大學(xué)物理課后答案第十一章

1、第十一章機械振動一、基本要求1掌握簡諧振動的基本特征，學(xué)會由牛頓定律建立一維簡諧振動的微分方程，并判斷其是否諧振動。掌握描述簡諧運動的運動方程x二Acos（t+申），理解振動位移，振0幅，初位相，位相，圓頻率，頻率，周期的物理意義。能根據(jù)給出的初始條件求振幅和初位相。掌握旋轉(zhuǎn)矢量法。理解同方向、同頻率兩個簡諧振動的合成規(guī)律，以及合振動振幅極大和極小的條件。二、基本內(nèi)容振動物體在某一平衡位置附近的往復(fù)運動叫做機械振動。如果物體振動的位置滿足x（t）=x（t+T），則該物體的運動稱為周期性運動。否則稱為非周期運動。但是一切復(fù)雜的非周期性的運動，都可以分解成許多不同頻率的簡諧振動（周期性運動）的疊加

2、。振動不僅限于機械運動中的振動過程，分子熱運動，電磁運動，晶體中原子的運動等雖屬不同運動形式，各自遵循不同的運動規(guī)律，但是就其中的振動過程講，都具有共同的物理特征。一個物理量，例如電量、電流、電壓等圍繞平衡值隨時間作周期性（或準(zhǔn)周期性）的變化，也是一種振動。簡諧振動簡諧振動是一種周期性的振動過程。它可以是機械振動中的位移、速度、加速度，也可以是電流、電量、電壓等其它物理量。簡諧振動是最簡單，最基本的周期性運動，它是組成復(fù)雜運動的基本要素，所以簡諧運動的研究是本章一個重點。（1）簡諧振動表達式x二Acosgt+申）反映了作簡諧振動的物體位移隨時間0的變化遵循余弦規(guī)律，這也是簡諧振動的定義，即判斷

3、一個物體是否作簡諧振動的運動學(xué)根據(jù)。但是簡諧振動表達式更多地用來揭示描述一個簡諧運動必須涉及到的物理量A、申（或稱描述簡諧運動的三個參量），顯然三個參量確定后，任一時刻作簡諧振動的物體的位移、速度、加速度都可以由t對應(yīng)地得到。兀v=-wAsint+申）=wAcost+申+）002a二一w2Acow（+Q）=w2Acow（+Q土兀）00（2）簡諧運動的動力學(xué)特征為：物體受到的力的大小總是與物體對其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即F=-kx，它是判定一個系統(tǒng)的運動過程是否作簡諧運動的動力學(xué)根據(jù)，只要受力分析滿足動力學(xué)特征的，毫無疑問地系統(tǒng)的運動是簡諧運動。這里應(yīng)該注意，F(xiàn)系指合力，它可以是彈性

4、力或準(zhǔn)彈性力。（3）和簡諧運動的動力學(xué)特征相一致的是簡諧運動的運動學(xué)特征：作簡諧運動物體的加速度大小總是與其位移大小成正比、而方向相反，即竺=-W2x，dt2它也是物體是否作簡諧運動的判據(jù)之一。只要加速度與位移大小成正比、而方向恒相反，則該物理量的變化過程就是一個簡諧運動的過程。在非力學(xué)量，例如電量、電流和電壓等電學(xué)量，就不易用簡諧振動的動力學(xué)特征去判定，而LC電路中的電量q就滿足旦=-丄q，故電量q的變化過程就是一個簡諧振蕩dt2LC的過程，顯然用運動學(xué)的特征來判定簡諧運動更具有廣泛的意義。簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位（1）振幅A是指最大位移的絕對值。A是由初始條件來決定的，即IV2A=

5、Jx2+4。0W22兀（2）周期T是指完成一次完整的振動所用時間。T=絲，式中w是簡諧振wiT動的圓頻率，它是由諧振動系統(tǒng)的構(gòu)造來決定的，即w=,w也稱為固有圓m頻率。對應(yīng)的T稱為固有周期。T=-，式中v稱為頻率（即固有頻率），它與v圓頻率的關(guān)系w=2兀v，是由系統(tǒng)本身決定的。（3）相位（t+Q）和初相位甲是決定簡諧振動的物體t時刻和t=0時刻運00動狀態(tài)的物理量。即在A、確定后，任一時刻的x、v、a都是由（t+Q）0來確定的。一個周期內(nèi)，每一時刻的相位（t+申）不同，則對應(yīng)的運動狀態(tài)也0不相同。對不同的兩個或更多的幾個簡諧振動，相位還用來區(qū)分它們之間“步調(diào)”的一致與否。初相位甲決定于初始條件

6、：即由%一ACSo共同決定?；蛴蒾Iv=Asm甲00甲二arctan（4）計算，但由此式算得的甲在t）,2?；騃兀,兀范圍內(nèi)有兩個可0 x00能的取值，必須根據(jù)t=0時刻的速度方向進行合理的取舍。如能配合使用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法，則會使9的確定更加簡捷、方便。04.旋轉(zhuǎn)矢量法簡諧運動的表達式x=Acost+9）中有三個特征量A、0、9，旋轉(zhuǎn)矢量法把描述簡諧運動的三個物理量更直觀、更形象地表示在圖0示中。作勻速轉(zhuǎn)動的矢量，其長度等于諧振動的振幅A,其角速度等于諧振動的角頻率，且t=0時，它與X軸正向的夾角為諧振動的初位相9，t二t時0刻它與X軸正向的夾角為諧振動的位相（t+9）。旋轉(zhuǎn)矢量A的末端在X軸

7、0上的投影點的運動代表質(zhì)點的諧振動。5.簡諧振動的能量動能E=mo2A2sin(ot+9)k20勢能E=丄kA2co$(ot+9)p20機械能E=E+E=kA2kp26.同方向同頻率簡諧振動的合成x=AcosCot+9)和x=AcosCot+9)合成后仍為簡諧振動11102220 x=x+x12二Aco6t+90其中A=A2+A2+2AAcos(99)(合振幅)12122010合振動的初相）Asin甲+Asin甲tgQ=1102200Acos甲+AcosQ110220三、習(xí)題選解11-1質(zhì)量為10g的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按x=0.5cos（8兀t+*）m的規(guī)律振動（式中x以m計，t以s計）

8、，試求:1）振動的角頻率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值；（2）t=1s、2s、10s各時刻的相位;（3）分別畫出位移、速度、加速度與時間t的關(guān)系曲線。解:（1）x=0.5cos(8兀t+)m與振動的標(biāo)準(zhǔn)形式x=Acos(t+q)相比可30知:圓頻率=8s-1振幅A=0.5m初相位Q=03周期T=2-0.25s最大速度v=A=8x0.5m-s-1=12.56m-s-1max最大加速度a=w2A=(8)2x0.5m-s-1=3.16x102mmax-s-2相位為(8t+3)，將t=1s、2s、10s代入相位分別為8丄、16丄、80丄333由x=0.5cos(8t+)m有v=dx=4sin

9、(8t+)m-s-1dt3a=-322co8t+)m-s-2dt311-2有一個和輕彈簧相連的小球，沿x軸作振幅為A的簡諧振動，其表達式用余弦函數(shù)表示。若t=0時，球的運動狀態(tài)為（1）x=-A；（2）過平衡位0（23AA置向x軸正向運動；(3)x=勺處向x軸負(fù)方向運動；(4)x律處向x軸正方向運動；試用矢量圖示法確定相應(yīng)的初相的值，并寫出振動表達式。解：四種情況對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示：(1)初相位q=兀，振動0方程為x=Acosgt+兀）(2)初相位q=-，振動o2方程為x=Acos(ot-)3)初相位為0=乙振動方程為x=Acos(ot+y)(4)初相位q=-，振動方程為x=Acos(ot

10、-)04411-3質(zhì)點作簡諧振動的曲線x-t如圖所示，求質(zhì)點的振動方程式=-=Acosq20=，3解：t=0時,所以1coq=，02q0再由v=-Aosinq00，0At=1s時，x=Acosq121cosq=12q1再由v=-Aosinq10，12o=q-q=兀103振動方程為x=AcosCot+q（注意q=o+q）01=-3所以0I=13=0.04cosf2-3丿11-4兩質(zhì)點沿同一直線作同頻率、同振幅的簡諧振動,當(dāng)它們每次沿相反方向互相通過時,它們的位移均為其振幅的一半,求這兩個質(zhì)點振動的相位差。解：設(shè)兩個質(zhì)點振動方程為x=Acost+申）=ACOso（+申）2速度為v=i=一Asint

11、+申）1dt1dxv=2=-Asin（t+9）2dt2依題意，兩質(zhì)點在t=t相遇時Ax（t）=x（t）=-122cos（t+申）=cos（t+申）=122t+9=t+9=2n23此時兩質(zhì)點運動方向相反，這分兩種情況。(1)質(zhì)點1向x軸正向運動，質(zhì)點2向x軸負(fù)向運動，這時t+9=2n+TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark107 232位相差A(yù)9=(t+9)-(t+9)=-123(2)質(zhì)點1向x軸負(fù)向運動，質(zhì)點2向x軸正向運動，這時t+9=2n+t+9=2n- HYPERLINK l bookmark133 13232位相差A(yù)9=t+9)-t+92)=-3-兩種情況

12、都說明其中一個質(zhì)點的運動比另處一個質(zhì)點的運動超前或落后2-3。兩質(zhì)點在-A；2處相向相遇時有同樣的結(jié)論。11-5在一平板上放質(zhì)量m=1.0kg的物體，平板在豎直方向上下作簡諧振題11-5圖動，周期為T=0.5s，振幅A=0.02m，試求：在位移最大時，物體對平板的壓力；(2)平板應(yīng)以多大振幅作振動，才能使重物開始跳離木板。解：(1)選擇物體平衡位置為坐標(biāo)原點，向上的方向為x軸正向。由牛頓第二定律有N-mg=ma當(dāng)系統(tǒng)運動到最高位置時，加速度為負(fù)的最大值。即a=a=Aw2max2兀此時N=mgma=m(gAw2)=mg()2A=6.6NmaxT當(dāng)系統(tǒng)運動到最低位置時a二a二Aw2max此匕時N=

13、mg+ma=m(g+Aw2)=1.0 x(9.8+3.2)N=13Nmax物體跳離木板，應(yīng)在最高位置時受木板的力N=mgma-m(gAw2)=0maxA-g-gT2-0.062mTOC o 1-5 h zw24兀211-6如圖所示，一質(zhì)量為M的盤子系于豎直:懸掛的輕彈簧的下端，彈簧的倔強系數(shù)為k。|現(xiàn)有一質(zhì)量m的物體自離盤h高處自由落下掉在盤中，沒有反彈，以物體掉在盤上的I瞬時作為計時起點。求盤子的振動表達式。八(取物體掉在盤子后的平衡位置作為坐標(biāo)原點，位題11-6圖移取向下為正)。解：取物體掉在盤子里的平衡位置為坐標(biāo)原點，y軸向下建立坐標(biāo)系這時彈簧伸長九為2(m+M)g-k九2m+M九-g當(dāng)

14、t-0時，彈簧伸長九為12k所以，t-0時系統(tǒng)的位移為y-(九九)-(M+m)gmg-mg021kkk設(shè)此時系統(tǒng)的速度為v0，由動量守恒定律有m、；2gh-(M+m)v且速度向下與y軸方向相同，v取正值。當(dāng)物體落入盤中，且系統(tǒng)運動至坐標(biāo)y處時，系統(tǒng)運動方程為(M+m)g-T=(M+m)dydt2此時彈簧伸長為y+九，因而T=k（y+九）22(M+m)g-k(y+X)=(M+m)d-2dt2由于kX=(M+m)g有2d2ydt2+厶y=0M+m方程解為y=Acos(t+申)0由初始條件k=0時,mj2ghM+mA=Jy2+驚=mg)2+m22gh(M+m)20o2kk(M+m)mgi+2khk(

15、M+m)gmiVTv、-m+M12ghi2kh申=arcta-n-()=arctg=arctan0yoJkmg)g(M+m)M+mk所以盤子的振動表達式為mgi2kh.Ik2kh、y=1+cos(.-1+arctan)kT(M+m)gM+mg(M+m)11-7如圖所示，一彈簧振子由倔強系數(shù)k的彈簧和質(zhì)量M的物塊組成,將彈簧一端與頂板相連。開始時物塊靜止，一顆質(zhì)量為m速度u的子彈由下而上射入物塊，并留在物塊中。求:01）振子以后的振幅和周期；2）物體從初始位置運動到最高點所需的時間。題11-7圖解：（1）以子彈射入物塊后的平衡位置為原點，y軸向下，建立坐標(biāo)系，這時彈簧伸長M+my=g2k子彈未射

16、入物塊時，彈簧伸長為y=Mg。此時物體在坐標(biāo)系中的位置1k題11-7圖y0OyM+mMgmgy0=-(y2-yi)=-(g-)=-T物塊和子彈共同運動的速度v（M+m）v=-mu000-mv=u0M+m0當(dāng)子彈射入物塊，并且運動到y(tǒng)處時，系統(tǒng)的運動方程為負(fù)號表示方向向上）(M+m)g-T=(M+m)ddt2此時彈簧伸長為y+y，故T=k（y+y）22于是有(M+m)g-k(y+y)=(M+m)2d2ydt2由于ky=(M+m)g2-ky=(M+m)ddt2_Ik=：M+md2y+ky=0dt2M+m系統(tǒng)的振動方程為y=Acosot+申）0由初始條件t=0時，y=yomg-m，v=uk0M+m0

17、-v:y廿(屮2(-罕)2+1k故系統(tǒng)振幅為周期為mg)2+m2uk(M+m)kv=arctan(一)=arctan(0=arctan(-)M+mgmu0M+m)i1k(一mg)：M+mka=、：(m)2+二二k(M+m)k2M+mt=2r2)系統(tǒng)的振動方程為ku、亠)g；mg、m2u2y=()2+0cosk(M+m)kkt+arctan(-IM+m物塊從初始位置運動到最高點時，y=-AcoskIk_t+arctan(-.M+mM+m=-1第一次到達最高點時kkut+arctan(一一)=兀M+mM+mgiM+m.kut=兀一arctan(-)kM+mg11-8一水平放置的彈簧振子，已知物體經(jīng)

18、過平衡位置向右運動時速度。=ISs-1周期T=l0s，求再經(jīng)過1s時間物體的動能是原來的多少倍,設(shè)彈簧的質(zhì)量不計。解：取向右的方向為X軸的正向，設(shè)物體平衡位置為坐標(biāo)原點，物體的振動方程為x=Acost+申)02兀由于T=1.0s,=2兀Tx=AcoS2$t+申)0將物體經(jīng)過平衡位置向右運動時取為t=0時刻v=1.0m-s-1二A=2kA0 x=Acos申=000TOC o 1-5 h z人1n兀A=,co甲=0申=一2兀002因而物體振動方程為X=丄co頸t-殳)2兀2物體的振動速度為v=dx=-sin(2Kt-)dt2211v=-si-)=-sin6)=-m-s-1121JE=mv2=mJ2

19、811E=mv2=mJ202=1當(dāng)t=3s時,此時物體動能為初始時刻物體動能為E=4即13秒后物體動能是原來的14。11-9一質(zhì)量10g的物體作簡諧振動，其振幅為24cm，周期為4.0s，當(dāng)t=0時，位移為+24cm，求：（1）t=0.5s時，物體所在的位置；（2）t=0.5s時，物體所受力的大小與方向；（3）由起始位置運動到x=12cm處所需的最少時間；（4）在x=12cm處，物體的速度、動能以及系統(tǒng)的勢能與總能量。解：令振動方程為x=Acoso（+申）02由題意有A=24cm，T=4.0s，=T2且t=0時，x=A,cos申=1初相位申=0000兀振動方程為x=(24costcm)2所以(

20、1)t=0.5s時，x=24cos(：)=122cm=17.0cm2)F=ma=m仝dt2=-m2Acos(t+申)0r兀兀t=0.5s時，F(xiàn)=-10 x10-3x24x10-2x()2xcosN=-4.19x10-3N24負(fù)號表示力的方向沿x軸負(fù)向。_Irrrrrr(3)當(dāng)x=12cm時，cos(qt)=，位相t取值為2兀y,(n=0,1,2,.)。最少的時間殳t=-,t=2sTOC o 1-5 h z233dx“兀J3，/(4)x=12cm時,v=-12ksint=12兀cm-s-1=32.6cm-s-1dt22正負(fù)號表示物體可能向x軸正向或負(fù)向運動。此時動能：E=1mv2=1x10 x1

21、0-3x(32.6x10-2)2J=5.33x10-4Jk22勢能：Ep=2履2,由，有k=m21=m2x2=210 x10-3x2x(12x10-2)2J=1.78x10-4J總能量：E=E+E=7.11x10-4Jpk11-10如圖所示，一個水平面上的彈簧振子，彈簧的倔強系數(shù)為k，所系物體的質(zhì)量為M，振幅為A，有一質(zhì)量m的物體從高度h處自由下落。當(dāng)振子在最大位移處，物體正好題落在M上并粘在一起，這時振動系統(tǒng)的振動周期、振幅和振動能量有何變化？如題11-10圖果物體m是在振子到達平衡位置時落在M上，這些量又如何？解：粘土未落在M上時系統(tǒng)的振動周期為粘土落在M上時，系統(tǒng)的振動周期為當(dāng)M正好處于

22、最大位移處，即x=A時，此時v=0，粘土落下后，x方向速度仍為零，此時振子仍處于最大位移處，振幅不變。系統(tǒng)能量為kA22也不變。當(dāng)M處于平衡位置時，系統(tǒng)在平衡位置x=0，此時v=v=Awmax0M=A,A為系統(tǒng)原來的振幅。粘土落下與M碰撞后的速度M，可由動量守恒定律求出(M+m)V=Mv卄亠v=旦工=込4M+mM+MM+m若粘土落下后M的振幅A，由初始條件x=0,v=v00,vA=.x+()20wTOC o 1-5 h zAi HYPERLINK l bookmark97 M+m=IMikM+mM+mAA此時系統(tǒng)能量為E=1kA=1kA2=1kA2=E HYPERLINK l bookmark

23、103 22M+mM+m2M+mE=1kA2為粘土未落下時系統(tǒng)的能量，211-11在光滑的桌面上，有倔強系數(shù)分別為k與k的兩個彈簧以及質(zhì)量為12m的物體，構(gòu)成兩種彈簧振子，如圖所示，試求這兩種系統(tǒng)的固有角頻率。題1111圖解：(1)由圖(b)所示，設(shè)彈簧原長分別為l、l，平衡時彈簧的伸長量12分別為&和M，如不計物體尺寸。則12l+A1+1+Al=L1122kAl=kAl1122以平衡點O為坐標(biāo)原點，x軸向右建立坐標(biāo)系，當(dāng)小球向x軸正向移動x時，物體受力f=f+f=-k(Al+x)+k(Al一x)121122由于kAl=kAl，122因而f=(k+k)x12物體運動方程為-(k+k)x=mdx

24、12dt2題11-11圖d2xk+k門+2x=0dt2mk+k物體作簡諧振動，振動角頻率為=.JT-2m其周期為仃2兀小|mT=2兀k+k112(2)由圖(c)所示，以物體不受力，彈簧自然伸長時，物體位置為原點建立坐標(biāo)系。當(dāng)物體在位移x處時，右彈簧k的伸長為Ax，彈簧k的伸長為Ax，1122則Ax+Ax=x12kAx=kAx1122解得Ax=2x1k+k12Ax=ix2k+k12物體受力kkf=-kAx=-12x22k+k12物體的運動方程為kkd2x一4x=m-(k+k)dt212d2xkk+x=0dt2m(k+k)12物體同樣作簡諧振動，振動角頻率為振動周期為T二蘭二2叭k-)Vkk112

25、11-12如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端固定，另端系一輕繩，輕繩繞過滑輪連接一質(zhì)量m的物體,繩在輪上不打滑，使物體上下自由振動，已知彈簧的倔強系數(shù)為k，滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J1)證明物體作簡諧振動2)求物體的振動周期題11-12圖(3)設(shè)t=0，彈簧無伸縮，物體也無初速度，寫出物體的振動表達式。解:(1)以系統(tǒng)靜止時，物體m的位置為坐標(biāo)原點，坐標(biāo)軸垂直向下建立坐標(biāo)系，設(shè)此時彈簧伸長為x,由牛頓運動定律有1mg一T=01TR-TR=012T=kx21可得mg=kx1題11-12圖當(dāng)物體在x處時，物體和滑輪的運動方程為mg-T=m空1dt2TR-TR=J012T=k(x+x)21dt2解方程-，可

26、得(+m)dX=mg-k(x+x)TOC o 1-5 h zR2dt21由于mg=kx1Jd2xR2dt2d2x+dt2由此證明物體做簡諧振動。2)振動圓頻率為o=：_m+JR2物體振動周期為=2叭m+JR2o3)設(shè)振動方程為x=Acosot+申)0其中J由初始條件，t=0時，v0=0,x=-x=-m01kcos9=-10物體振動表達式為x=mgcos；(k11-13如圖所示，一長為1、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒，用兩根長L的細(xì)繩分別拴在棒的兩端，把棒懸掛起來，若棒繞通過中心的豎直軸OO/作小角度的擺動，試確定其周期。解：細(xì)棒受力分析如圖所示。將繩中張力分解，在豎直方向上有2Fcos0=mg在水平方向

27、上的分力構(gòu)成一對力偶，力矩的大小為M=Flsin0結(jié)合式有M=2mgltan0題11-13圖力矩的方向與細(xì)棒角位移方向相反，由定軸轉(zhuǎn)動定律M=J0d2_mglta0=Jdt2在小角度近似下有tan0L9代入式有7lTd2_mgl-=J2Ldt2細(xì)棒繞中心軸轉(zhuǎn)動慣量八12ml2丄ml2凹+丄mgl2=012dt24L旦+竺=0d2tL振動角頻率為拝振動周期為T=字竺壬11-14在簡諧振動中，當(dāng)位移為振幅的一半時，總能量中有多大一部分為動能，多大一部分為勢能？在多大位移處動能與勢能相等？解：在簡諧振動中物體總能量TOC o 1-5 h z廠1171E=mv2+kx2=kA2其中A為振幅當(dāng)x=-時2

28、222廠111-1廠E=2=kA2=Ep242E=EE=kA2kA2=二kA2=二Ekp24即總能量中有34為動能，14為勢能。若E=E，kp由于E+E=EkpE=E=E=kA2pk222這時若物體位移為x，則丄kx2=丄kA2,12122即在位移土字處，動能和勢能相等。11-15兩個同方向的簡諧振動，周期相同，振幅分別為A=0.05m,1A=0.07m，合成后組成一個振幅為0.09m的簡諧振動，求兩個分振動的相位2差。解：由同方向、同頻率振動合成公式AA+AT2A1A2C0S加A2A2A2(0.09)2(0.05)2(0.07)22x0.05x0.07cosAp=1=0.12AA12Ap=841611-16一質(zhì)點同時參與兩個在同一直線上