高二數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何學(xué)案

1、個(gè)人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途空間向量解立體幾何一、空間直角坐標(biāo)系的建立及點(diǎn)的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量W，設(shè)單位正交基底）為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組日，使兇，有序?qū)崝?shù)組I三I叫作向量H在空間直角坐標(biāo)系三I中的坐 、式I標(biāo)，記作兇 .在空間直角坐標(biāo)系H I I 中，對(duì)空間任一點(diǎn)R,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ,山，使 I x I ,有序?qū)崝?shù)組目叫作向量在空間直角坐標(biāo)系口 中的坐標(biāo)，記作,國叫橫坐標(biāo)，日叫縱坐標(biāo)，j叫豎坐標(biāo).b5E2RGbCAP二、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律 TOC o 1-5 h z 1）若 HH ,則W,0，回，2）若 丘匚I

2、,則_ .一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn) 的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。3） X 三、空間向量直角坐標(biāo)的數(shù)量積1、設(shè)臼是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量lj 叫作向量a的數(shù)量積，記作 囚，即回= - 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 0。plEanqFDPw2、模長公式3、兩點(diǎn)間的距離公式：若或.4、夾角： k .注： I 一 1 是兩個(gè)非零向量）；1 。5、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：1 一 . X . 1.6、運(yùn)算律 1；|；四、直線的方向向量及平面的法向量1、直線的方向向量：我們把直線 三上的向量可以及與m共線的向量叫做直 線工的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量 目的有

3、向線段所在直線垂直于平面 0c , 則稱這個(gè)向量垂直于平面 口 ,記作 山，如果 山，那么向量目叫做平面 %的法向量。DXDiTa9E3d注：若臼，則稱直線二為平面臼的法線；平面的法向量就是法線的方向向量。給定平面的法向量及平面上一點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定一個(gè)平面。3、在空間求平面的法向量的方法：1）直接法：找一條與平面垂直的直線，求該直線的方向向量。2）待定系數(shù)法：建立空間直接坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量為在平面內(nèi)找兩個(gè)不共線的向量H 和 人 口AB兇建立方程組：/”“E /解方程組，取其中的一組解即可。/五、證明1、證明兩直線平行已知兩直線日和可，一,則 心口 存在唯一的實(shí)數(shù)因使2、證明直線和平面平行個(gè)

4、人收集整理資料，僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途1）已知直線 1 且三點(diǎn)不共線，則 臼/日存在有序?qū)崝?shù)對(duì)國使 ）_ 12）已知直線 -1 和平面日的法向量回，則日/3、證明兩個(gè)平面平行已知兩個(gè)不重合平面 國,法向量分別為W，則回/國4、證明兩直線垂直已知直線回。 一 ,則一=5、證明直線和平面垂直已知直線 一,且A、B習(xí)，面回的法向量為臼，則6、證明兩個(gè)平面垂直已知兩個(gè)平面叵，兩個(gè)平面的法向量分別為 叵，則六、計(jì)算角與距離1、求兩異面直線所成的角已知兩異面直線 叵1 ,- - H ,則異面直線所成的角 回為：日例1.2008安徽文）如圖，在四棱錐 g 中，底面皿 四邊長為1 的菱形，臼 ，-, g

5、,兇為回的中點(diǎn)。求異面直線AB與M所成角的大小目；RTCrpUDGiT解：作 于點(diǎn)P,如圖，分別以AB,AP,AO所在直線為 三軸建立坐標(biāo) I,2、求直線和平面所成的角已知A,B為直線包上任意兩點(diǎn)，B為平面臼的法向量，則日和平面臼所 成的角包為：1）當(dāng) x 時(shí) I x I2）當(dāng)xf 時(shí) | x I例2.如圖3,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，,側(cè)棱AA1=2 D, E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是 曰 的重心 G 求 A1B與平面 TOC o 1-5 h z AB所成角的大小。5PCzVD7HxA、解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，CB所

6、在直線為y軸，國所在直線為z軸，建X I立直角坐標(biāo)系，設(shè),則日，日，日，日?qǐng)D3目 ， 目 ，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是二的重心G臼平面ABD 二三1 ,解得皿。I x| ,兇，日 平面ABD 二四 為平面ABD勺一個(gè)法向量?；鼗嘏c日所成角的大小為日為與平面AB所成的角為匕三,即叵個(gè)人收集整理資料,僅供交流學(xué)習(xí),勿作商業(yè)用途評(píng)析:因規(guī)定直線與平面所成角叵,兩向量所成角NI所以用此法向量求出的線面角應(yīng)滿足一般地，設(shè)n是平面M的法向量,AB是平面M的一條斜線，A為斜足,則AB與平面 M所成的角為:3、求二面角1）已知二面角 一 角的平面角國的大小為：2）已知二面角 3分別為面 目 的法向量，則二面角

7、的平面VA1B DMfe平面BDMft兩條相交直線，CDL平面BDM通過觀察二面角銳角還是鈍角，再由法向量的成的角求之。（2通過觀察法向量的方向，判斷法向量所成的角與二面角的平面角相 等還是互補(bǔ)。4、求兩條異面直線的距離已知兩條異面直線凹,回是與兩直線都垂直的向量，則兩條異面直線的距離例3. 04高考四川卷）如圖，直三棱柱 ABCC-A1B1C1中，/ ACB=90 ,AC=1, CB,側(cè)棱AA1 = 1,側(cè)面AA1B1B勺兩條對(duì)角線交點(diǎn)為 D, B1C1的中點(diǎn)為M 求證：jLBHrnAlLg例4.正四棱錐 間的距離A f B.|答案選C;解讀:的高）c . 3建立如圖D.|所示的直角,則異面

8、直線和回之1)CD1平面BDM2)求面B1BDW面CB兩成二面角的大小。分析：要證CDL平面BDM只需證明直線 CD與平面BDM內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；要求二面角，需找出二面角的平面角或轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角?？紤]幾何法或向量法求解。解：以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。則坐標(biāo)系，則X令向量個(gè)人收集整理資料,僅供交流學(xué)習(xí), 軸勿作商業(yè)用途且 為 X異面直線皿和國之間的距離為：叵I則兇兇,=0,命題得證。2、在正方體E1B1=A1B1, D1F1= D1C1中,E1 , F1分別在xHAQX74J0X5、求點(diǎn)到面的距離已知平面兇和點(diǎn)A,B且 ri ,兇為平面兇的法向量，則點(diǎn)A到平面凹的距離 H例5.如圖5,已

9、知是各條棱長均等于習(xí)的正三棱柱，回是側(cè)棱目的中點(diǎn).點(diǎn)回到平面三的距離）A 兇B. 國 C . 臼D. 回求BE1與DF1所成的角的大小。解：設(shè)正方體棱長為 4,以 底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系3、在正方體A1B1,C1D1為正交基中，F(xiàn)分別是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在D1C1上，且.D1C1試求直線E1F與平面D1AO成角白大小LDAYtRyKfE答案選A;解讀： 目為正方形， Ml ,又平面目平面目，三面回，是平面目的一個(gè)法向量, 設(shè)點(diǎn)可到平面叵的距離為回，則| = x 口 =|七、訓(xùn)練題1、如圖，已知直三棱柱 I 中，解：設(shè)正方體棱長為1,以建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz三為D1A評(píng)面的法向量，日X

10、1為單位正交基居E1C.所以直線E1F與平面D1ACf成角的正弦值為 田x4、在正方體一 . 中，求二面角I - 的大小IBC=1,囚 ，M 是目的中點(diǎn)。求證：I證明：說明上圖中，上底面字母為日。建立以C為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系以 CA為YB解：設(shè)正方體棱長為1,以 二1正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz 法一），法二）求出平面 山與平面日 的法向量個(gè)人收集整理資料,僅供交流學(xué)習(xí),等于二面角的平面角5、已知E,F分別是正方體一x I的棱BC和CD的中點(diǎn)，求:勿作商業(yè)用途為單位正交A1D與EF所成角是回1） A1D EF所成角的大??；2） A1F與平面B1EB所成角的大小;3）二面角 I

11、一 的大小。解：設(shè)正方體棱長為1,以底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz1）I 所以二面角的大小為.7、如圖，在四棱錐 -j 中，底面山四邊長為1的菱形，三,.一J , q , *為的中點(diǎn)，目 為舊的 中點(diǎn)I ）求異面直線AB與MDff成角的大?。籲）求點(diǎn)B到平面OCD勺距離。解：作 g 于點(diǎn)P,如圖，分別以AB,AP,AO所在直線 為日軸建立坐標(biāo)系 I）設(shè)口與口所成的角為0,士與同所成角的大小為22)I x I ,| = |3),. x I二面角鼻的正弦值為因6、如圖，正四棱柱I 中， -I故.又,所以山平面山條件結(jié)論線線平行線面平行面面平行垂直關(guān)系1、空間基本元素：直線與平面之間位置關(guān)系的小結(jié)

12、。如下圖:點(diǎn)w在上且 LJ .i）證明：回平面目；n）求二面角1 解：以 可為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 因?yàn)槿蛰S的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系目.依題設(shè)，n）設(shè)向量 一1 是平面回的法向量，則日，0.故 I力 ,91 .令國，則日，山，n）設(shè)點(diǎn)B到平面OCD勺距離為可，則可為因在向量上的投影的絕對(duì)值，由 _J ，得二J.所以點(diǎn)b到平面OCM距離為直線、平面、簡單多面體個(gè)人收集整理資料,線線平行如果a / b, b / c ,那么 all c如果a II a,a臼B ,B C % =b , 那么a/ b如果% / B ,% C 丫 =a ,B C 丫 =b , 那么a / b如果aX a,bXa ,那么

13、 a / b線面平行如果a b b, at1%, b Ei % ,那么 all a如果%/B,a 3 a ,那么%/B面面平行如果a 回 口 , b回 口 , c臼B , d回B , a / c,b / d,aCb=P,那么 / B如果a 回口,b 回 a ,a A b=P,a II B ,b/ B ,那么% / B如果% / B ,B / 丫，那 么口 丫如果aX a,a,B ,那么 / B條件結(jié)論線線垂直線面垂直面面垂直平行關(guān)系線線垂直二垂線定埋 及逆定埋如果a %,如果三個(gè)平面兩兩垂如果a/ b, ac,那么bs a ,月B么a b直，那么它 4佼線兩兩 垂直bc線面垂直如果ab,ac,

14、b日 ,c 回 口 , bCc=P,那么a a如果ocX3,%CB =b,aa ,ab,那么a B如果aX a,b / a ,那么bX a面面垂直定義 二面 角等于 900)如果a a,as(3 ,那么3 X oc勿作商業(yè)用途2、空間元素位置關(guān)系的度量僅供交流學(xué)習(xí),1)角：異面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角，都化歸為平 面幾何中兩條相交直線所成的角。異面直線所成的角：通過平移的變換手段化歸，具體途徑有：中位線、補(bǔ)形法等。直線和平面所成的角：通過作直線射影的作圖法得到。二面角：化歸為平面角的度量，化歸途徑有：定義法，三垂線定理法，棱 的垂面法及面積射影法。個(gè)人收集整理資料,注：異面直線

15、所成的角、直線與平面所成的角、二面角、向量的夾角的范圍依次是 回， I x I.直線的傾斜角、回到n的角、與目的夾角的范圍依次是.Zzz6ZB2Ltk 0 1, 0 0 2僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途面外接圓半徑OA底面內(nèi)切圓半徑OM底面正多邊形半邊長 OM構(gòu) 成的三棱錐，該三棱錐四個(gè)面均為直角三角形。5、直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四面 體、棱錐、正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對(duì)角面、平行于底的截面的幾 何體性質(zhì).dvzfvkwMI1如長方體中：對(duì)角線長 1,棱長總和為鼻,全 表） 面 積 為 一 I , 結(jié) 合一=一可得關(guān)于他們的等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式

16、） 一; rqyn14ZNXI注：一斜線與平面上以斜足為頂點(diǎn)的角的兩邊所成角相等 面上射影為角的平分線.（2）異面直線上兩點(diǎn)間距離公式設(shè)異面直線a, b所成角為 8,則EF2=m2+n2+d 2 2mncos04、棱柱、棱錐是常見的多面體。在正棱柱中特別要用側(cè)面與底面垂可斜線在平運(yùn)底上在底面內(nèi)回頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.EmxvxOtOco如正四面體和正方體中:6、多面體是由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體.棱柱和棱錐是特殊的多直的性質(zhì)解題，在正棱錐中，要熟記由高 PO斜高PM側(cè)棱PA,底面體.如三棱錐中：側(cè)棱長相等 側(cè)棱與底面所成角相等）回頂點(diǎn)在 底上射影為底面外心，側(cè)棱兩兩垂直 兩對(duì)對(duì)棱垂直）回頂

17、點(diǎn)在底 上射影為底面垂心，斜高長相等 側(cè)面與底面所成相等）且頂點(diǎn)在個(gè)人收集整理資料，正多面體的每個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多邊形，以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都 有相同數(shù)目的棱.7、球是一種常見的簡單幾何體.球的位置由球心確定，球的大小僅 取決于半徑的大小.球包括球面及球面圍成的空間區(qū)域內(nèi)的所有的點(diǎn).球 面是到球心的距離等于定長 半徑）的點(diǎn)的集合.球的截面是圓面，其中 過球心的截面叫做大圓面.球面上兩點(diǎn)間的距離，是過這兩點(diǎn)的大圓在這 兩點(diǎn)間的劣弧長，計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是“根據(jù)已知經(jīng)緯度等條件，先尋 求球面上兩點(diǎn)間的弦長”，因?yàn)榇讼议L既是球面上兩點(diǎn)間的弦長，又是大 圓上兩點(diǎn)間的弦長.SixE2yXPq5注：“經(jīng)

18、度是小小半徑所成角，緯度是大小半徑的夾 角”.球體積公式 田，球表面積公式 乂 .排列組合、二項(xiàng)式定理以及概率1、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心2、排列數(shù)與組合數(shù)都是計(jì)算完成事件方法個(gè)數(shù)的公式，排列數(shù)是研 究排列 既取又排）個(gè)數(shù)的公式，組合數(shù)是研究組合 只取不排）個(gè)數(shù)的公 式，是否有序是它們之間的本質(zhì)區(qū)別。6ewMyirQFL排列數(shù)公式：=,當(dāng)m=n時(shí)，J,其中 m n N+ me n,規(guī)定 0!=1組合數(shù)公式：|僅供交流學(xué)習(xí)，勿作商業(yè)用途組合數(shù)性質(zhì)：1一=一,規(guī)定臼，其中 m, n N+n3、處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律兩種思路：直接法，間接法兩種途徑：元素分析法，位置分析法3 ）對(duì)排列組合的混合題，一般先選再排，即先組合再排列。弄清要 完成什么樣的事