高中數(shù)學(xué)空間向量及其運算試題新人教A版選修1

1、新課標(biāo)高二數(shù)學(xué)同步測試一(21第三章3.1 )說明：本試卷分第一卷和第二卷兩部分，第74分，第二卷76分，共150分；答題時間120分鐘.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)(每小題5分，共50分).在平行六面體 ABCDAiBiCiDi中，M為AC與BD的交點，若AB = a,AD1 =b , A,A = c.則下列向量中與 B1M相等的向2.3.4.5.6.量是(1 - A. a2)1 j b c2-b c1 - B. - a214 c圖在下列條件中，使 M與A、B、C 一定共面的是A. OM =2OA-OB - OCC. MA

2、 MB MC =0B. OMD. OM1一 . 1一； 1 - 二一OA -OB -OCOA OB OC = 0已知平行六面體ABCD -ABCD中，AB=4 , AD=3 ,AA =5 , /BAD =90BAAA. 85與向量aC.已知0= /DAA =600,則 AC 等于C.D. 50(1, -3,2)平行的一個向量的坐標(biāo)是1,1,311)B.2)D.(3, -272)-2, 6), B (1, 2, 6) O為坐標(biāo)原點，則向量OA,與OB的夾角是(已知空間四邊形N為BC中點,.1A a2八1 一C. -a22. 一b31 一1b2C.二D.2ABCD 中，OA = a,OB = b,

3、OC = c，點 M 在 OA 上，且 OM=2MA則MN =1-c21 一-c221 .1 B, -a + b + c HYPERLINK l bookmark74 o Current Document 3222- 2- 1 -D. _a _ b- c3327.設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點， 且滿足AB*AC=0, ACAD = 0, AB*AD = 0,則相CD是A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形8.空間四邊形OABC中，OB=OC , NAOB= NAOC=60 0,則D.不確定cos.OA BC =C.D. 09.已知A (1,1,1)、B (2, 2, 2)、C (3,

4、 2,4）,則.ABC的面積為b. 273C.D.、6210.已知 a = (11,1t,t),b=(2,t,t),則 |ab|的最小值為、.5A.5.55B .53、5 C.5D.115二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）.若a =（2,3,1）, b =（-2,1,3）,則a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為.已知空間四邊形 OABC ,其對角線為 OB、AC, M、N分別是對邊OA、BC的中點,點G在線段MN上，且MG =2GN ,現(xiàn)用基組 &A,OB,OC表示向量OG,有OG=xOA+yOB+zOC,則 x、y、z 的值分別為.已知點 A(1 , -2, 11)、B(

5、4 , 2, 3), C(6, 1, 4),則 MBC 的形狀是.已知向量 a =(2-3,0), b = (k,0,3),若 a,b成 1200 的角，則k=三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共76分）.15.（12分）如圖，已知正方體 ABCD ABCD的棱長 為a, M為BD的中點，點N在AC上，且 |AN |=3| NC|,試求 MN 的長.z16.0),（12分）如圖在空間直角坐標(biāo)系中 BC=2,原點O是BC的中點，點A的坐標(biāo)是（ 點 D 在平面 yOz 上，且/ BDC=90 , / DCB=30 .3 12 ,2圖（1）求向量od的迫；（2）設(shè)向量AD和BC的夾

6、角為。，求cos。的值(12分)若四面體對應(yīng)棱的中點間的距離都相等，證明這個四面體的對棱兩兩垂直.(12分)四棱錐PABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形，AB =2 , 1, 4,AD =4 , 2, 0 , AP=-1, 2, -1.(1)求證：PAL底面ABCD;(2)求四棱錐 P-ABCD的體積；(3)對于向量 a=x1 ,y1,Z1 ,b=&,y2,Z2 ,c=x3,y3,Z3,定義一種運算：(a X b) , C=X1y2Z3+X2y3Z1 + X3y1Z2X1y3Z2X2y1Z3X3y2Z1 ,試計算(AB x AD ) AP 的絕對值的值；說明其與四棱錐P-ABCD體積的關(guān)系

7、，并由此猜想向量這一運算( AB XAD ) AP的絕對值的幾何意義.(14 分)如圖所不，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，CA=CB=1 , / BCA=90 ,棱 AAi=2, M、N分別是A1B1、A的中點.(1)求BN的長；(2)求cos麗CB 的值;(3)求證：AiBXCiM.( 14分)如圖，已知平行六面體 ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形且/ CCB = /CiCD = Z BCD =60 .(1)證明：CiCXBD;a BD 3的平面3 (2)假te CD=2, CCi=-,記面 CiBD 為 a ,面 CBD 為 3 ,求二面角 2角的余弦值;CD 一(3)當(dāng)

8、的值為多少時，能使 AiC,平面CiBD?請給出證明.CCi參考答案 TOC o 1-5 h z ii一、i. A；解析：BiM =B1B + BM = AA+(BA+BC) =c + ( a + b)=- HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 221a + b + c.評述：用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化， HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 22本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力.A ；解析：空間的四點P、A、B、C共面只需滿足OP=xOA+y

9、OB+zOC,且x+y + z = 1 既可.只有選項 A.b；解析：只需將AC = AB+AD+ AA運用向量的內(nèi)即運算即可，|AC=：ac2 .C;解析：向量的共線和平行使一樣的，可利用空間向量共線定理寫成數(shù)乘的形式.即b = 0,ab= a = b .r f.a b C；解析：cos9 =- -,計算結(jié)果為i.|a| |b|i - - 2 B；解析：顯然 MN =ON -OM = (OB+OC)-OA.23B;解析：過點 A的棱兩兩垂直，通過設(shè)棱長應(yīng)用余弦定理可得三角形為銳角三角形.D；解析：建立一組基向量 OAOB,OC,再來處理OA-BC的值.一 一一二一 AB ACD；解析：應(yīng)用向

10、重的運算，顯然cos =sin ,| AB|AC|：:AB, AC從而得 S = 1| AB | AC |sin210.C；6j5 ；解析：cos a,b,可得結(jié)果.12.OA + OB + OC ； 633|a|b|解析:-121 2OG =OM MG = OA MN =OA (ON -OM)12 11 ,OA - (OB OC) OA HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 23 221 1 1 -二10A 1OB 1OC.直角三角形；解析：利用兩點間距離公式得:22| AB |2=| BC |22+1 AC |2.a b. J39；解析：cos

11、 = |a| |b|2k,13,9 - k2.解：以D為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.因為正方體棱長為a,所以 B (a, a, 0),A (a, 0, a), C (0, a, a), D (0, 0, a).a由于M為BD的中點，取 AC中點O,所以M （2O(-2a一,a).因為2| AN |=3|NC|,所以N為AC的四等分,從而 N a 3為OC的中點，故N (-, -a, a).根據(jù)空間兩點距離公式，可得|MN尸德-茨黃-守嗎2.解：（1）過D作DELBC,垂足為E,RtABDC 中，由/ BDC=90，/DCB=30 ,- sin30BC=2,得 BD=1 , CD=43, DE

12、=CD一 一 一1OE=OB-BE=OB-BD - cos60 =1 -2，D點坐標(biāo)為（0, 1三3）,即向量ODTX -的坐標(biāo)為0, 1 3.2 22 23(2)依題意：OA =21,1 ,0, OB=0,-1,0, OC =0,1,0, 2所以 AD =OD -OA=-.3、,-1, BC -OC -OB =0,2,0.2設(shè)向量AD和BC的夾角為AD BCcos 0 =：|AD| |BC|、33-0 (-1) 20.:22=一110.(- 3)2 (-1)2 ( 3)2 , 0222-025 HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 221 17.

13、證：如圖設(shè) SA=r,SB = r2,SC = r3 ,則 SE,SF,SG,SH,SM,SN 分別為一r1 ,21 - r321 , 一、1 (r1 r3)r2 , HYPERLINK l bookmark41 o Current Document 22由條件EH=GH=MN得:r3 2 =(二(r展開得r12 = r2 Q =r1 r3r1 (r3 一r2) =， . r1 W。，r3 一r2 ， - r1 ( r3 -r2 )即 SA BC.同理可證SBXAC, SCXAB .)218.(1)證明：. AP -AB = -2-2+4=0 ,APXAB.又 AP AD =-4+4+0=0,

14、 /.API AD.AB、AD是底面 ABCD上的兩條相交直線，AP,底面 ABCD.解：設(shè)AB與而的夾角為0 ,則.主要考查考生的1, 0)、C (0, 0,BA = 1, 1,2, CBi =0 ,1,2, , BACB1 =3, TOC o 1-5 h z AB AD8-23cos 0 = _ ：-=二|AB| | AD| 4 1 16 .16 410512 .9V= - | AB | - | AD | - sin 9 | AP |= J105 J1J1 十 4 +1 =1633.105(3)解：| (ABx AD) AP|=|4 32 48|=48 它是四棱錐 P-ABCD 體積的 3

15、 倍.猜測：| ( AB x AD) AP|在幾何上可表示以 AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積(或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積).評述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、 空間向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等運算能力，綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力及空間想象能力.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)依題意得 B (0, 1, 0)、N (1, 0, 1)|BN |= (1 -0)2 (0 -1)2 (1 -0)2 = . 3.(2)依題意得 A1(1, 0, 2)、B (0,B1 (0, 1,2)| BA |=

16、 6 , | CB1 |= 5cos=BA1cBi啄|皿10(3)證明：依題意,、11得 C1 (0, 0, 2)、M (,2 22),AB= 1 ,1 11,2, C1M =-,-，2 2110. A B , C1M =-3*5 +0=0，.二 AjB -L C1M ,l A1BXC1M.評述：本題主要考查空間向量的概念及運算的基本知識.考查空間兩向量垂直的充要條件. (1)證明：設(shè)CB = a, CD=b, CC1 =c,則|a |=|b|, BD =CDCB = b a, BD , CC1 = (b a) , c = b c a , c =| b | , | c |cos60 | a |

17、 , | c |cos60 =0,C1CXBD.(2)解：連AC、BD,設(shè)ACABD=O,連OC1，則/ CQC為二面角a BD 3的平面角. TOC o 1-5 h z 1 11-CO = (BC+CD) =(a + b),C1O=CO-CC1=-(a + b)-c HYPERLINK l bookmark112 o Current Document 22211 r /- CO , C1O = _ (a + b) , _ (a + b) - ca2+2a b + b2)=(4+2 - 2 - 2cos60 +4) 2 cos60一一, 2 一 cos60=.422222則“尸亞而屋吧上2|CO