高等數(shù)學(xué)方明亮55定積分的元素法及其應(yīng)用課件

1、第五節(jié) 定積分的元素法及其應(yīng)用 第五章 （Element Method of Definite Integral and Its Applications）二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 一、定積分的元素法三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 四、思考與練習(xí)7/29/20221第1頁(yè)，共26頁(yè)。一、定積分的元素法1. 什么問題可以用定積分解決 ?表示為1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即可通過“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”定積分定義一個(gè)整體量 ;7/29/20222第2頁(yè)，共26頁(yè)。第一步 利用“化整為零 , 以常代變”

2、求出局部量的微分表達(dá)式第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法成為元素法 (或微元分析法)元素的幾何形狀常取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等近似值精確值2. 如何應(yīng)用定積分解決問題 ?7/29/20223第3頁(yè)，共26頁(yè)。二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 1. 平面圖形的面積7/29/20224第4頁(yè)，共26頁(yè)。7/29/20225第5頁(yè)，共26頁(yè)。7/29/20226第6頁(yè)，共26頁(yè)。解: 利用對(duì)稱性 , 所圍圖形的面積 . 有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式例3 求橢圓7/29/20227第7頁(yè)，共26頁(yè)。求

3、由曲線及圍成的曲邊扇形的面積 .在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為7/29/20228第8頁(yè)，共26頁(yè)。7/29/20229第9頁(yè)，共26頁(yè)。設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), 則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),2. 平行截面面積為已知的立體的體積7/29/202210第10頁(yè)，共26頁(yè)。軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有7/29/202211第11頁(yè)，共26頁(yè)。所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.（注意：課本例6是“繞 y 軸旋轉(zhuǎn)”）解:

4、 方法1 利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)例5 計(jì)算由橢圓7/29/202212第12頁(yè)，共26頁(yè)。則特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積方法2 利用橢圓參數(shù)方程7/29/202213第13頁(yè)，共26頁(yè)。并與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .例6 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,7/29/202214第14頁(yè)，共26頁(yè)。此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?提示:思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?這就是課本中給出的解法！7/29/202215第15頁(yè)，共

5、26頁(yè)。垂直 x 軸的截面是橢圓所圍立體(橢球體)解:它的面積為因此橢球體體積為特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積 .的體積.（補(bǔ)充題）例7 計(jì)算由曲面7/29/202216第16頁(yè)，共26頁(yè)。定義 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng) 0 時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng) ,即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)則稱3. 平面曲線的弧長(zhǎng)7/29/202217第17頁(yè)，共26頁(yè)?；￠L(zhǎng)元素(弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:7/29/202218第18頁(yè)，共26頁(yè)?；￠L(zhǎng)元素(弧微分

6、) :因此所求弧長(zhǎng)(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:7/29/202219第19頁(yè)，共26頁(yè)。因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分) :(自己驗(yàn)證)(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:7/29/202220第20頁(yè)，共26頁(yè)。解:的弧長(zhǎng).例8（補(bǔ)充題） 求連續(xù)曲線段（自行練習(xí)課本 例8）7/29/202221第21頁(yè)，共26頁(yè)。一拱的弧長(zhǎng) .解:例9 計(jì)算擺線7/29/202222第22頁(yè)，共26頁(yè)。02一段的弧長(zhǎng) . 解:(課本公式26)例10（補(bǔ)充題）求阿基米德螺線（自行練習(xí)課本 例10）相應(yīng)于7/29/202223第23頁(yè)，共26頁(yè)。內(nèi)容小結(jié)1. 掌握定積分的元素法，并會(huì)應(yīng)用 元素法來解決一些幾何和物理方面的問題。2. 定積分幾何學(xué)上的應(yīng)用（1）平面圖形面積（直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)和參數(shù)方程）（2）平行截面面積為已知的立體的體積（含旋轉(zhuǎn)體） （3）平面曲線的弧長(zhǎng)（三種形式） 7/29/202224第24頁(yè)，共26頁(yè)。課外練習(xí)習(xí)題55 1 (2)(4) ；27 思考練習(xí)1. 用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng) s .提示: 交點(diǎn)為弧線段部分直線段部分以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 7