例題的師生互動(dòng)分析、

2、共同解決，加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的理解； 通過(guò)引申變式訓(xùn)練，進(jìn)一步深化其應(yīng)用.【教學(xué)策略】【教學(xué)順序】課題引入，方法展示，互動(dòng)探究，方法構(gòu)建，練習(xí)鞏固，歸納小結(jié).【教學(xué)方法與手段】.采用師生互動(dòng)的方式，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)思考、交流、討論、辨析，加深 學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的理解，體驗(yàn)自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式， 充分發(fā)揮學(xué)生的積極性與主動(dòng)性.利用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué).【教學(xué)過(guò)程】一、課題引入本課我們主要通過(guò)共同解決幾個(gè)簡(jiǎn)單的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題來(lái)進(jìn)一步理解基本計(jì)數(shù)原理、掌握組合計(jì)數(shù)中一些常用方法與技巧。同學(xué)們最喜歡聽(tīng)技巧，最好來(lái)“四兩撥千斤”，要知道如果用杠桿原理來(lái)做的話(huà)，你的運(yùn)動(dòng)位移是抬起高度

3、的2500倍，你以更長(zhǎng)的位移換取更小學(xué)習(xí)必備歡迎下載的力。數(shù)學(xué)上大概也如此，想到用更簡(jiǎn)潔的方法與技巧， 大概要付出更長(zhǎng)的思考時(shí)間， 當(dāng)然 數(shù)學(xué)上更長(zhǎng)的思考時(shí)間可以在平時(shí)進(jìn)行， 還是那句老話(huà)，“一份辛苦，一份收獲”。對(duì)于組合 數(shù)學(xué)我很欣賞 。不妨從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)展示一下。學(xué)習(xí)必備歡迎下載二、方法展示【弓I例】n元集S=1,2,3，,n的子集個(gè)數(shù)為 。方法1:按照子集中含有元素的個(gè)數(shù)分類(lèi)計(jì)數(shù)：n含有k個(gè)元素的子集有Ck （k=0,1,2,3,n）個(gè)，則共有子集Z C； = 2n。k 0其中揭示了組合計(jì)數(shù)中一個(gè)基本原理：分類(lèi)相加原理，即完成一件事情可分成n類(lèi)，n第i類(lèi)有Mi種方式，則完成這一件事情

4、共有N =Z Mi種方式。i 1方法2:按照每一個(gè)元素的歸屬分步計(jì)數(shù)：設(shè)ACS,我們考慮，1三A或1乏A有2種方式，2WA或2正A有2種方式，一般地，k三A 或kA有2種方式，當(dāng)1, 2, 3,，n這n個(gè)元素的歸屬確定，則子集 A中的元素也就確 定下來(lái)了，這樣共有 2m2m.m 2 = 2個(gè)不同的子集。其中揭示了組合計(jì)數(shù)中一個(gè)基本原理：分步相乘原理，即完成一件事情可分成n步，n第i步有M i種方式，則完成這一件事情共有N 二口 M i種方式。i 1以上兩種方式及其揭示的原理是組合計(jì)數(shù)中的兩個(gè)基本原理，在今后的計(jì)數(shù)中經(jīng)常用 到。當(dāng)然對(duì)于一個(gè)關(guān)于 n的問(wèn)題我們也可以從簡(jiǎn)單做起、從小做起的角度考慮當(dāng)

5、n=1時(shí)，子集個(gè)數(shù)為2個(gè)即0, 1當(dāng)n=2時(shí)，子集個(gè)數(shù)為 4個(gè)即0, 1 , 2 , 1,2當(dāng) n=3 時(shí),子集個(gè)數(shù)為 8個(gè)即 0, 1 , 2 , 1,2 , 3 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3也就是說(shuō)，我們只需將前一種方式排出，則下一種即可作出。方法3:遞推法計(jì)數(shù)：設(shè)n元集S=1,2,3,n的子集個(gè)數(shù)為an ,則a1 = 2 ,則n+1元集1,2,3,n+1的 子集個(gè)數(shù)為an書(shū)，同時(shí)這些子集可以分成兩類(lèi)：第一類(lèi)，不含n+1,有an個(gè)；第二類(lèi)，含n+1,只需在每不含n+1的子集中添加n+1即可，這樣也有有an個(gè)。故an書(shū)=2an a1 = 2即 an = 2n n N三、互動(dòng)探究【例

6、1】已知AU B=1,2,3, , n,則有序集合對(duì)（A, B）的個(gè)數(shù)為 方法1:（按A中的元素個(gè)數(shù)分類(lèi)）：設(shè)|A|=k,則此時(shí)B的構(gòu)成如下： A中的每個(gè)元素可取也可不取，其余元素全取，故有序集合對(duì)（A, B）n的個(gè)數(shù)為 、Cnk 2k =（1 2）n = 3n k =0方法2:（分步而言）：（如圖）將 AUB分成AB、APB、B A互不相交的三個(gè)部分即分為三類(lèi)，則 i可 以放在這三類(lèi)中的任意一類(lèi)（i=1,2,3,一, n）,故共有3n個(gè)有序集合對(duì)。對(duì)于元素i有iA,國(guó)A兩種選擇，又iWB, i更B兩種選擇，再除去i不在A,也不在B中的情形，即有（22 1）種方式（i= 1,2,3, , n）

7、,故共有（22 1）n = 3n 個(gè)有序集合對(duì)。【引申1】 已知 AU BU C=1,2,3, n,則三元有序集合組（A, B,C）的個(gè)數(shù)為。方法1:（按AUB中的元素個(gè)數(shù)分類(lèi)）：設(shè)|AUB|=k,則C的選擇 方式有2k種，滿(mǎn)足|AUB|=k的集合對(duì)（A, B）有3k中，這樣故三元有序集學(xué)習(xí)必備歡迎下載n合組（A, B,C 的個(gè)數(shù)為 C Ck 3k 2k =（1+6）n =7n k 0方法2:（分步而言）：（如圖）恰好分成互不相交的7部分，故共有7n個(gè)有序集合對(duì)。 對(duì)于兀素i有iwA, iA兩種選擇，iwB, iWB兩種選擇，又iwC, iWC兩種選擇, 再除去i不在A,不在B中，也不在C中的

8、情形，即有（231）種方式（i = 1,2,3, ,n）,故 共有（23 -1）n =7n個(gè)有序集合對(duì)?！疽?2】已知 AU BU CU D=1,2,3, , n,則四元有序集合組（A, B,C,D）的個(gè)數(shù)為。n方法 1：（分類(lèi)而言）：z Cnk -7k 2k =（1+14）n =15nk =0方法2:（分步而言）：（如圖）畫(huà)四個(gè)圓能行嗎？不行?。槭裁纯隙ú恍校浚┊?dāng)然畫(huà)圖還可以，比如同【引申1】、【引申2】可知，故共有（24-1）n=15n個(gè)有序集合對(duì)?！疽?】已知A1UA2UU Ak=l,2,3, , n,則n元有序集合組（Ai, A2,，A.的個(gè) 數(shù)為。對(duì)于k較大時(shí)畫(huà)圖比較麻煩， 采

9、用方法2比較恰當(dāng)，這樣可得共有（2k1）n個(gè)有序集合 對(duì)。數(shù)學(xué)歸納法四、方法構(gòu)建1、將問(wèn)題恰當(dāng)?shù)胤诸?lèi)或分步2、從簡(jiǎn)單入手（包括簡(jiǎn)單的想法、問(wèn)題的特殊化等）五、練習(xí)鞏固【練習(xí)】用1, 2, 3, 4, 5, 6組成一個(gè)n位整數(shù)，其中數(shù)字 1出現(xiàn)偶數(shù)次有多少個(gè)?解:設(shè)1在n位整數(shù)中出現(xiàn)2i次（i =0,1,2,.n ）,2 nc2nn 5n.;I:s12 一(5 1)n (5-1)n6n 4n2 一 21出現(xiàn)偶數(shù)次附（遞推法）：設(shè)A=用1, 2, 3, 4, 5, 6組成一個(gè)n位整數(shù)，其中數(shù)字 的個(gè)數(shù)設(shè) |A| = A，則 An =5An+（6n工AnQ,A1 =5,4 4311母力 221-32

10、1A =(4n 6n) nN.2學(xué)習(xí)必備歡迎下載【引申1】用1, 2, 3, 4, 5, 少個(gè)？6組成一個(gè)n位整數(shù)，其中數(shù)字 1, 2均出現(xiàn)偶數(shù)次有多解：設(shè)1,2在n位整數(shù)中共出現(xiàn)2均出現(xiàn)偶數(shù)次有2I次(I =12Jn )淇中1出現(xiàn)2j次(j =1,2,I),則1,I 4 r.21一=42n:4n -2 二-C：1C” : 4n .: 4n 二(：1 221 j 大 i2j 222(4 2)n (4 -2)n-4n附(遞推法)：設(shè)an：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)偶數(shù)次，2出現(xiàn)偶數(shù)次的個(gè)數(shù)；bn：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)奇數(shù)次，2出現(xiàn)偶數(shù)次的個(gè)數(shù)；G：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)偶數(shù)次，2出現(xiàn)奇數(shù)次的個(gè)數(shù)；

11、&：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)奇數(shù)次，2出現(xiàn)奇數(shù)次的個(gè)數(shù)； TOC o 1-5 h z 則an =bn,+Cn+4an,bn =5 Jan J4。g =dn+an-+4G-dn =bn+G+4dn-由-得an -dn =4(an 1 一dn。=4 (a1 d1 ) =4 (4 0) = 4由-得bn -Cn =4(bn a - Cn _l) =4n (bl -C1) =4n1(1 -1) = 0又令A(yù) =an +dn即1,2均出現(xiàn)次數(shù)同奇偶的個(gè)數(shù)Bn =bn +G即1,2均出現(xiàn)次數(shù)異奇偶的個(gè)數(shù)；所以A =2Bn工+4A /可由+得)Bn =2A+4Bn /可由+得)由+得A - Bn =6n由-得

12、 A B =A 工Bn=A B =42=26n 2n所以，A =2n n TOC o 1-5 h z 62 n19 46n 2 4n2n*所以，an J(an dn) (an -dn)= n N224【引申2】用1, 2, 3, 4, 5, 6組成一個(gè)n位整數(shù)，其中數(shù)字 1, 2至少一個(gè)出現(xiàn)偶數(shù) 次有多少個(gè)？解:設(shè)A=n位整數(shù)中1出現(xiàn)偶數(shù)次的個(gè)數(shù); B=n位整數(shù)中2出現(xiàn)偶數(shù)次的個(gè)數(shù)則Aq=n位整數(shù)中1, 2均出現(xiàn)偶數(shù)次的個(gè)數(shù),由上面的討論可知，|A|=L(4n 6n) n N*, Bn =L(4n 6n)n N* , | A B|=-224nn nnn n故 |aUb|=|A| |B|-1 A

13、lB尸 4n 6n： =：4_n N44學(xué)習(xí)必備歡迎下載【例3】設(shè)自然數(shù)k滿(mǎn)足1 k k,使am至少小于a1, a2/H ,ak中k 一1個(gè)數(shù)，已知滿(mǎn)足am =1的數(shù)列的個(gè)數(shù)為1吧.4求k。解答：將a1,a2,|ak重新排列成b Mb?bk ,由m的最小性，設(shè)b2=t,則am t, a At(i =k+1, k+2, |m1) 當(dāng) t 固定時(shí).由b t,故有C1021種取法，而將k 2b1,b2, bk排列有k!種，于是確定a1,a24M,ak有(t-2)，丁仙!種，而前面分析ai At (i =k+1,k +2|,m1),而在大于t的100t個(gè)數(shù)中除去dhJILbk還有 100-t-( k-

14、2) V02 -t- k個(gè)數(shù)。故有A1m出種取法，而am =1是固定的淇余數(shù) an 4111a100排列有(100 -m)!種。102 次綜上滿(mǎn)足am =1的排列個(gè)數(shù)T = x (t-2)C1o021102上= (t -2)t =3102上(100-t)!(k -2)!(102 -k -t)!103 _tt &103 _tk! vmk -1103 .tk! ”Am言一(100-m)!m* 1(102 -k -t)! , (100 - m)!(103-t-m)!二工(t -2)k(k -1)(100-t)! 、t 3102上m =ki(103-t -m)!(t -3)!103 _t=、(t -2)!k(k -1)(100-t)! 、, C10t0；t =3102 km i!r1八(t -2)!k(k-1)(100t =3102 ”(100 -k)!= k(k -1)(100-t)!t3(102 -k -t)!102 _k= k(k-1)(100-k)! 、t =3102 k= k!(100 -k)!、 濡上二 k!(100 k)!C =k!(100-k)! t 3-k