電磁場與電磁波(第7章)

1、第7章 非導電介質中的電磁波7.非導電介質中的電磁波動方程(fngchng)1. 非導電介質中的電磁波方程(fngchng) 4. 復數折射率的相關結論 重點：3. 平面電磁波在有損耗介質中的傳播 2. 平面電磁波在無損耗介質中的傳播 5. 相速度、色散、群速度回憶一般媒質中的麥克斯韋方程組： 共四十頁 三個本構關系(gun x)設我們所討論的媒質(mizh)是無界、線性、均勻和各向同性的，并且我們所關心的空間中不存在電荷和電流，即自由空間情形。及 此時滿足：一般媒質中的麥克斯韋方程組變?yōu)椋?或共四十頁同理得與波動方程的一般(ybn)形式比較可知在一般(ybn)介質中，電磁波的傳播速度 無界、

2、線性、均勻和各向同性的一般媒質中的磁波方程 無界、線性、均勻和各向同性的一般媒質中的電波方程 共四十頁均勻(jnyn)平面電磁波分析 均勻(jnyn)平面波 在如圖所示的均勻平面電磁波中，電磁波向著Z方向傳播，根據均勻平面波的定義可直接得出： 代入麥克斯韋方程，可得 共四十頁從上式兩端(lin dun)比較可得于是(ysh) 而與時間無關的恒定分量一定是與波動無關的部分 各式表明: 與時間t無關故可取: 假設取電場與x軸方向一致，即 共四十頁所以(suy) 因為 并且 由此可得 和 均與時間無關，因此它們不是波動的部分，故可取 從而(cng r)有 同理可得 共四十頁定義(dngy)7.2平面

3、電磁波在無損耗(snho)介質中的傳播平面波中的電場復數表示形式 理解無損耗介質是一種理想情況，在這里指電導率 電場矢量的方向是 方向，電磁波則是沿 z 方向傳播波速為 這里的 k 稱為傳播常數或波數 這時，一維波動方程的形式就變成共四十頁解的形式(xngsh)為 項表示了離開原點向正z方向傳播的波，反之， 則表示了沿負z方向傳播的波。 對于無界、均勻、理想介質中的電磁波 ，可取考慮到均勻平面波只存在 和 分量 式中 稱為媒質的波阻抗、或本質阻抗（本征阻抗），在自由空間 共四十頁7.3平面電磁波在有損耗(snho)介質中的傳播實際的介質都是有損耗的，因此，研究波在有損耗介質中的傳播具有實際意義

4、。有損耗介質也稱為耗散介質，在這里是指電導率 ,但仍然保持均勻、線性及各向同性等特性。 有損耗(snho)介質中出現(xiàn)的傳導電流會使在其中傳播的電磁波發(fā)生能量損耗(snho)，從而導致波的幅值隨著傳播距離的增大而下降。研究表明，傳播過程中幅值下降的同時，波的相位也會發(fā)生變化，致使整個傳輸波的形狀發(fā)生畸變，如圖所示平面波在有耗介質中的傳播 定義共四十頁1. 等效(dn xio)介電系數對于(duy)隨時間按照正弦規(guī)規(guī)律變化的電磁場，其復數形式的麥克斯韋方程中有可改寫為式中 稱為復介電系數，即 復介電系數虛部與實部之比為 ,它代表了傳導電流和位移電流密度的比值。該比值是一個相角，工程上稱之為損耗正切

5、，表示為 式中 稱為損耗角 共四十頁有耗介質的本征阻抗是一個復數，其結果(ji gu)使均勻平面波中電場強度矢量與磁場強度矢量之間存在相位差。 總結(zngji)除了用復介電系數 代替無耗介質中的 以外，有耗介質中的復數麥克斯韋方程在形式上與無耗介質中的麥克斯韋方程完全相同。所以可直接寫出有耗媒質中的本征阻抗為 式中 稱為相對復介電系數 2.波動方程及其解有耗媒質中均勻平面波的一維波動方程為傳播系數 稱為復波數。 我們引入另外一個變量令 也可稱之為傳播系數 共四十頁令 于是上面(shng min)的一維波動方程的解可寫為 （其中 為實數） 可以發(fā)現(xiàn)， 的存在會引起場量 和 呈指數型衰減，因此，

6、我們將 稱為衰減常數(attenuation constant)，單位為奈貝/米（Np/m）；而 的存在則會引起場量 和 的相位發(fā)生變化，因此，我們將 稱為相位常數，單位為弧度/米（rad/m） 共四十頁由于有耗媒質中均勻平面波的相速 ，即 v 與頻率有關于是同一媒質中，不同頻率的波將以不同的速度傳播，該現(xiàn)象稱為波的色散，相應媒質被稱為色散媒質。 從上面的式子，你會注意到式中出現(xiàn)(chxin)了前面定義過的損耗正切。損耗正切的取值不同將會影響到介質的性質發(fā)生變化，通常，我們有如下一些對應的分類： 1、理想介質： 這時 2、良介質(jizh)： （一般取 ）這時 共四十頁3、理想導體 ： ，這時

7、 ，說明電磁波在理想介質中立刻衰減到零， 說明波長為零，相速為零。這些特點表示電磁波不能進入理想導體內部。 4、良導體： （一般(ybn)取 ）這時 5、半導體 ： 可與 相比擬， 的表示為一般形式。共四十頁有耗介質(jizh)中的均勻平面波的特性 以z方向傳播的波為例，在均勻、線性各向同性的導電媒質中，均勻平面波有以下特點： 1、和理想介質中一樣，仍是TEM波，即 EZ=0，HZ=0，在橫向分量中，也分別組成兩組獨立分量波，每一組獨立分量波也可能存在沿正z軸方向傳播的行波（入射波），和沿負z軸方向傳播的行波（反射波）。2、入射波和反射波的傳播常數 是復數。 其實部為衰減常數，虛部為相位常數，

8、在波的傳播過程中，除了相位按每米弧度滯后外，幅度按因子關系衰減。3、入射波及反射波都以相同的相速度 向相反的方向傳播，但是頻率的函數，媒質中的損耗，使波長為變短。 入損耗入無損耗4、有損耗媒質將使電磁波傳播速度變慢， 有耗媒質是色散媒質。5、有耗介質的復波阻抗不再是實數，是一個復數，為電場與磁場(cchng)分量的復數幅值之比，存在一個幅度。因此電場與磁場(cchng)分量不再是同相位， 6、電場和磁場的能量不再相等，磁能大于電能共四十頁分別討論兩種極端(jdun)的情況 低損耗介質中的均勻平面波 低損耗介質是一種電導率很小，但不為0的非理想絕緣材料，也稱良好介質，滿足，這時，相位常數，衰減常

9、數和波阻抗的近似值是：在低損耗(snho)介質中，均勻平面波的電場強度與磁場強度相位近似相同，其相位常數及波阻抗與無損耗(snho)時近似相同，但振幅按指數衰減。 相速： 共四十頁與上述低損耗介質相反， 導體(dot)是一種高損耗媒質。在這種媒質中，傳導電流比位移電流大得多。其衰減系數和相移常數分別為波阻抗為相速度為 相速 與成正比，說明良導電媒質是一種色散媒質，而且越大，相速越小。把同一頻率的電磁波在自由空間的傳播速率與在媒質中的傳播速率之比稱為折射率。因此，良導體的折射率是很大的。由 可知，導電媒質中，電磁波的衰減，隨著頻率、磁導率、電導率的增加而增大。特別是良導體的電導率都在數量級，隨著

10、頻率的升高，將很大。-趨膚效益分別討論兩種極端(jdun)的情況 共四十頁導體(dot)的趨膚效應趨膚效應 交流電或電磁波通過導體時,各部分的電流密度或場分布不均勻,導體內部電流密度或場量小,導體表面場量或電流密度大,這種現(xiàn)象稱為趨膚效應交變磁場會在導體內部引起渦流,電流在導體橫截面上的分布不再是均勻的,這時,電流將主要地集中到導體表面。這種效應稱為趨膚效應。 產生趨膚效應的原因是由于感抗的作用,導體內部比表面具有更大的電感L,因此對交流電的阻礙作用大,使得(sh de)電流密集于導體表面.趨膚效應使得(sh de)導體的有效橫截面減小,因而導體對交流電的有效電阻比對直流電的電阻大.交流電的頻

11、率越高,趨膚效應越顯著,頻率高到一定程度,可以認為電流完全從導體表面流過.因此在高頻交流電路中,必須考慮趨膚效應的影響例如收音機磁性天線上的線圈用多股互相絕緣的導線繞制,電視室外天線不用金屬棒而用直徑較粗的金屬管制作,都是為了增加導體的表面積,克服趨膚效應帶來的不利影響的實例. 共四十頁趨膚效應(q f xio yn) 工程上常用穿透深度表示趨膚程度(chngd)，它等于電磁波場強的振幅衰減到表面值的所經過的距離。 即為穿透深度。當f=50Hz時，=9.4mm f=1MHz時，=6.6m f=MHz時，=0.66m 在高頻情況下，導體中的電流絕大部分集中在導體表面附近，這種現(xiàn)象稱為集膚效應。

12、而: 對于 的理想導體，=0說明電磁波不能透入理想導體。 共四十頁趨膚效應的工程(gngchng)應用渦流效益-煉鋼、淬火、感應加熱、微波爐餐具、變壓器鐵芯的疊片設計，多片屏蔽效益-導體屏蔽電磁波，絕緣材料不能屏蔽電磁波、多層傳輸線效益-平行雙線、同軸電纜、微帶線、波導管、塑料絕緣材料，采用扁平或多股濾波器設計-鍍膜技術高頻或高速電路板設計與工藝技術器件(qjin)的封裝選型-貼片、扁平PCB布線-扁平、微帶線、帶狀線、共面波導線、線距、線寬、線均勻PCB板打孔-空心孔PCB板材的選擇PCB板的多層選擇地平面與電源平面的設計。共四十頁應對趨膚效應(q f xio yn)的方法應對趨膚效應的方法

13、是： 一、可以采用多根導線(doxin)，總截面積沒變，但是有效面積增加了； 二、將導線表面鍍銀，減小表面電阻。 三、多層保護層 四、材料的選擇共四十頁7.4低密度氣體(qt)中的電磁波假設 是一個關于空間和時間連續(xù)的函數，故而可交換微分次序 我們仍然假設場中不存在自由電荷和自由電流，于是由第三章可知，非導電介質中的麥克斯韋(mi k s wi)方程可以寫成： 共四十頁將上式中 的散度用 來表示，可以得到 這個(zh ge)方程看上去很有可能變?yōu)槿缦滦问降娜S波動方程，即 顯然這要取決于 和 之間所存在的是何種關系 共四十頁考慮(kol)單色平面極化波 介質的折射率這表明，在介質內部電荷的位移

14、(wiy)是沿著所施加的電場方向的，所以極化矢量 也就在 方向上，并且隨著角頻率變化，于是有 極化矢量 象 一樣僅有x方向上的分量,并且該分量也象 一樣僅與z和t有關。所以有共四十頁代入波動方程類似(li s)地可得 并且(bngqi) 對于其間分子呈均勻分布的介質（如本節(jié)的低密度氣體）來說，極化矢量與電場矢量的關系（見第三章3.3節(jié)）為 共四十頁若僅含x方向(fngxing)的分量，故有這就是平面電磁波在上述模型所表示的一般介質（如低密度氣體）中傳播時所必須滿足的條件，它建立了折射率n與分子模型參數 的聯(lián)系。 對于低密度氣體(qt)，n的值會接近于1，即有 其中如果我們所關心的只是電磁波穿過

15、大量的介質(分子級)時所發(fā)生的情況（通常都是如此），我們就可以假設介質的任何影響都只是對分子結構所產生的平均影響。因此,在計算介質極化問題時也就可以使用介質中的平均值。 于是從 可得 共四十頁7.5高密度氣體(qt)中的電磁波前面得出的關于折射率的表達式只適用于低密度氣體，這是因為高密度介質中的分子內，電荷分離所產生的場的作用使得電極化場更為(n wi)復雜。就單個分子而言,它們在任何時刻都與其相鄰分子所受到的場的作用基本相同。 高密度介質中的電磁波 利用洛侖茲方程所給出的局部場式中正是由于局部場才使介質中產生極化，于是有 即共四十頁克勞休斯-莫索提方程(fngchng)（Clausius-M

16、osotti equation） 介質的極化與場之間雖仍然(rngrn)是線性關系，但是比例系數卻已經變了。 在平面波中有 因為 用相對介電系數可將克勞休斯-莫索提方程寫成另外一種形式 所以 共四十頁7.6復數折射率的相關(xinggun)結論上面得出(d ch)了兩個等式 它們都描述了分子極化率與折射率之間的關系，具體使用哪個等式則將取決于介質的密度。 由于因此，折射率中就可能因為含有阻尼項 而成為復數。 已知，單色（monochromatic）、線性(linear)極化(polarization)平面電磁波的電場為 共四十頁3. 波的頻率等于分子的諧振頻率時，分子極化率就變成了純虛數。在這

17、種情況(qngkung)下，波的能量被介質耗散的程度最大。實際介質中存在著幾個這樣的諧振頻率點,在這些點上波的輻射達到最小。 結論(jiln)：1. 復數折射率的實部決定了波的速度，而且很容易得出折射率實部的定義為兩個速度之比，即 。2. 當波在介質中傳播時，復數折射率的虛部使波的幅值按指數規(guī)律衰減，虛部值越大，波的衰減就越快。顯然,這是由分子模型中衰減因子所決定的。共四十頁低密度氣體(qt)中波的傳播速度問題7.7相速與能流速度(sd)在低密度氣體中，折射率的近似表示式為 實部 虛部 共四十頁假如當頻率 時發(fā)生諧振，上述兩式都可以化為最簡形式我們知道(zh do),折射率的實部被定義為自由空

18、間中的電磁波速（光速）與介質中的波速之比，即 從前面的式子可知，雖然 在任何頻率下均為正值，但當頻率 大于諧振頻率 時, 為負，這時折射率的實部 如果 ,則意味著電磁波速 v 將超過光速 c ，這不就與愛因斯坦的狹義相對論發(fā)生矛盾了嗎？ 共四十頁我們將速度 v 稱為相速，即正弦波的最大速度。一般(ybn)情況下，速度 v 是恒定相位面在波中向前推進的速度，所以我們也可以根據電場極小值通過空間一固定點的速度來定義這個速度。具體來看，如果平面波中的電場表示為相速則當經過時間 后，各點電場發(fā)生的相位變化為 ，因此電場沿z軸的分布也發(fā)生了變化，所以，在波的傳播過程中，每一等相位面沿z軸向前移動的距離均

19、為 ，等相位面移動的速度就是相速。 共四十頁能流速度(sd)在例6.2中，我們知道自由空間中的能流速度和相速均為c，但是介質中的復數折射率告訴我們，這兩種速度在介質中不再相等(xingdng)了，換言之，我們不可能以大于光速的相速v發(fā)射信號(能量)，即，超越物理速度的極限c是不可能的。 注能流速度為坡印廷矢量的時間平均值 除以能量密度的時間平均值在自由空間， ， ，此時 。所以，上式中當折射率接近真空中的折射率值時，能流速度接近于光速C。共四十頁7.8色散(ssn)色散現(xiàn)象：不同頻率的波將以不同的速率在介質中傳播的現(xiàn)象， 波的相速與介質折射率有關,而介質折射率又與頻率有關，所 以波的相速將隨頻

20、率而變，顯然波的色散是由媒質特性所決定的。 媒質：1.有色散媒質；2.無色散媒質。色散介質中相速與群速的關系：有色散媒質（1）正常色散媒質；（2）非正常色散媒質。在正常色散媒質中， 波長(bchng)大的波，相速較大，即du/ d 0 在非正常色散媒質中，波長小的波，相速較大，即du/ d 0； 在無色散媒質中，不同波長的波相速相等，即du/ d = 0。定義共四十頁非正常色散(ssn)區(qū) 3.在非正常色散(ssn)區(qū)折射率的虛部存在著極大值，因而波的能量損失嚴重。 2.如果用一個三棱鏡將一束陽光進行分譜,那么在非正常色散區(qū)各種頻譜的排列順序就會被顛倒。 1.由于折射率隨著頻率的“規(guī)則”變化而與之相反變化, 是負的，因而在諧振頻率附近的頻域就是“非正常色散區(qū)”。 共四十頁7.8群速是指其折射率的虛部為非零值的媒質,這時波在傳播(chunb)的過程中會逐漸衰減。 群速設兩個略有(l yu)差別的波 式中A為常數。將兩個波迭加并經整理得 一個角頻率為的正弦波被另一個正弦波調制的情形色散介質指波的傳播速度即相速取決于介質折射率的實部,因而隨頻率而變，不同頻率的波將以不同的速率在其中傳播。耗散介質共四十頁群速的定義是基于無損耗介質得出的。對于(du