第4章統(tǒng)計學數(shù)據(jù)的概括性度量

1、第4章 數(shù)據(jù)(shj)的概括性度量共六十八頁數(shù)據(jù)分布特征(tzhng)的測度集中(jzhng)趨勢的度量 反映數(shù)據(jù)向其中心值靠攏或聚集的程度離散程度的度量 反映數(shù)據(jù)遠離其中心值的趨勢分布的形狀 反映數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)和峰態(tài)共六十八頁4.1 集中(jzhng)趨勢的度量一組數(shù)據(jù)(shj)向其中心值靠攏的傾向和程度測度集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值 分類數(shù)據(jù) 眾數(shù) 順序數(shù)據(jù) 中位數(shù)和分位數(shù) 數(shù)值型數(shù)據(jù) 平均數(shù)共六十八頁眾 數(shù) 眾數(shù)（MODE）：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用Mo表示； 主要用于測度分類數(shù)據(jù)的集中(jzhng)趨勢，也 可用于順序數(shù)據(jù)

2、和數(shù)值型數(shù)據(jù)； 眾數(shù)是位置代表值，不受極端值影響； 可能沒有眾數(shù)、有一個眾數(shù)或幾個眾數(shù)共六十八頁眾數(shù)(zhn sh)的不唯一性無眾數(shù)(zhn sh)原始數(shù)據(jù)： 10 5 9 12 6 8一個眾數(shù)原始數(shù)據(jù)： 6 5 9 8 5 5多于一個眾數(shù)原始數(shù)據(jù)： 25 28 28 36 42 42共六十八頁 分類數(shù)據(jù)(shj)的眾數(shù)表3-4 某城市居民關注廣告類型的頻數(shù)分布 廣告類型人數(shù)(人)比例頻率(%) 商品廣告 服務廣告 金融廣告 房地產廣告 招生招聘廣告 其他廣告472299850.470.220.090.090.080.0547229985合計1001100解：這里的變量為“廣告類型”，不同類型

3、的廣告就是變量值。關注商品廣告的人數(shù)最多，為47人，占總被調查人數(shù)(rn sh)的47%，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類別，即 Mo商品廣告【例4.1 】某城市居民關注廣告類型的眾數(shù)共六十八頁 順序(shnx)數(shù)據(jù)的眾數(shù)表3-5 甲城市家庭對住房狀況評價的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù) (戶)百分比 (%) 非常不滿意 不滿意 一般 滿意 非常滿意24108934530836311510合計300100.0解：這里的數(shù)據(jù)為順序(shnx)數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”。甲城市中對住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即 Mo不滿意【例4.2 】求甲城市家庭對住房狀況評價的眾數(shù)

4、共六十八頁數(shù)值型數(shù)據(jù)(shj)的眾數(shù) （未分組）【例4.3 】在某城市中隨機抽取9個家庭，調查得到每個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)(shj)如下（單位：元）。要求計算人均月收入的眾數(shù)。 1080 750 1080 1080 850 960 2000 1250 1630 解：人均月收入出現(xiàn)次數(shù)最多的是1080，因此， Mo 1080元共六十八頁數(shù)值(shz)型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)2. 相鄰兩組的頻數(shù)相等(xingdng)時，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)1. 眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關Mo3. 相鄰兩組的頻數(shù)不相等時，眾數(shù)采用下列近似公式計算MoMoL為眾數(shù)組的下限值，i為眾數(shù)組的組距，f為眾數(shù)組的頻數(shù)，f-1

5、為眾數(shù)組前一組的頻數(shù)，f+1為眾數(shù)組后一組的頻數(shù)。共六十八頁表3-6 某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合計50【例4.4】根據(jù)第三章表3-6中的數(shù)據(jù)，計算50名工人日加工(ji gng)零件數(shù)的眾數(shù)共六十八頁順序(shnx)數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)共六十八頁中位數(shù)Me50%50% 不受極端(jdun)值的影響 主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù) 排序后處于中間(zhngjin)位置上的變量值共六十八頁計算(j sun)中位

6、數(shù)的步驟 1. 排序 2. 確定中位數(shù)的位置(wi zhi)（按公式）N為數(shù)據(jù)的個數(shù)共六十八頁順序(shnx)數(shù)據(jù)的中位數(shù)(算例)表3-2 甲城市家庭對住房狀況評價的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù) (戶)累計頻數(shù) 非常不滿意 不滿意 一般 滿意 非常滿意2410893453024132225270300合計300解：順序數(shù)據(jù)本身就是排序的，根據(jù)中位數(shù)位置的確定公式(gngsh)：從累積頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一類中，即Me = 一般共六十八頁數(shù)值(shz)型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)奇數(shù)個數(shù)據(jù)的算例 原始數(shù)據(jù): 24 22 21 26 20 排 序: 20 21 22 24 26 位 置: 1 2 3

7、4 5中位數(shù) = 22共六十八頁偶數(shù)(u sh)個數(shù)據(jù)的算例 原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8 排 序: 5 6 8 9 10 12 位 置: 1 2 3 4 5 6位置N+126+123.5中位數(shù)8 + 928.5共六十八頁數(shù)值(shz)型分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 1. 計算累積頻數(shù) 2. 確定(qudng)中位數(shù)所在組 3. 采用下列近似公式計算：L為中位數(shù)所在組的下限值，N為數(shù)據(jù)的個數(shù)Sm-1為中位數(shù)所在組以前各組的累積頻數(shù)，fm為中位數(shù)所在組的頻數(shù)，i為中位數(shù)所在組的組距共六十八頁【例4.5】根據(jù)(gnj)第三章表3-5中的數(shù)據(jù)，計算50 名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)表3-5 某車間50名

8、工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合計50共六十八頁四分(s fn)位數(shù) 排序后處于(chy)25%和75%位置上的值QLQMQU25%25%25%25% 不受極端值的影響 主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)共六十八頁四分(s fn)位數(shù)的計算1. 排序2. 確定四分(s fn)位數(shù)的位置 下四分位數(shù)為QL，上四分位數(shù)為QU，公式為：QL位置 =QU位置 =共六十八頁 如果位置是整數(shù)，四分位數(shù)就是該位置上的值； 如果是在0.5位置

9、上，則取該位置兩側值的平均數(shù)； 如果是在0.25或0.75位置上，則四分位數(shù)等于(dngy)該位置的下側值加上按比例分攤位置兩側數(shù)值的差值。共六十八頁 【例4.6】由一組10個學生的月支出的調查數(shù)據(jù)，要求(yoqi)計算該組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)。 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 2500 共六十八頁數(shù)值型分組數(shù)據(jù)(shj)的四分位數(shù) 1. 計算累積頻數(shù) 2. 確定四分(s fn)位數(shù)所在組 3. 采用下列近似公式計算：LL和LU為QL和QU所在組的下限值；SL和SU為QL和QU所在組以前各組的累積頻數(shù)fL和fU為QL和QU所在組的頻數(shù)，iL和iU為Q

10、L和QU所在組的組距共六十八頁表3-5 某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合計50【例4.7】計算50 名工人日加工(ji gng)零件數(shù)的四分位數(shù)共六十八頁燈泡的使用壽命(小時)頻數(shù)650 6602660 6705670 6806680 69014690 70026700 71018710 72013720 73010730 7403740 7503共六十八頁數(shù)值型數(shù)據(jù)(shj)：平均數(shù)（均值） 1. 平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)相加后除以數(shù)據(jù)個數(shù)

11、得到的結果。 2. 集中趨勢的最主要測度值 3. 易受極端值的影響(yngxing) 4. 用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于分類數(shù)據(jù)和 順序數(shù)據(jù)。共六十八頁簡單平均數(shù) 對未分組數(shù)據(jù)(shj)計算的平均數(shù)公式為：加權平均數(shù) 對分組數(shù)據(jù)計算的平均數(shù)設原始數(shù)據(jù)被分成k組，各組的組中值為M1，M2， ，Mk，各組頻數(shù)為f1,f2, ,fk，則加權平均數(shù)為，X共六十八頁簡單(jindn)平均數(shù)算例【例4.8】計算第三章中50個工人日加工(ji gng)零件數(shù)的均值x= (117+122+121）/50 = 6149/50 = 122.98（個）共六十八頁【例4.9】根據(jù)第三章表3-5中的數(shù)據(jù)，計算50 名工人日

12、加工(ji gng)零件數(shù)的均值表4-1 某車間50名工人日加工零件均值計算表按零件數(shù)分組組中值（Mi）頻數(shù)（Fi）MiFi105110110115115120120125125130130135135140358141064合計50共六十八頁表4-1 某車間50名工人日加工零件均值計算表按零件數(shù)分組組中值（Xi）頻數(shù)（Fi）XiFi105110110115115120120125125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合計506160.

13、0（個）共六十八頁 簡單平均數(shù)，其數(shù)值的大小只與變量值的大小有關； 加權平均數(shù)，其數(shù)值的大小不僅受各組變量值大小的影響，而且受各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)(pn sh)即權數(shù)（fi）大小的影響。 如果某一組的權數(shù)較大，說明該組的數(shù)據(jù)較多，那么該組數(shù)據(jù)的大小對均值的影響就越大，反之則越小。共六十八頁幾何(j h)平均數(shù)1. 幾何平均數(shù)： N 個變量值乘積的 N 次方根，用GM表示 其計算公式為2. 主要(zhyo)用于計算平均比率和平均發(fā)展速度GEOMEAN共六十八頁【例4.10】一位投資者持有一種(y zhn)股票，2001-2004年的收益率分別為4.5%，2.1%，25.5%，1.9%要求計算該投

14、資者在這4年內的平均收益率。 解：設平均收益率為G= 108.0787%則G = GM 1 = 108.0787%1 = 8.0787%_共六十八頁【例4.11】某水泥生產(shngchn)企業(yè)2001年的水泥產量為100萬噸，2002年的產量比2001增長了9%，2003年比2002年增長了16%，2004年比2003增長20%。求該企業(yè)2002年、2003年、2004年這三年的平均增長率。解：= 114.91%則年平均(pngjn)增長率為114.91%100% = 14.91%共六十八頁眾數(shù)(zhn sh)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較共六十八頁眾數(shù)(zhn sh)、中位數(shù)和平均數(shù)的關系1. 如

15、果數(shù)據(jù)分布是對稱(duchn)的，則 2. 如果數(shù)據(jù)是左偏分布，則3. 如果數(shù)據(jù)是右偏分布，則 Mo = Me = xx Me MoMo Me x共六十八頁4.2 離散(lsn)程度的測度 離散程度:反映個體遠離其中心值的程度。 離散程度越大，表示集中趨勢的測度值對數(shù)據(jù)的代表性越差； 離散程度越小，表示集中趨勢的測度值對數(shù)據(jù)的代表性越好。 分類數(shù)據(jù) 異眾比率(bl) 順序數(shù)據(jù) 四分位差 數(shù)值型數(shù)據(jù) 方差和標準差共六十八頁分類數(shù)據(jù)(shj)：異眾比率1. 離散程度的測度(c du)值之一2. 非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率3. 計算公式為 4. 用于衡量眾數(shù)的代表性共六十八頁異眾比率(bl)(算例

16、)表3-1 不同類型飲料的頻數(shù)分布 廣告類型人數(shù)(人)頻率(%)果汁礦泉水綠茶碳酸飲料其他610111581220223016合計50100解： 在調查的50人當中，購買其他類型飲料的人數(shù)占70%，異眾比率比較大，用“碳酸飲料”來代表消費者購飲料類型的狀況，其代表性不是很好。 Vr = 50 - 1550 = 1 - 15 50 = 0.70 = 70%共六十八頁順序數(shù)據(jù)(shj)：四分位差1.離散程度的測度值之一2.也稱為內距或四分間距3.上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差 QD = QU - QL4.反映(fnyng)了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度5. 不受極端值的影響6. 用于衡量中位數(shù)的代表性共六

17、十八頁順序數(shù)據(jù)(shj)的四分位差計算甲城市家庭對住房滿意狀況(zhungkung)評價的四分位差表3-2 甲城市家庭對住房狀況評價的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù) (戶)累計頻數(shù) 非常不滿意 不滿意 一般 滿意 非常滿意2410893453024132225270300合計300解：設非常不滿意為1,不滿意為2, 一般為3, 滿意為 4, 非常滿意為5 QL = 不滿意 = 2， QU = 一般 = 3四分位差： QD = QU QL = 3 2 = 1共六十八頁例：為調查我校大學生對趣味玩具的偏好情況，搜及200位同學對趣味玩具的態(tài)度，得到(d do)以下數(shù)據(jù)，計算這組數(shù)據(jù)的四分位差？回答類別

18、甲城市人數(shù) (人)累計頻數(shù) 非常喜歡（買的多） 喜歡（會買一些） 一般（偶爾買） 不在意（不會買） 不喜歡 （不買不玩）2255653028合計200共六十八頁數(shù)值型數(shù)據(jù)的離散(lsn)程度 極差 平均差 方差(fn ch) 標準差共六十八頁極 差（range）1.一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，用R表示2.計算公式3.離散(lsn)程度的最簡單測度值4.易受極端值影響5.未考慮數(shù)據(jù)的分布未分組數(shù)據(jù)(shj) R = max(Xi) - min(Xi).=組距分組數(shù)據(jù) R 最高組上限 - 最低組下限7891078910共六十八頁平均差（Md）1.各變量值與其(yq)平均數(shù)離差絕對值的平均數(shù)2.以

19、平均數(shù)為中心，反映每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的平均差異程度，能全面準確地反映一組數(shù)據(jù)的離散程度。3. 計算公式為未分組數(shù)據(jù)(shj)組距分組數(shù)據(jù)共六十八頁【例4.13】為調查大學生對課外培訓班所愿意(yun y)付出的最高費用的離散程度,計算以下數(shù)據(jù)的平均差。表4-13 課外培訓班費用調查按零件數(shù)分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)| Mi- X |Mi-X |Fi500以下50080080011001100140014001700170020002000以上101215381492合計100共六十八頁表4-13 培訓班費用調查按零件數(shù)分組組中值(Mi)頻數(shù)(Fi)| Mi- X |Mi-X |Fi500以下

20、50080080011001100140014001700170020002000以上3506509501250155018502150101215381492807507207933936939938070608431053534550262371986合計10034518共六十八頁方差(fn ch)和標準差方差：各變量值與其均值(jn zh)離差平方的平均數(shù)。標準差：方差的平方根1. 反映了各變量值與均值的平均差異2. 反映出數(shù)據(jù)的離散程度3. 最常用的離散程度測度值4. 根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱為總體方差或標準差； 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差或標準差共六十八頁總體(zngt)方差和標

21、準差方差(fn ch)的計算公式標準差的計算公式未分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)共六十八頁樣本(yngbn)方差和標準差方差(fn ch)的計算公式標準差的計算公式未分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)注意：樣本方差用自由度n-1去除!共六十八頁自由度(degree of freedom)1. 一組數(shù)據(jù)(shj)中可以自由取值的數(shù)據(jù)(shj)的個數(shù)2. 當樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為 n 時，若樣本均值x 確定后，則附加給n個觀測值1個約束條件，只有n-1個數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個數(shù)據(jù)不能自由取值。共六十八頁標準分數(shù)1. 含義：變量值與其平均數(shù)的離差除以標準差后的值，也稱標準化值或z分數(shù)。2. 計

22、算公式為3. 給出某一個值在一組數(shù)據(jù)中的相對位置4. 可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群(l qn)點5. 用于對變量的標準化處理共六十八頁【例】一家(y ji)公司在招聘時，要對應聘者進行兩項能力測試。在A項測試中，平均分數(shù)為100分，標準差是15分；在B項測試中，平均分數(shù)是400分，標準差是50分。一位應試者在A項測試中得了115分，在B項測試中得了425分，與平均分數(shù)相比，該應試者哪一項測試更為理想？共六十八頁經(jīng)驗(jngyn)法則：當一組數(shù)據(jù)對稱(duchn)分布時，約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)1個標準差的范圍之內約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)2個標準差的范圍之內約有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)3個標準差的范

23、圍之內在3個標準差范圍之外的數(shù)據(jù)稱為離群點共六十八頁切比雪夫不等式 適用于任何分布形狀(xngzhun)的數(shù)據(jù) 根據(jù)切比雪夫不等式，至少有（1-1/k2）的數(shù)據(jù)落在k個標準差之內，k是大于1的任意值。至少(zhsho)有75%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)2個標準差的范圍之內至少有89%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)3個標準差的范圍之內至少有94%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)4個標準差的范圍之內共六十八頁離散(lsn)系數(shù)（變異系數(shù)） 離散系數(shù)：標準差與其相應(xingyng)的平均數(shù)之比計算公式為 測度數(shù)據(jù)離散程度的相對統(tǒng)計量 用于比較不同樣本數(shù)據(jù)離散程度共六十八頁【例】某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產品銷售數(shù)據(jù)(shj)如下,試比較產品銷售額與銷售利潤的離散程度表4-7 某管理局所屬8家企業(yè)的產品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號產品銷