橢圓周長公式的推導、證明、檢驗、評價與應用

1、橢圓周長公式的推導、證明、檢驗、評價與應用三探橢圓周長的計算(終結篇)四川省美姑縣中學周鈺承關鍵詞：橢圓周長，標準公式，近似計算，初等公式。內容提要：本文搜集了各種橢圓周長公式。無論是標準公式還是近似公式， 本文將對部分公式給予證明，或推導，或否定，或檢驗、評價與應用，希 望廣大讀者喜歡。目錄：一、橢圓周長標準公式的推導與橢圓周長準確值的計算二、兩個高精度的橢圓周長初等公式三、橢圓周長公式集錦與評價一、橢圓周長的標準公式的推導與橢圓周長精確值的計算宇宙間宏觀物體的運動軌跡大都是橢圓，但其周長不能準確的計算出來。經(jīng)過數(shù)學家 的計算與證明，最終得出橢圓周長沒有準確的初等公式，但可以用橢圓積分的級數(shù)

2、形式表示。 下面對橢圓周長的一個標準公式進行證明和計算。在平面直角坐標系內，橢圓的標準方程是：+七=1，a 0,b 0.a2 b2參數(shù)方程是：x = a cos 0, y = b sin 0,(0 0 2兀)函數(shù)圖像為：若某條光滑曲線，能用參數(shù)方程表示：x = X (t)，y = Y (t)a t P，該曲線長度可表示為：L = f ,;x(t )2 + Y(t)2 dt故橢圓周長為：4 j 2 w2 0_+b 2 cos 2 0 d 0Cos2 0+ b 2 cos 2 0 d 00j l/E0a j 2 J1 - e 2 cos 2 0 d 00其中 .a2 - b2V a2是橢圓的離心率

3、。a下面用泰勒公式展開（1 - e 2 cos 2 0先由(1 + X )k+ k + k - - 1) 2 + k (k - 1)( k - 2) 3 +2!3!令K=1/2可得:(-1 )n-1 (2n - 3)!xn2n n!令 x = - e2 cos 2 0 可得: e2 cos 2 0v 1 e2 cos 2 0 1 2 (2n - 3)!e2n cos 2n 0乙 2n n!n 2所以:兀 e2 cos 2 0 V (2n - 3)!e2n cos 2n 0 八 C = 4 a j 2 1Xd 0022 nn!n 2,兀 e2片 c s=4 a - j 2 cos 2 0d 02

4、2 0Z(2 n 3)! e 2 n j* 匚 !一 j 2 cos 2n 0d0n = 2 L2 nn!0這個式子可以化簡。因為：j 2 cos 2 n 0 d 0 = Lxx 又x- x 02462 n 2(2 n-1)!兀x 2n n!2所以:生e2（1兀）一一_x -T221 2 2 Jn = 2L = 4 a1T. 3 5 （2n - 3）（2n - 1）nn!）（2n 一 1）（1 3 5.（2n 1）2e2 nI 2 . 4 . 6 2 n j卜2n - jn = 12（2 n 1）!（2n）! J（1）2 土（13 ）（13 5）（135 7）e81 _ . . _ . LL

5、2 j1L 24 j3L 2 4 6 j5L 2 46 8 j7j這就是橢圓周長著名的項名達公式，這是一個準確的橢圓周長公式，雖然準確但實 際計算時卻只能取精確值（誰能長生不老？）。C = 2 兀 a其中a為長半軸，e =、：土空 為橢圓離心率。（1） a2根據(jù)項名達公式（1），可寫出計算橢圓周長C的計算機程序，并得到橢圓周長真值分布 表1：:長半軸長度。a、b可根據(jù)實際問題改為其它值:短半軸長度，應不大于a，否則兩者互換:,橢圓離心率:,（1）式括號中的第二項:,（1）式括號中的前二項Private Sub Form_Click （） a = 1 b = 0.15 e = sqr（1-b*b

6、/a/a） k0 = 0.25*eA2 s = 1-k0 for I = 2 to 1000000 :,級數(shù)算到百萬項，一般計算機只需幾秒鐘k = k0*（2*I-1）A2/（2*I）A2*（2*I-3）/（2*I-1）*e*e:, （1）式括號中的某一項s = s - k:，將各項累加到s中去，最終就得到（1）式括號中的值k0 = k:,為計算下一項，將前一項結果賦給k0next I:,循環(huán)print 2*3.1415926535*a*s:,打印或顯示計算結果End Subab橢圓周長10.004.000000000010.014.001098329710.104.063974180110.

7、254.289210887510.504.844224110010.755.525873040010.905.973160432510.996.251808847911.006.2831853070表1.橢圓周長真值的分布為了估計誤差，我們設人=（2）項名達公式雖然易于設計程序，但另一個級數(shù)公式收斂得更快，且只含加法運算，如 果我們不方便編程，可以事先進行誤差估計，從而更有效地按照精確度要求計算橢圓周 長。為了方便，我們稱下面這個公式為周鈺承橢圓周長標準公式。1 +r 1、2r a 一 b、2r 1、2r a 一 b、4r 1 3、2r a 一 b、6r 5!、2rab、82a+ b+2 4a

8、 + b+2 46 7a + b /+8!a+ b+C =兀-(a + b)則周鈺承標準公式為:入8 + .這個公式中，主干為兀.（a + b），我們可以把（3）稱為誤差多項式。假如要求我們誤差率低于S，我們設需要計算到誤差多項式第n項，不妨設 2，則 誤差率為誤差多項式（3）第n+1項及其以后無窮多項之和必須滿足下列不等式：(2n _ 1)! UX 1 2 n+2I (2 n + 2)!(2n _ 1)! U+X 2 n+41(2 n + 2)!(2n-1)!、2 +1(2 n + 2)!X2 n+6 + .r 1 、2 2）：2X2 n+6 +-1.86745.則周鈺承標準公式 中，中括號

9、里應該算到4次方項。因為誤差公式證明中n大于或等于2是前提條件。二、兩個高精度的橢圓周長初等公式如果利用周鈺承標準公式來計算橢圓周長，通常只需要級數(shù)前兩三項就可以達到相當 高的精確度。但當0.95, 0.0001時，算得: 2） - 1 = 57.42,即用到誤差多項式第58項即116次方項，誤差才能保證小于萬分之一。為此，我們可以根據(jù)周鈺, 八 *，、， 一 , b ,，、 一承標準公式，構建一個新的函數(shù)模型，用以解決- ，可用公式(6)。L = C，得：64(a + b)4 - 3(a - b)41L w ;x -(a + b)64(a + b)2 - 16(a - b)2 4?！?4 x

10、 625 3 x 1 5 x【64 x 25 - 16 x 1 x 43 9 9 9 兀 7-一。（這個數(shù)誤差低于一億分之一）3 16 8 0b接下來處理表2中特別是當- 0.1時的誤差。將公式改寫成關于人的函數(shù)式，,C 則：n (a + b) 64 - 3 人 4 )(64 16 人 2 )工-1) .人9.65 + 5爐461n(7)公式（7）稱周鈺承橢圓周長初等公式。值得注意的是，通常情況下我們用公式（6）b因為b o.i時，（6m1）這部分的值非常小，沒有計算的必要。公式（7）計算橢圓周長的誤差約為一億分之五，見表3：ab公式（7）C橢圓周長真值誤差10.004.0000000004.

11、00000000000.000000000010.014.0010985164.0010983297+0.00000004710.104.0639740754.0639741801-0.00000002610.254.2892108724.2892108875-0.00000000310.504.8442238994.8442241100-0.0000000410.755.5258730405.5258730400-0.000000000110.905.9731604335.9731604325-0.000000000010.996.2518088486.2518088479-0.000000

12、000011.006.2831853076.28318530700.00000000000表3：周鈺承橢圓周長初等公式函數(shù)值分布表用上述這個周鈺承初等公式計算，只需要帶有函數(shù)的計算器或者百度計算器等，便可 解決任何情形下的橢圓周長計算問題。下面介紹中國橢圓周長公式，它是目前精度最高的初等公式。3 人 214 n ,C =兀Q 1 +:入+ （4 - _）Q人14.233 +13.981 M 6-42a b其中 Q = a + b, X =。 （8）a+bb公式中第二項為筆者所改變，改變后在b 2且取誤差公式：n m 2(1-X2 1，其中X =,2 ln Xa + b誤差率S要求低于萬分之一時

13、，此計算項數(shù)太多。綜合評分95。滿足不等式的最小整數(shù)。(當n的最小整數(shù)取值小于2時，取n=2.)，在給定誤差率的情況 下，這個值是準確的。保留兀時很多情況下可以筆算甚至口算。例如，當X是大于或者等 于0.3的一位小數(shù)或者或者分母小于10的既約真分數(shù)， 時n=2,故可筆算甚至口算。缺點是當X取值非常大時 十三、L13= (7 b)4 - 普4)，其中 x = J峭4 - 16 X 2 )a + b數(shù)值合適可以筆算甚至口算，綜合此公式精確度高，實用性強，保留圓周率和分數(shù)形式時，得分85。十四、C =丸 Q 1 +10 + J4 - 3 人214丸+ (4-) Q 沁4.233 +13.981 人

14、6.42其中Q = a + b,X =絲二幺。這是中國橢圓周長公式的加強版，為有限次計算的初等公式， a + b是檢驗其它近似公式的試金石，只需要中學生的水平，即可用帶有函數(shù)的計算器完成全部計算，在任何情形下誤差率均低于十億分之一，綜合得分90。1 + (竺-1) .人9.65 + 5人6.0461兀兀(a + b) 64 - 3X4 )一十五、C(54 -16 X2)b此公式與十四雷同，但更優(yōu)的是當b大于0.1時，有時候可以筆算甚至口算(省去計算 a(四-1) X9.65 + 5加)，但精度較十四略差，約為一億分之五。綜合得分90。61兀十六、2 Q(13、e4(13 5、e6f 1 3 5 78C = 2兀。1-_ ；2)12 4；32 4 6)52 4 6 8 77a2 -b-其中。為長半軸，e = j為橢圓離心率。著名的項名達公式，推導和證明其它標準公式或者近似公式的根據(jù)，且在某些情況下仍然可以筆算甚至口算，綜合得分100。其 I I