人教A版高中數(shù)學必修三《6.2.3-6.2.4組合與組合數(shù)》教案

1、6.2.3- 6.2.4 組合與組合數(shù) 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊，第六章計數(shù)原理，本節(jié)課主本節(jié)課主要學習組合與組合數(shù).排列與組合是在學習了兩個計數(shù)原理之后，由于排列、組合及二項式定理的研究都是以兩個計數(shù)原理為基礎(chǔ)，同時排列和組合又能進一步簡化和優(yōu)化計數(shù)問題。教學的重點是組合的理解，利用計數(shù)原理及排列數(shù)公式推導組合數(shù)公式，注意區(qū)分排列與組合的區(qū)別，難點是運用組合解決實際問題。課程目標學科素養(yǎng)A. 理解并掌握組合、組合數(shù)的概念,掌握組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別.B.熟練掌握組合數(shù)公式及組合數(shù)的兩個性質(zhì),并運用于計算之中.C.能夠運用排列組合公式及計數(shù)原理解決一些簡單的應用問

2、題,提高學生的數(shù)學應用能力與分析問題、解決問題的能力.1.數(shù)學抽象：組合的概念 2.邏輯推理：組合數(shù)公式的推導 3.數(shù)學運算：組合數(shù)的計算及性質(zhì)4.數(shù)學建模：運用組合解決計數(shù)問題重點：組合、組合數(shù)的概念并運用排列組合公式解決問題 難點：組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別 多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標問題探究問題1. 從甲乙丙三名同學中選兩名去參加一項活動，有多少種不同的選法？這一問題與6.2.1節(jié)問題一有什么聯(lián)系與區(qū)別？分析：在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2種不同順序的選法，我們可以將它看成先選出甲、乙兩名同學，然后再分配上午和下午而得到的.同

3、樣，先選出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2種方法.從而甲、乙、丙3名同選2名去參加一項活動，就只需考慮選出的2名同學作為一組，不需要考慮他們的順序。于是，在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，將選出的2名同學作為一組的選法就只有如下3種情況：甲乙、甲丙、乙丙.從三個不同元素中取出兩個元素作為一組一共有多少個不同的組？一、組合的相關(guān)概念1.組合:一般地,從n個不同元素中取出m(mn)個元素作為一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.2.相同組合:兩個組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.名師點析排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系(1)共同點:兩者都是從n個不同元素中取出m(mn)

4、個元素.(2)不同點:排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無關(guān).1.校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛，下面的問題是排列問題，還是組合問題？（1）從中選3輛，有多少種不同的方法？（2）從中選2輛給3位同學有多少種不同的方法？（1）與順序無關(guān)，是組合問題；（2）選出2輛給3位同學是有順序的，是排列問題。例5.平面內(nèi)有A，B，C，D共4個點.（1）以其中2個點為端點的有向線段共有多少條？（2）以其中2個點為端點的線段共有多少條？分析：（1）確定一條有向線段，不僅要確定兩個端點，還要考慮他們的順序是排列問題；（2）確定一條線段，只需確定兩個端點，而不需要考慮它們的順序是組合

5、問題.解：（1）一條有向線段的兩個端點，要分起點和終點，以平面內(nèi)4個點中的2個為端點的有向線段條數(shù)，就是從4個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為A42=43=12.這12條有向線段分別為AB,BA, AC,CA, AD,DA, BC,CB, BD, DB,CD, DC.（2）由于不考慮兩個端點的順序，因此將（1）中端點相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是中平面內(nèi)4個點中的2個點為端點的線段的條數(shù)，共有如下6條：AB,AC,AD,BC,BD,CD.問題2：利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同” 為標準分類，你能建立起例5（1）中排列和（2）中組合之間的對應關(guān)系嗎？進一步

6、地，能否從這種對應關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個數(shù)？二、組合數(shù)與組合數(shù)公式1.組合數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號Cnm 表示.例如，從3個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，表示為C32，從4個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)，表示為C42.思路：從4個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)C43，設這4個元素為a,b,c,d，那么從中取出3個元素的排列數(shù)A43 =24，以“元素相同”為標準將這24個排列分組如圖，一共有4組，因此組合數(shù)C43 =4.問題3：前面已經(jīng)提到，組合和排列有關(guān)系，我們能否利用這種關(guān)系，由排列數(shù)An

7、m來求組合數(shù)Cnm呢？也可以這樣理解，求“從4個元素中取出3個元素的排列數(shù)A43” 第1步，從4個元素中取出3個元素作為一組，共有C43種不同的取法；第2步，將取出的3個元素做全排列，共有A33種不同的取法.于是，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理有A43=C43A33即C43=A43A33=4.同樣的從n個不同對象中取出m個做排列，可以分成兩個步驟完成，第一步從n個不同對象中取出 m個，有Cnm種選法；第二步將選出的m個對象做全排列，有Amm種排法.由分步乘法計數(shù)原理有Anm=Cnm Amm，所以Cnm =AnmAmm=nn-1n-(m-1)mm-121=n!n-m!m!上述公式稱為組合數(shù)公式.2.組合數(shù)

8、公式:Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!,這里n,mN*,并且mn.另外,我們規(guī)定Cn0=1.二、典例解析例6.計算：（1）C103；（2）C107；（3）C1010；（4）C100.解:根據(jù)組合數(shù)公式，可得C103= A103A33=1098321 =120;C107 =10!7!10-7!=109877!3!=120；(3)C1010=A1010A1010=10!10!=1;(4)C100=1; 觀察例6的（1）與（2），（3）與（4）的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）與（2）分別用了不同形式的組合數(shù)公式，你對公式的選擇有什么想法？1.公式Cnm

9、=AnmAmm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m!(m,nN*,且mn),一般用于求值計算.2.公式Cnm=n!m!(n-m)!(m,nN*,且mn),一般用于化簡證明.在具體選擇公式時,要根據(jù)題目特點正確選擇.3.根據(jù)題目特點合理選用組合數(shù)的兩個性質(zhì)Cnm=Cnn-m,Cn+1m=Cnm+Cnm-1,能起到簡化運算的作用,需熟練掌握.跟蹤訓練1. (1)計算:3C83-2C52+C88;C10098+C200199.(2)求證:Cnm+1+Cnm-1+2Cnm=Cn+2m+1.分析:(1)先考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)對原式進行化簡,再利用組合數(shù)公式展開計算.(2)式子中涉及字母,可以用階乘式

10、證明.(1)解:3C83-2C52+C88=3876321-25421+1=149.C10098+C200199=C1002+C2001=1009921+200=5 150.(2)證明左邊=n!(m+1)!(n-m-1)!+n!(m-1)!(n-m+1)!+2n!m!(n-m)!=n!(m+1)!(n-m+1)!(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)=n!(m+1)!(n-m+1)!(n+2)(n+1)=(n+2)!(m+1)!(n-m+1)!=Cn+2m+1=右邊.例7. 在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.（1）有多少種不

11、同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？ 分析:（1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)；（2）分兩步，第一步從2件次品中抽出1件次品，第二步從98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；（3）可從反面考慮，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法數(shù)后，由第（1）題的結(jié)論減去這個結(jié)果即可得解：（1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，共有(種)；（2）從2件次品中抽出1件次品的抽法有種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(種).（3

12、）抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即(種).組合問題的基本解法(1)判斷是否為組合問題;(2)是否分類或分步;(3)根據(jù)組合的相關(guān)知識進行求解.跟蹤訓練2.在一次數(shù)學競賽中,某學校有12人通過了初試,學校要從中選出5人去參加市級培訓,在下列條件下,有多少種不同的選法?(1)任意選5人;(2)甲、乙、丙三人必須參加;(3)甲、乙、丙三人不能參加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加;(5)甲、乙、丙三人至少1人參加.分析:本題屬于組合問題中的最基本的問題,可根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和

13、分析.注意“至少”“至多”問題,運用間接法求解會簡化思維過程.解:(1)C125=792(種)不同的選法.(2)甲、乙、丙三人必須參加,只需從另外的9人中選2人,共有C92=36(種)不同的選法.(3)甲、乙、丙三人不能參加,只需從另外的9人中選5人,共有C95=126(種)不同的選法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加,分兩步,先從甲、乙、丙中選1人,有C31=3(種)選法,再從另外的9人中選4人有C94種選法.共有C31C94=378(種)不同的選法.(5)(方法一直接法)可分為三類:第1類,甲、乙、丙中有1人參加,有C31C94種選法;第2類,甲、乙、丙中有2人參加,有C32C93種選法

14、;第3類,甲、乙、丙3人均參加,有C33C92種選法.所以,共有C31C94+C32C93+C33C92=666(種)不同的選法.(方法二間接法)12人中任意選5人共有C125種,甲、乙、丙三人不能參加的有C95種,所以,共有C125-C95=666(種)不同的選法.變式： 若本例題條件不變,甲、乙、丙三人至多2人參加,有多少種不同的選法?解:(方法一直接法)甲、乙、丙三人至多2人參加,可分為三類:第1類,甲、乙、丙都不參加,有C95種選法;第2類,甲、乙、丙中有1人參加,有C31C94種選法;第3類,甲、乙、丙中有2人參加,有C32C93種選法.共有C95+C31C94+C32C93=756

15、(種)不同的選法.(方法二間接法)12人中任意選5人共有C125種,甲、乙、丙三人全參加的有C92種選法,所以共有C125-C92=756(種)不同的選法.通過具體問題，分析、比較、歸納出組合的概念。發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 在典例分析和練習中讓學生熟悉組合和組合數(shù)的概念，進而靈活運用排列數(shù)解決問題。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。 三、達標檢測1.從10個不同的數(shù)中任取2個數(shù),求其和、差、積、商這四個問題中,屬于組合的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析:因為減法和除法運算中交換兩個數(shù)的位置對計算結(jié)果有影響,所以屬于組合的有2個.

16、答案:B2.若An2=3Cn-12,則n的值為()A.4 B.5 C.6 D.7 解析:因為An2=3Cn-12,所以n(n-1)=3(n-1)(n-2)2,解得n=6.故選C.答案:C 3.若集合A=a1,a2,a3,a4,a5,則集合A的子集中含有4個元素的子集共有個.解析:滿足要求的子集中含有4個元素,由集合中元素的無序性,知其子集個數(shù)為C54=5.答案:54.平面內(nèi)有12個點,其中有4個點共線,此外再無任何3點共線,以這些點為頂點,可得多少個不同的三角形?解:(方法一)我們把從共線的4個點中取點的多少作為分類的標準:第1類,共線的4個點中有2個點作為三角形的頂點,共有C42C81=48(個)不同的三角形;第2類,共線的4個點中有1個點作為三角形的頂點,共有C41C82=112(個)不同的三角形;第3類,共線的4個點中沒有點作為三角形的頂點,共有C83=56(個)不同的三角形.由分類加法計數(shù)原理,不同的三角形共有48+112+5