高中數(shù)學(xué)立體幾何

1、第13講立體幾何修典型真題研近2017 全國卷 I如圖 M4 13-1,圖 M413-1在四棱錐 P-ABC珅 AB/ CQ1 / BAPN CDP90 .證明:平面PABL平面PAD若PA=PD=AB=DCAPD=0。，且四棱錐 P-ABCD勺體積為-,求該四棱錐的側(cè)面積.試做命題角度證明垂直的解題策略證明線面垂直或者面面垂直白關(guān)鍵是證明線線垂直，進(jìn)而利用判定定理或性質(zhì)定理得到結(jié)論.證明線線垂直的常用方法：利用特殊圖形中的垂直關(guān)系 ；利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)；利用勾股定理的逆定理；利用直線與平面垂直的性質(zhì) .2016 全國卷 田如圖M4 13-2,D圖 M413-2四棱錐 P - ABC

2、用,PA1底面 ABCfAD/ BCAB=AD=AC=PA=B8M為線段 AD上一點(diǎn)，AM2MDN 為PC的中點(diǎn).證明:MN/平面PAB(2)求四面體N - BCM勺體積.試做舊命題角度證明平行的解題策略證明線面平行的一般思路：先證明線線平行(用幾何體的特征、中位線定理、線面平行的性質(zhì) 定理或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式等證明兩直線平行 ，再證明線面平行(注意推證線面平行時，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會出現(xiàn)錯誤).2016 全國卷 D如圖 M4 13-3,圖 M413-3菱形ABCD勺對角線 AC與BD交于點(diǎn)Q點(diǎn)E.F分別在ADCD上,AE=C|EF交BD于點(diǎn)H.將4DEF 沿EF折到 D

3、EF的位置.(1)證明 ACL HD;若 AB=5,AC：6AE=,OD=2 一,求五棱錐 D-ABCFE的體積.命題角度折疊問題證明折疊問題中白平行與垂直，關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系中的變與不變.一般地，折疊前位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系折疊后不變，而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線間的位置關(guān)系折疊后會發(fā)生變化.對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.考點(diǎn)考法探究卜 二二解答i平行、垂直關(guān)系的證明Eli如圖M413-4,在三柱 ABC- ABC中,四邊形AABB為菱形，AB=AC=BCE,F分別為 ABi,CG,AA 的中點(diǎn).(

4、1)求證:DE/平面AiBC (2)若平面ABC平面AABB,求證:ABLCF.圖 M413-4聽課筆 記【考場點(diǎn)撥】高考?？计叫?、垂直關(guān)系的解題策略：(1)證明空間中的平行、垂直關(guān)系的常用方法是轉(zhuǎn)化，如證明面面平行時，可轉(zhuǎn)化為證明線 面平行，而證明線面平行時，可轉(zhuǎn)化為證明線線平行，但有的時候證明線面平行時，也可先證明面面平行，然后就能根據(jù)定義得出線面平行.(2)在證明時，常通過三角形、平行四邊形、矩形等平面圖形去尋找平行和垂直關(guān)系【自我檢測】 如圖M4 13-5所示，四邊形 ABC西菱形，AF=2,AF/ DEDEL平面ABCD.(1)求證ACL平面BDE.當(dāng)DE為何彳1時，直線AC/平面B

5、EF?請說明理由.圖 M413-5,解答2體積、距離的計(jì)算2 如圖 M413-6,在四麴t P - ABC珅，底面 ABC四菱形，/BAD60 ,PA=PD=AD=( M在線段PC上，且PM2MCN為AD的中點(diǎn).(1)求證ADL平面PNB (2)若平面PADL平面ABC球三麴隹P - NBM勺體積.圖 M413-6聽課筆記【考場點(diǎn)撥】高考?？俭w積和距離問題的解題策略(1)求空間幾何體的體積的常用方法有換底法，轉(zhuǎn)化法，割補(bǔ)法.換底法的一般思路是找出幾何體的底面和高，看底面積和高是否容易計(jì)算，若較難計(jì)算，則轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面，使得底面積 和高都比較容易求出；轉(zhuǎn)化法是利用一個幾何體與另一個幾何體之間的關(guān)

6、系，轉(zhuǎn)化為求另一個幾何體的體積；對于較復(fù)雜的幾何體，有時也進(jìn)行分割和補(bǔ)形，間接求得體積.(2)求立體幾何中的距離問題時常利用等體積法，即把要求的距離轉(zhuǎn)化成一個幾何體的高,利用同一個幾何體的體積相等，轉(zhuǎn)換這個幾何體的頂點(diǎn)去求解.【自我檢測】1.如圖 M413-7,在三柱 ABC- ABC 中，/BCA90 ,AGL 平面 AiBC.證明:平面ABC_平面ACCi;(2)若BC=AC2AiA=AC求點(diǎn)B到平面AiBC的距離.圖 M413-72.在如圖M4 13-8所示的四棱錐 P - ABC珅，四邊形ABC西菱形，/ DAB60 QPA明正三角形.(1)證明 ABL PD若PDAB四棱錐P - A

7、BCD勺體積為16,求PC的長.圖 M413-8解答3翻折與探索性問題位13 2018 全國卷I如圖M413-9所示，在平行四邊形 ABCW ,AB=AC3：,Z ACM90 ,以AC為折痕將AC晰起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABL DA.證明:平面ACD_平面ABC(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP=DQDA求三棱錐Q- ABP的體積.圖 M413-9聽課筆記【考場點(diǎn)撥】 TOC o 1-5 h z 高考中翻折與探索性問題的解題策略：(1)翻折問題有一定的難度，在解題時，一定要先弄清楚在翻折過程中哪些量發(fā)生了變化 哪些量沒有發(fā)生變化.一般情況下，長度不發(fā)生變化，而位置關(guān)系發(fā)

8、生變化.再通過連線得到三 棱錐、四棱錐等幾何體，最后把問題轉(zhuǎn)化到我們較熟悉的幾何體中去解決(2)對于探索性問題，一般根據(jù)問題的設(shè)問，首先假設(shè)其存在，然后在這個假設(shè)下進(jìn)行推理 論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾就否定假設(shè).【自我檢測】1.如圖M4 13-10所示，在矩形ABC麗,AB=2ADM DC勺中點(diǎn)，將ADM& AM|f起,使平面ADM ，平面ABCM口圖M4 13-10所示.(1)求證:平面BMD平面ADM(2)當(dāng)AB：2時，求三棱錐M- BCDW三麴t D- ABM勺體積比.圖 M413-102.如圖 M413-11 ，在四邊形 ABC用,ABARAD/

9、BCAD=6,BC2AB=4,E,F分另在 BCAD上,EF/AR現(xiàn)將四邊形 ABEF& EF折起,使平面ABEFL平面EFD0口圖M4 13-11所示.(1)若BE=I,在折疊后的線段 AD上是否存在一點(diǎn) P,且 =入，使得CP/平面ABEP若存在, 求出入的值;若不存在，說明理由.(2)求三棱錐A - CDF勺體積的最大值.圖 M413-11第13講立體幾何典型真題研析1.解:(1)證明：由已知 /BAPN CDP=0 ,# ABI ARCDL PD.由于 AB/ CtM ABI PD從而 ABL 平面 PAD.又AB?平面PAB所以平面 PABL平面PAD.在平面PADfMPE! AD足

10、為E.由(1)知ABL平面PA佻 ABL PE可彳導(dǎo)PE1平面ABCD.設(shè)AB=x則由已知可得 AD= x,PEx,故四棱錐P-ABCD勺體積VP-abc=AB- AD-PE=x3. 3由題設(shè)得-X故x=2.從而 PA=PD2=,AD=BC2= 一,PB=PC2= 一，可得四棱錐P-ABCD勺側(cè)面積為-PA PD+PA AB+PD DC+BCsin 60 =6+2 -.解:(1)證明：由已知得 AM=AD：2,取BP的中點(diǎn)T,連接ATTN.由N為PC的中點(diǎn)知TN/ BC且TN=BC2.又AD/ BC所以TN AM所以四邊形 AMN為平行四邊形，于是MM AT.因?yàn)锳T?平面PABMN?平面PA

11、即以MN平面PAB.(2)因?yàn)镻AL平面ABCCN為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD勺距離為-PA.取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=ACM導(dǎo)A已BCAE=-= 一.由AM/ BC導(dǎo)M到BC的距離為 一,故Sabc=X 4X -=2 一.所以四面體N - BCM勺體積Vn - bc=- X S abcMX 一= .解:(1)證明：由已知得 ACL BDAD=CD.又由 AE=CF導(dǎo)一=一，故 AC/ EF.由此得 EFL HDEU HD,所以 ACL HD.由EF/ AC得一由 AB=5,AC：6 得 DO=BO=-=4,所以 OH=,DH=DH：3,于是 OD2+OH=(2 一)2+12=9

12、=DH故 ODL OH.由(1)知 ACL HD,又 ACL Bt?BDn HD=H所以 ACL 平面 BHD；于是 ACL OD, 又 ODU OHA8 OH=0f以 ODU 平面 ABC.由一得EF=.五邊形 ABCFE勺面積 ShX6X8-X-X3=.所以五棱錐 D- ABCFE勺體積 V=xX2 一二 考點(diǎn)考法探究1 -解答1例1證明:(1)設(shè)AB,AiB相交于點(diǎn)O連接ODOC.因?yàn)镺D分別為ABAB的中點(diǎn)，所以O(shè)D/ BB,且OD=BB.因?yàn)?BB/ CC,BB=CC,E是 CC的中點(diǎn)，所以 CE BB,且 CE=BB,所以CE/ ODCE=O所以四邊形ODEC1平行四邊形，所以O(shè)。

13、DE.又OC?平面ABCD日平面ABC所以DE/平面ABC.(2)因?yàn)樗倪呅蜛ABB為菱形，所以ABXAB.取AB的中點(diǎn)M連接MFMC.因?yàn)镸F分別為ABAA的中點(diǎn)，所以 MF/ ARAB, MF.因?yàn)锳BC等邊三角形，所以CMAB.因?yàn)槠矫?ABCL平面AABBCM1平面ABCF面ABCP平面AABB=AB所以CML平面AABB,所以CML AB.又Mm。吊=慚以AB,平面CMF所以ABXCF.【自我檢測】解:(1)證明：因?yàn)镈EL平面ABCfAC?平面ABCD所以ACL DE.在菱形 ABCW ,ACL BD又 DEH BD=D曰平面 BDEBDy平面 BDE.所以ACL平面BDE.當(dāng)DE

14、4時，直線AC/平面BEF1由如下在菱形ABC珅，設(shè)AC BD于點(diǎn)Q取BE的中點(diǎn) M連接QMFMW QM/BDE勺中位線,所以 QM/ DE且 QM=DE=2,又 AF/ DEAF=DEZ所以 QM AF且 QM=AF.所以四邊形AQM的平行四邊形，則AC/ FM.因?yàn)锳C?平面BEFFM?平面BEF所以直線AC/平面BEF.解答2例2 解:(1)證明：:PAmP小為AD的中點(diǎn)，：PNL AD.底面ABC西菱形，/BAD0 ,N為AD的中點(diǎn)，：BNL AD. PNn BN=N .AD1平面 PNB.(2) .平面 PADL 平面 ABCDF面 PAm 平面 ABCD=ADNL AQPN?平面

15、PAD.PNL 平面 ABCD：pnl NB又 pa=pd=ad= .pn=nb,S pnBF- X X =-.ADL 平面 PNEBAD/ BC BC1平面 PNB.PM2MC V p - nbMFV - pne= Vd - pnB=- X X X 2=- ,三棱錐P - NBM勺體積為-.【自我檢測】.解：(1)證明：:AC，平面 AiBC：AC，BC.Z BCA=0 ,BBCA AC又 AS AC=A：BCL 平面 ACCA.又BC?平面ABC：平面ABCL平面ACS.(2)取AC的中點(diǎn)D,連接ADBC,如圖所示.,.AiA=AC,.,.AiD AC.又平面 ABCL平面AC(A,平面A

16、BCP平面ACCA=ACAD?平面ACCA, AiD，平面 ABC. AC,平面 ABC：AC，AC：四邊形ACCi為菱形，AA=AC.又人八二從6：4人八。是邊長為2的正三角形，：AiD=,:=_X2X2X -二2 一.-設(shè)點(diǎn)B到平面ABC的距離為h,貝U -=-=一=-h.又 BCLACBC2,AC=2,：=2,：h二一.所以點(diǎn)Bi到平面ABC的距離為 一.解:(i)證明:取AB的中點(diǎn)Q連接PQDOBD如圖所示.四邊形 ABCM菱形，/DAB60。， .ABM正三角形，：DA二DB.DQL AB.PAB為正三角形，：PQL AB又 V D。PO=(PC?平面 POUDC?平面 POD AB

17、L 平面 POD,. PD?平面 POD - -ABL PD.設(shè)AB=2x,則PD=-x.在正三角形 PA珅,PO=-x,同理DOx,.PO+O作pD,PO_ OD又 PO_ ABDS AB=QD。平面 ABCAB?平面 ABCD POL平面 ABCDV P-ABC= X 2 x2 X -x=16,：x=2則 PD：2 -,CD=AB=. AB/ CDAB! PD：CDL PD;PC=2 一.解答3例3 解:(1)證明：由已知可得，/BAC90 ,BA!AC.又BAL AD所以AB1平面ACD.又AB?平面ABC所以平面 ACD_平面ABC.(2)由已知可得，DC=CM=ABDA=3 一.又

18、BP=DQ=DA以 BP=2 一.作QaA時足為E,則QE -DC.由已知及(1)可知DCL平面ABO以QEL平面ABCQE=.因此，三棱錐 Q - ABP勺體積為 M-AB=XQEXSB=X1X-X3X2 sin 45 =1.【自我檢測】1.解:(1)證明：在矩形 ABC麗,AB=2ADM為DC的中點(diǎn)，. ADg BCMTB是等腰直角三角形，且/ ADM90。，/ BCM90。，： BML八則起后這一垂直關(guān)系不變又平面 ADM_平面ABCMF面ADM平面ABCM=AffiM 平面ABCMBM平面ADM.又BM?平面BMD .平面BMD_平面 ADM.(2)如圖所示，取AM勺中點(diǎn)N,連接DN.

19、 DA=DM DNL AM平面 ADM_ 平面 ABCMF面 ADM 平面 ABCM=ADN?平面 ADMTDNL 平面 ABCM.AB=2, ： AD=DM=CM=CBM=BM=，： DN=-,.Sabc=CM- CB=,8ab=AM. mb=,/. Vm - BC=V)- BCI=-Sa BCM DNt,VD - ABM=-SaABM- DN=-,-=-.2.解:(1)在折疊后的圖中，過C作CGL FD交FD于G過G作GPL FD交ADT P,連接PC.在折疊前的四邊形 ABC麗,EF/ ABABL AD所以EF AD.折起后DFL EF所以CG/ EF又平面 ABEF_平面EFDCF面ABEF平面EFDC=E所以FD1平 面 ABEF.又 AF?平面 ABEF聽以 FD AF所以 PG/ AF,又 BE=I,所以 FG=EC=GD=,故=.因?yàn)镃GD PG=fFn AF=F所以平面CPG平面ABEF因?yàn)镃P?平面CPGf以CP/平面ABEF.所以在線段 AD上存在一點(diǎn)P,且 =-，使得CP/平面ABEF.(2)因?yàn)锳FL EF平面ABEF_平面EFD面ABEW平面EFDC=E所以AFL平面EFDC.設(shè) BE=X0 xW4),所以 AF=xFD=6-x,又 CG=A主所以 VA-C