大學物理17章答案

1、第17章量子物理基礎17.1根據(jù)玻爾理論，計算氫原子在n=5的軌道上的動量矩與其在第一激發(fā)態(tài)軌道上的動量矩之比解答玻爾的軌道角動量量子化假設認為電子繞核動轉的軌道角動量為L=mvrnn對于第一激發(fā)態(tài)，n=2,所以L5/L2=5/217.2設有原子核外的3p態(tài)電子，試列出其可能性的四個量子數(shù)解答對于3p態(tài)電子，主量子數(shù)為n=3，角量子數(shù)為l=1，磁量子數(shù)為mi=-l,-(l-1),7,-1,l,自旋量子數(shù)為ms=1/2s3p態(tài)電子的四個可能的量子數(shù)(n,l,m/,m)為IS(3,1,1,1/2)，(3,1,1,-1/2)，(3,1,0,1/2)，(3,1,0,-1/2)，(3,1,-1,1/2)

2、，(3,1,-1,-1/2)17.3實驗表明，黑體輻射實驗曲線的峰值波長2和黑體溫度的乘積m為一常數(shù)，即2T=b=2.897x10-3mK.實驗測得太陽輻射波譜的峰m值波長2=510nm,設太陽可近似看作黑體，試估算太陽表面的溫度.m解答太陽表面的溫度大約為bT=九m2.897x10-3510 x10-9=5680(K).17.4實驗表明，黑體輻射曲線和水平坐標軸所圍成的面積M(即單位時間內(nèi)從黑體單位表面上輻射出去的電磁波總能量，稱總輻射度)與溫度的4次方成正比，即M=OT4其中o=5.67x10-8Wm2K4.試由此估算太陽單位表面積的輻射功率(太陽表面溫度可參見上題)解答太陽單位表面積的輻

3、射功率大約為M=5.67x10-8x(5680)4=5.9x107(Wm-2).17.5宇宙大爆炸遺留在宇宙空間的均勻背景輻射相當于3K黑體輻射求：此輻射的單色輻射強度在什么波長下有極大值？地球表面接收此輻射的功率是多少？解答(1)根據(jù)公式2T=b可得輻射的極值波長為m17.6鋁表面電子的逸出功為6.72X10-19J，今有波長為2二2.0 xl0-7m的光投射到鋁表面上試求：由此產(chǎn)生的光電子的最大初動能；遏止電勢差；鋁的紅限波長解答(1)光子的能量為E=hv=hc/2,根據(jù)愛因斯坦光電效應方程hv=E+A,k產(chǎn)生的光電子的最大初動能為E=hv-Ak=6.63X10-34X3X108/2.0X

4、10-7-6.72X10-19=3.23X10-19(J)遏止電勢差的公式為eU=Ek，遏止電勢差為skU=E/e=3.23X10-19/1.6X10-19=2.0(V)sk鋁的紅限頻率為vo=Ah,紅限波長為2o=叫=hc/A=6.63X10-34X3X108/6.72X10-19=2.96X10-7(m)17.7康普頓散射中入射X射線的波長是2=O.7Ox1O-iom，散射的X射線與入射的X射線垂直求：（1）反沖電子的動能EK；K（2）散射X射線的波長；（3）反沖電子的運動方向與入射X射線間的夾角0.解答（1）（2）根據(jù)康普頓散射公式得波長變化為AX=2Asin2=2x2.426x10-1

5、2sin224=2.426x10-12(m),散射線的波長為久=X+&=0.72426x10-10(m).反沖電子的動能為hehe6.63x10-34x3x1086.63x10-34x3x1080.7x10-100.72426x10-10=9.52x10-17(J).(3)由于tan6=竺牛he/九0.72426=0.9665，所以夾角為0=441.17.8求波長分別為X=7.0 x10-7m的紅光；X2=0.25x10-10m的X射線的能量、動量和質(zhì)量.解答X射線的能量為E=hv=hc/X,動量為p=h/X；由E=hc/X=mc2，得其質(zhì)量為m=h/cX.對于紅光來說，能量為x10-34x3

6、x108E=17x10-7=2.84x10-i9(J),動量為6.63x10-34p=17x10-7=9.47x10-25(kgms-1),質(zhì)量為x10-34m=3x108x7x10-7=3.16x10-36(kg).對于X射線來說,能量為x10-34x3x108E=0.25x10-10=7.956x10-15(J),動量為6.63x10-34p=20.25x10-10=2.652x10-23(kgms-1),質(zhì)量為6.63x10-34m=23x108x0.25x10-10=8.84xl0-32(kg).17.9處于第四激發(fā)態(tài)上的大量氫原子，最多可發(fā)射幾個線系，共幾條譜線？那一條波長最長解答第

7、四激發(fā)態(tài)的氫原子處于第5個能級，最多可發(fā)射四個線系（1）能級5到4，1條譜線；（2）能級5和4到3，2條譜線；（3）能級5、4和3到2，3條譜線；（3）能級5、4、3和2到1，4條譜線共10條譜線從能級5躍遷到4發(fā)射的光譜頻率最小，波長最長17.10設氫原子中電子從n=2的狀態(tài)被電離出去，需要多少能量解答氫原子能級公式為me41E=n8s2h2n2,0當n=1時，基態(tài)能級的能量為me4E=18s2h20-2.18xl0-i8(J)=-13.6(eV),口E因此E-1nn2當電子從n能級躍遷到m能級時放出（正）或吸收（負）光子的能量為11AE=E-E=E（-）nm1n2m2電離時，m趨于無窮大.

8、當電子從n=2的能級電離時要吸收能量11AE=13.6（）2282=-3.4（eV）,因此需要3.4eV的能量17.11質(zhì)量為m的衛(wèi)星，在半徑為r的軌道上環(huán)繞地球運動，線速度為v.（1）假定玻爾氫原子理論中關于軌道角動量的條件對于地球衛(wèi)星同樣成立證明地球衛(wèi)星的軌道半徑與量子數(shù)的平方成正比，即r=Kn2,（式中K是比例常數(shù)）；（2）應用（1）的結果求衛(wèi)星軌道和下一個“容許”軌道間的距離，由此進一步說明在宏觀問題中軌道半徑實驗上可認為是連續(xù)變化的（利用以下數(shù)據(jù)作估算：普朗克常數(shù)h=6.63x10-34J.s,地球質(zhì)量M=6x1024kg，地球半徑R=6.4x103km，萬有引力常數(shù)G=6.7x10

9、-11Nm2kg-2.解答（1）衛(wèi)星繞地球運動的向心力是萬有引力Mmmv2G=r2r；根據(jù)玻爾理論，角動量為mvr=nh/2n將前式乘以mr3得GMm2r=(mvr)2=GMm2r=(mvr)2=4兀2,h2n2所以r=Kn24兀2GMm2即：衛(wèi)星的軌道半徑與量子數(shù)的平方成正比(2)假設衛(wèi)星質(zhì)量m=100kg，比例系數(shù)為4n2GMm2=(6.63x10-34)24n2x6.7x10-11x6xIO24x(100)2=2.77x10-87.可見：比例系數(shù)很小當r=R時，地球表面的量子數(shù)為n=、R/K=4.8x1046.0可見：地球表面處的量子數(shù)很大.地面以上的量子數(shù)設為n,(n、=1,2,3,.

10、),貝U總量子數(shù)可表示為兩個量子數(shù)之和：n=n+n.軌道間的距離為Ar=K(no+n+I)2-(n+n)2=K2(no+n)+1.由于n01，所以Ar=2Kn0+2Kn.設n=kn0,即：取地面以上的量子數(shù)為地球表面量子數(shù)的倍數(shù),有n=(k+1)n0，則r=Kn02(k+1)2,Ar=2Kn0(k+1)=2.66x10-40(k+1).這說明：當?shù)孛嬉陨系牧孔訑?shù)按k+1成倍地增加時，半徑將按k+1的平方的規(guī)律增加，而軌道之間的距離只按k+1的一次方的規(guī)律增加；由于&的系數(shù)很小，所以軌道間距是非常非常小的，因此可認為軌道半徑是連續(xù)變化的17.12電子和光子各具有波長2.0 x10-10m,它們的

11、動量和總能量各是多少？解答它們的動量都為h6.63x10-34p=九2x10-10=3.315x10-24(kgms-1).根據(jù)公式E2=p2c2+mjc4，電子的總能量為E=cfp2+m2c20=3x108x(3.315x10-24)2+(9.1x10-31x3x108)21/2=8.19x10-14(J)光子的靜止質(zhì)量為零，總能量為E=cp=3x108x3.315x10-24=9.945x10-16(J)17.13室溫下的中子稱為熱中子T=300K，試計算熱中子的平均德布羅意波長解答中子熱運動的平均速度為其中k為玻爾茲曼常數(shù)k=1.38X10-23JK1,m是電子的質(zhì)量m=pp1.675x

12、10-27kg，可得平均速度為v=2.509x104(ms-1)，平均動量為p二mnv=4.2x10-27(kgms-1).平均德布羅意波長為匸二h/p=1.58x10-10(m)=0.158(nm).17.14一束動量是p的電子，通過縫寬為a的狹縫，在距離狹縫為R處放置一屏，屏上電子衍射圖樣中央最大的寬度是多少？解答根據(jù)動量和位置的不確定關系ApAx=h，x其中位置不確定量為Ax=a，動量的不確定量為Ap=psinO.x2hRpa設電子衍射圖樣的中央最大半寬度為w，貝UsinO=w/R，w、,可得pRa-注意如果將h改為島/2，則寬度為2w=HR/pa兩者相差很小.17.15一寬度為a的一維

13、無限深勢阱，試用不確定關系估算阱中質(zhì)量為m的粒子最低能量為多少？解答粒子坐標的不確定范圍是Ax=a,動量的不確定范圍是Ap=h/Ax=h/a.這也就是動量p的范圍.因此能量為E=p2/2m=h2/2ma2,最低能量可估計為E=h2/2ma2min17.16設有一寬度為a的一維無限深勢阱，粒子處于第一激發(fā)態(tài)，求在x=0至x=a/3之間找到粒子的幾率？解答粒子在一維無限深勢阱中的定態(tài)波函數(shù)為/、巨.nKx(0 xa)屮(x)二sm,naa(n=1,2,3,.)，出x)=0，(xa).當粒子處于第一激發(fā)態(tài)時，n=2，在x=0至x=a/3之間被發(fā)現(xiàn)的幾率為屮(x)|2dx=f2sin2dx2aa00=

14、2至32k=0.391.17.17設粒子在寬度為a的一維無限深勢阱運動時，其德布羅意波在阱內(nèi)形成駐波，試利用這一關系導出粒子在阱中的能量計算式.解答當粒子在勢阱中形成穩(wěn)定駐波時，勢阱寬度必然為半波長的整數(shù)倍，即n(2/2)=a,(n=1,2,3,.).根據(jù)德布羅意假設2=h/p,可得粒子的動量為nh2ap2h2能量為E=n22m8ma4兀x5x103x2=5.276x10-30(m).h1000hAx=)2Ap4兀mv1000 x6.63x10-344兀x9.1x10-31x1.8x10817.18假定對某個粒子動量的測定可精確到千分之一，試確定這個粒子位置的最小不確定量該粒子質(zhì)量為5xl0-

15、3kg，以2ms-i的速度運動；該粒子是速度為1.8xl08ms-i的電子.解答粒子的動量為p=mv，動量的不確定量為Ap=p/1000,根據(jù)動量和位置的不確定關系ApAx=h/2,位置的不確定量為Ax=h/2Ap.1)Axh2Ap1000h4兀mv1000 x6.63x10-34=3.22x10-i(m).17.19設有某線性諧振子處于第一激發(fā)態(tài)，其波函數(shù)為屮七込xe1兀1/2a2丫22*mk式中a二h?,k為常數(shù)，則該諧振子在何處出現(xiàn)的概率最大?解答第一激發(fā)態(tài)的概率為w=1屮1|2=dwdt2a3,兀1/22x(1x2a2)e-a2x2對x求導得絲丄2xe-a2x2+x2(-2a2x)e-

16、a2x2兀1/2令dw/dt=0，得概率最大的位置為x=1/a17.20一維運動的粒子，處于如下的波函數(shù)所描述的狀態(tài)Axe-兒,(x0);0,(x0，A為常數(shù).1）將此波函數(shù)歸一化；2）求粒子位置的概率分布函數(shù)；3）粒子在在何處出現(xiàn)的概率最大?解答(1)歸一化得1=fI屮|2dx=fA2x2e-2兒dxg20gg-2Jxe-2兀xdx00一2A2（云）2Jxde-2兒0=-2A2（）2xe-2兀x2Xfe-2尢xdx00-1=2A2（）3e-2兀x2九gA24九3,0所以A=2加/2.歸一化波函數(shù)為屮(x)_2九3/2xe-兒,(x0)；0,(x0）;0,（x0）.3)3)利用上一題的方法求導

17、可得幾率最大的位置為x=1/久.17.21設有某一維勢場如下：V_0,(0UxL);%,(xL).該勢場可稱為有限高勢阱，設粒子能量EV0，求E所滿足的關系式.解答粒子運動的薛定諤方程為2mV2屮+(E-V)屮_0h2.在三個區(qū)域的方程為TOC o 1-5 h zd2屮2m十+(EV)屮_0,(x0);dx2h201d2屮2m+E屮_0,(0 xL).設q_2m(VE)/h，k?_-2mE/h,d2屮則得牯即1_0,(x0);1)d2屮2)2+k2屮_0,(0 xL).dx213方程的通解為0jx)=Aiexp(kix)+Biexp(-kix),(x0);(4)2肖2(x)=A2cos(k2x

18、)+B2sin(k2x),(0 xL).(6)當x時，你有限，所以B1=0；當x-s時，屮3有限，所以A3=0當x=0時，0(0)=02(0)，A=A；12同時0、(0)=02(0)，可得kA=kB1122當x=L時，肖2(L)=屮3(L)可得7)8)02、(L)=03(L)，可得A2cosk2L+B2sink2L=B3exp(-k1L)；(9)-k2A2sink2L+k2B2cosk2L=-k1B3exp(-k1L)(10)將(9)乘以k1加(10)得k1A2cosk2L+k1B2sink2L-kAsinkL+kBcoskL=0222222即(kA+kB)coskL=(kA-kB)sinkL1222222122LTkA+kBTOC o 1-5 h z.taitL二_22/、亦2kA-kB.(11)2212由(7)和(8)得kA2=kB，即B=kA/k，(12)2122(12)代入(11)式得2kktankL=2k2-k2，21M2mE2QE(V-E)tan=o即h2E-V.(13)0這就是總能量滿足的關系式17.22原子內(nèi)電子的量子態(tài)由n、l、ml、ms四個量子數(shù)表征，當n、l、lsml一定時，不同的量子態(tài)數(shù)目為多少？當n、l一定時，不同量子態(tài)數(shù)目為多少？當n一定時，不同量