向量代數(shù)與空間解析幾何第四節(jié)空間曲面與空間曲線課件

1、第四節(jié) 空間曲面與空間曲線一 曲面方程的概念二 曲線方程的概念三 二次曲面的截痕法1第1頁，共38頁。水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等曲面方程的定義：曲面的實(shí)例：1 曲面方程的定義如果曲面與三元方程有下述關(guān)系：(1) 曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程；（2）不在曲面那么，方程就叫做曲面的方程，就叫做方程的圖形而曲面一 曲面方程的概念2第2頁，共38頁。解根據(jù)題意有所求方程為例1 求與原點(diǎn)及的距離之比為的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程.設(shè)是曲面上任一點(diǎn)，3第3頁，共38頁。根據(jù)題意有化簡(jiǎn)得所求方程解例2 已知求線段面的方程.的垂直平分設(shè)是所求曲面上任一點(diǎn)，4第4頁，共38頁。根據(jù)題意有

2、圖形上不封頂，下封底解例3 方程 的圖形是怎樣的？用平面去截圖形得圓：當(dāng)平面上下移動(dòng)時(shí)，得到一系列圓, 的增大圓心在半徑為半徑隨而增大.5第5頁，共38頁。以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程6第6頁，共38頁。(1) 球面根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為設(shè)球心在點(diǎn)半徑為下面建立球面方程.2 幾種常見的曲面設(shè)是球面上任一點(diǎn)，(球面方程的標(biāo)準(zhǔn)式)7第7頁，共38頁。將方程（1）展開得由此可見球面方程的特點(diǎn)1) 是的二次方程2）的系數(shù)為1（或相等）3）不含項(xiàng)(球面方

3、程的一般式)球面方程又可表示為8第8頁，共38頁。定義(2) 柱面并沿定曲線所形成的曲面稱為柱面.移動(dòng)的直線柱面這條定曲線叫的準(zhǔn)線，平行于定直線叫母線.柱面的動(dòng)直線9第9頁，共38頁。下面建立母線平行于軸，準(zhǔn)線為平面曲線的柱面方程。設(shè)為柱面上任意一點(diǎn)，過作平行軸的直線交平面曲線上的點(diǎn)因此將代入得柱面方程由于在平面曲線上，10第10頁，共38頁。從柱面方程看柱面的特征： 只含而缺的方程系中表示母線平行于在空間直角坐標(biāo)軸的柱面， 只含而缺的方程系中表示母線平行于面上在空間直角坐標(biāo)曲線軸的柱面，其準(zhǔn)線為 只含而缺的方程系中表示母線平行于面上在空間直角坐標(biāo)曲線軸的柱面，其準(zhǔn)線為面上曲線其準(zhǔn)線為11第1

4、1頁，共38頁。柱面舉例母線平行于軸的橢圓柱面軸的平面母線平行于軸的拋物柱面母線平行于12第12頁，共38頁。軸的雙曲柱面母線平行于13第13頁，共38頁。定義 一條平面曲線繞其所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.(3) 旋轉(zhuǎn)曲面線這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸這條定直旋轉(zhuǎn)軸14第14頁，共38頁。求由平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面方程。設(shè)旋轉(zhuǎn)面上任意一點(diǎn)則是由平面的曲線繞上軸旋轉(zhuǎn)而得的，一點(diǎn)將上式代入得方程面上曲線繞軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程.15第15頁，共38頁。同理：坐標(biāo)面上的已知曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為坐標(biāo)面上的已知曲線繞一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)16第16頁，共38頁。

5、 例4 將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程旋轉(zhuǎn)雙曲面1）雙曲線分別繞軸和軸；繞軸旋轉(zhuǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)17第17頁，共38頁。旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面2）繞軸；面上橢圓3）繞軸；面上拋物線18第18頁，共38頁。4）面上直線圓錐面繞軸；19第19頁，共38頁。(4) 錐面通過定點(diǎn)動(dòng)直線沿定曲線移動(dòng)所形成的曲面稱為錐面，定點(diǎn)稱為錐面的頂點(diǎn)，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。稱為錐面的母線，動(dòng)直線20第20頁，共38頁。例5 建立以橢圓為準(zhǔn)線，坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面方程。解 設(shè)點(diǎn) 錐面 上任意一點(diǎn)， 過點(diǎn) 的母線交橢圓于點(diǎn)由錐面方程為橢圓錐面21第21頁，共38頁?？臻g曲線的一般方程 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足

6、方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)：1 空間曲線的一般方程 二 曲線方程的概念22第22頁，共38頁。例1 方程組解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.表示怎樣的曲線？23第23頁，共38頁?？臻g曲線的參數(shù)方程2 空間曲線的參數(shù)方程當(dāng)給定時(shí)，就得到曲線上的一個(gè)點(diǎn)隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全部點(diǎn).24第24頁，共38頁。螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解例2 如果空間一點(diǎn)在圓柱面出發(fā)，以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，沿平行軸的正方向上升（其中都是常數(shù)），構(gòu)成的圖形叫做螺旋線試建立其參數(shù)方程同時(shí)又以線速度于那么點(diǎn)在面的投影動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)

7、過t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),上從點(diǎn)25第25頁，共38頁。螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為例3 將曲線方程化為參數(shù)式方程。解將代入得參數(shù)式方程為26第26頁，共38頁。以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影消去變量后得：設(shè)空間曲線的一般方程：稱此曲面為曲線的投影柱面關(guān)于稱曲線為曲線在的投影曲線。27第27頁，共38頁。類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線,消去得曲線的投影柱面：關(guān)于面上的投影曲線,消去得曲線的投影柱面：關(guān)于28第28頁，共38頁。例4 求曲線解在坐標(biāo)面上的投影.（1）消去變量后得關(guān)于的投影柱面在面上的投影為29第29頁，共3

8、8頁。（2）因?yàn)榍€在平面上，所以關(guān)于面上的投影柱面為面上的投影為線段.在（3）同理關(guān)于面上的投影柱面面上的投影為在30第30頁，共38頁。截線方程為解例5 求拋物面與平面 的截線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線方程.（1）消去得投影（2）消去得投影（3）消去得投影31第31頁，共38頁。例6解半球面和錐面的交線為一個(gè)圓,32第32頁，共38頁。三 二次曲面的截痕法二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之二次曲面 相應(yīng)地三元一次方程所表示的曲面（平面）被稱為一次曲面討論二次曲面性狀的截痕法： 用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面33第33頁，共38頁。1 橢球面橢球面與平面的交線為橢圓橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.同理與平面 和 的交線也是橢圓.34第34頁，共38頁。橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：與平面 的交線為圓.截面上圓的方程球面35第35頁，共38頁。2 拋物面（ 與 同號(hào)）橢圓拋物面用截痕法