高等數(shù)學(xué)課件3.1

1、第一節(jié) 不定積分的概念及其線性法則第三章 一元函數(shù)積分學(xué) 本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)通過(guò)原函數(shù)引出了不定積分的概念，并得到不定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì).一、原函數(shù)與不定積分二、不定積分的計(jì)算一、原函數(shù)與不定積分 1.原函數(shù)在第二章關(guān)于求導(dǎo)的問(wèn)題中提出，已知 ，求 的導(dǎo)數(shù) 。而現(xiàn)在的問(wèn)題是 已知, 求滿足 的 這類(lèi)問(wèn)題就是求原函數(shù)問(wèn)題.定義1 如果在區(qū)間 上的可導(dǎo)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為或則稱(chēng)函數(shù) 為 在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù).，即對(duì)任一 ，都有例1所以 是 的一個(gè)原函數(shù)；所以 為 的一個(gè)原函數(shù)； 因?yàn)?因?yàn)橛捎谒?是 在 的一個(gè)原函數(shù)； 我們知道，對(duì)函數(shù)而言，如果導(dǎo)函數(shù)存在的話，導(dǎo)函數(shù)是唯一的，但某個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是否唯一呢

2、？為此，先引入:原函數(shù)存在定理 如果函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù),則在區(qū)間 上存在可導(dǎo)函數(shù) ，使得對(duì)任一 ,都有即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)存在.此定理將在定積分內(nèi)容中討論。所以如果 是 的原函數(shù),則 也是 的原函數(shù).由于 其中 為任意常數(shù)，如果 也是 的原函數(shù),即 ，則 為任意常數(shù)，所以， 任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)。而且 任意一個(gè)原函數(shù)可以表示為 2.不定積分 由上面的討論，可得到如下定義：定義2 在區(qū)間 上，函數(shù) 的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱(chēng)為 在區(qū)間 上的不定積分，記作其中 稱(chēng)為積分號(hào)，稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為被積表達(dá)式稱(chēng)為積分變量。如果 是 的一個(gè)原函數(shù)，則 的不定積分可表示為由于 表示 的任意一個(gè)原函

3、數(shù)，所以又由于 是 的一個(gè)原函數(shù)，所以例2 由定義，不難得到下面的： 由于為連續(xù)函數(shù)，但其原函數(shù)卻不能用初等函數(shù)來(lái)表示;注2 定義在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，但其原函數(shù)不一定能用初等函數(shù)來(lái)表示；例如函數(shù)注1 在不定積分表達(dá)式中最后的常數(shù) 不能漏掉，加上任意常數(shù) 表示不定積分，不加任意常數(shù) 表示某一個(gè)原函數(shù)。注3 在區(qū)間 內(nèi)存在原函數(shù)的函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)，例如函數(shù): 存在間斷點(diǎn) ，但 在 存在原函數(shù)例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 2), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線的方程.解 設(shè)此曲線的方程為 由題設(shè)得關(guān)系即， 是 的一個(gè)原函數(shù)，因 即且曲線過(guò)(1, 2), 即 代

4、入曲線方程得 故所求曲線的方程為 函數(shù) 的原函數(shù)的圖形稱(chēng)為 的積分曲線。上例中 的原函數(shù)為 在常數(shù) 取不同值時(shí)，可得不同的積分曲線。 3.基本積分公式 是常數(shù)；特別二、不定積分的計(jì)算 由原函數(shù)與不定積分的定義可得到如下不定積分的性質(zhì):性質(zhì) 設(shè)函數(shù) 及 的原函數(shù)存在，則其中 為任意常數(shù).這就是不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)。 用基本積分表和線性運(yùn)算性質(zhì)可以計(jì)算一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分。例4 求積分解 先將 展開(kāi)，然后再利用積分公式及運(yùn)算法, 則:例5 求積分解 先將 展開(kāi)，然后再利用積分公式及運(yùn)算法,求出的不定積分可以通過(guò)求導(dǎo)來(lái)驗(yàn)證其是否正確。例6 求積分解例7 求積分解例8 求積分解 將積分拆成兩項(xiàng)的和

5、，可得例9 求積分解 分子部分減1加1項(xiàng)后, 分解被積表達(dá)式，得 例10 求積分解 分子部分減1加1項(xiàng)后, 分解被積表達(dá)式，得 例11 求積分解 利用三角公式例12 求積分解 利用半角公式例13 求積分解 由倍角公式 則例14 求積分解 由倍角公式 則學(xué)習(xí)動(dòng)物精神11、機(jī)智應(yīng)變的猴子：工作的流程有時(shí)往往是一成不變的，新人的優(yōu)勢(shì)在于不了解既有的做法，而能創(chuàng)造出新的創(chuàng)意與點(diǎn)子。一味 地接受工作的交付， 只能學(xué)到工作方法 的皮毛，能思考應(yīng) 變的人，才會(huì)學(xué)到 方法的精髓。 學(xué)習(xí)動(dòng)物精神12、善解人意的海豚：常常問(wèn)自己：我是主管該怎么辦才能有助于更好的處理事情的方法。在工作上善解人意， 會(huì)減輕主管、共

6、事者的負(fù)擔(dān)，也 讓你更具人緣。謝謝大家！學(xué)習(xí)動(dòng)物精神11、機(jī)智應(yīng)變的猴子：工作的流程有時(shí)往往是一成不變的，新人的優(yōu)勢(shì)在于不了解既有的做法，而能創(chuàng)造出新的創(chuàng)意與點(diǎn)子。一味 地接受工作的交付， 只能學(xué)到工作方法 的皮毛，能思考應(yīng) 變的人，才會(huì)學(xué)到 方法的精髓。 學(xué)習(xí)動(dòng)物精神12、善解人意的海豚：常常問(wèn)自己：我是主管該怎么辦才能有助于更好的處理事情的方法。在工作上善解人意， 會(huì)減輕主管、共 事者的負(fù)擔(dān)，也 讓你更具人緣。謝謝大家！學(xué)習(xí)動(dòng)物精神11、機(jī)智應(yīng)變的猴子：工作的流程有時(shí)往往是一成不變的，新人的優(yōu)勢(shì)在于不了解既有的做法，而能創(chuàng)造出新的創(chuàng)意與點(diǎn)子。一味 地接受工作的交付， 只能學(xué)到工作方法 的皮毛，能思考應(yīng) 變的人，才會(huì)