國(guó)貿(mào)系課件推薦consumer theory

1、第一章 消費(fèi)者理論*二、偏好關(guān)系與效用函數(shù)由于偏好關(guān)系是一種二元關(guān)系，不便于利用微積分方法進(jìn)行運(yùn)算，所以人們希望能用效用函數(shù)來代表偏好關(guān)系，能使對(duì)于消費(fèi)者行為的偏好分析轉(zhuǎn)換成函數(shù)的分析，從而發(fā)現(xiàn)消費(fèi)者行為的規(guī)律。事實(shí)上，效用函數(shù)的存在性是可以證明的。在現(xiàn)論中，偏好關(guān)系被當(dāng)作偏好的最原始、最基本的特征，效用函數(shù)只“代表”或總結(jié)由偏好關(guān)系所傳遞的信息。1. 代表偏好關(guān)系f 的效用函數(shù)%定義：如果對(duì)于任意的 x, y R ，有 x f y u(x) u( y) ，那么，實(shí)值函數(shù)u : R Rnn%被稱為代表偏好關(guān)系f 的一個(gè)效用函數(shù)。%此定義表明，一個(gè)實(shí)值函數(shù)如果在消費(fèi)者更偏好的消費(fèi)束上的取值更大，

2、則該函數(shù)代表了消費(fèi)者的偏好關(guān)系。例 1 Cobb-Douglas 效用函數(shù)n，其中： 0) i 1, 2,K, n 。uni例 2 線性效用函數(shù)) nux其中，i 0i 1, 2,K, n 且至少存在一個(gè)l, 使得l 0 。例 3 Leontief 效用函數(shù)) minx uKn其中，i 0i 1, 2,K, n 且至少存在一個(gè)l, 使得l 0 。2. 代表偏好關(guān)系的實(shí)值函數(shù)的存在性定理 1.1：如果二元關(guān)系f 滿足完備性、傳遞性、連續(xù)性和嚴(yán)格單調(diào)性，則必存在%著代表這一偏好關(guān)系的連續(xù)的、單調(diào)遞增的實(shí)值效用函數(shù)u : Rn R 。- 1 -證明：假設(shè)關(guān)系f 是完備的、可傳遞的、連續(xù)的和嚴(yán)格遞增的

3、，令e (1,1,K,1) Rn%向量，并考慮u：Rn R 被定義，那么，對(duì)于任意給定的消費(fèi)集合 X 中是一個(gè)的消費(fèi)束 x ，使得u(x)e x 成立要證明這樣定義的u(x) 是函數(shù)，并且是連續(xù)函數(shù)。為了證明這樣定義的u(x) 是函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義，只需要證明它是一一，即證明存在性與唯一性。先證明存在性。令 Pt (x) t Rte f x ， Lt (x) t Rte p x，則t R , 由偏%好的完備性知： t Pt (x) Lt (x) ，或者說： Pt (x) Lt (x) R 。當(dāng)t 足夠大時(shí)， te x ，由偏好的嚴(yán)格單調(diào)性，知te f x ，所以 Pt (x) 是非空集；由于

4、0 Lt (x) ，所以 Lt (x) 也是非空集。又由偏好的連續(xù)性知： Pt (x) 與 Lt (x) 都是閉集。兩個(gè)閉集要覆蓋正實(shí)數(shù)軸，其交集必為非空集，即 P (x) L (x) ，即必存在t* 使得t*e x 成立。tt下面證明唯一性。假設(shè)t Pt (x) Lt (x) t Pt (x) Lt (x) 且t t ，不妨假設(shè)t t 則te t e ，由嚴(yán)格單調(diào)性知：te f t e ，又由于te x, te x ，則由傳遞性知：te te ，唯一性得證。接下來需要證明這樣定義的函數(shù)代表了偏好關(guān)系。為此，考慮兩個(gè)消費(fèi)束 x1和x2 ，并且假設(shè) x1 f x2 ，則由效用函數(shù)的定義有：%u(

5、x1)e x1 與u(x2 )e x2 ，于是如下關(guān)系成立：- 2 -表f 的效用函數(shù)u：R R 是連續(xù)的。設(shè)消費(fèi)序列xx 的極n下面仍需證%限為 x ，即： lim xk x ，欲證明： lim u(xk ) u(x) ，反。k k 假設(shè)lim u(xk ) u(x) ，則 0, 當(dāng)k 很大時(shí)，有u(xk ) u(x) 或者u(xk ) u(x) 。k 不妨假設(shè)u(xk ) u(x) 成立，則由u(x) 定義有：xk u(xk )e f (u(x) )e x e ，由傳遞性得： xk f x e ，這與lim xk x。所以有l(wèi)im u(xk ) u(x) 。k k 并不是所有的偏好都存在代

6、表其偏好的效用函數(shù)，只有具備完備性、傳遞性與連續(xù)性的二元偏好關(guān)系才能夠被續(xù)實(shí)值函數(shù)來代表?？纱硇圆⒉灰蕾囉谕剐曰騿握{(diào)性（Debreu, 1964）。但為了證明的簡(jiǎn)化，通常在存在性定理的證明中加上了嚴(yán)格單調(diào)性條件。代表偏好關(guān)系f 的效用函數(shù)是否唯一？%效用函數(shù)的正向單調(diào)變換不變性3.定理 1.2：設(shè)f 是消費(fèi)集 X 上的偏好關(guān)系， u : R R 是代表此偏好關(guān)系的效用函n%數(shù)，則當(dāng) f : R R 是定義域上嚴(yán)格遞增函數(shù)時(shí)， v(x) f (u(x) 也是代表該偏好關(guān)系的效用函數(shù)。證明：由于u 是代表偏好關(guān)系f 的效用函數(shù)，所以：%x f y u(x) u( y)（1）%又由于 f 是嚴(yán)格遞

7、增函數(shù)，所以有： f (u(x) f (u( y) u(x) u( y)（2）（1）+（2）： x f y f (u(x) f (u( y) 。%定理 1.2 表表偏好關(guān)系f 的效用函數(shù)并不是唯一的，對(duì)于任意一個(gè)消費(fèi)%束，可以對(duì)應(yīng)無數(shù)的效用值，這也說明效用值的大小并沒真正的實(shí)際經(jīng)濟(jì)含義（類似地一個(gè)商品的邊際效用也只有在與其他商品的邊際效用比較大小- 3 -時(shí)才有意義），效用函數(shù)的唯能僅在于對(duì)不同的消費(fèi)束進(jìn)行排序，指明在任何兩種消費(fèi)束中哪一個(gè)更讓消費(fèi)者合意，這種量化的目的僅在于以一種比較方便的方式表述偏好。效用函數(shù)對(duì)于一個(gè)正的單調(diào)變換是唯一的。效用函數(shù)的正向單調(diào)變換不變性定理有許多方面的應(yīng)用。例

8、如，在求消費(fèi)者最優(yōu)消費(fèi)問題時(shí)，由于代表同一偏好關(guān)系的效用函數(shù)對(duì)消費(fèi)束的排序是一致的，所以，可以用簡(jiǎn)單的效用函數(shù)來替代復(fù)雜的效用函數(shù)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，所得結(jié)果不變。再比如， MVi f (u(x)MUi MUi由于在商品的替代率MRT，所以也可以用代表同一MVjf (u(x)MU jMU j偏好的簡(jiǎn)單效用函數(shù)來替代復(fù)雜的效用函數(shù)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。 x ，其中： 0 0 的邊際替代率。例如 求 Cobb-Douglas 效用函數(shù) u1 21 ln x2 與原來的由于對(duì)數(shù)函數(shù)是嚴(yán)格遞增的函數(shù)，所以函數(shù)： ln(u( MU1 (1/ x1 ) x2效用函數(shù)代表同一偏好，于是：MRT。大家可以驗(yàn)證與直12

9、(1/ x ) xMU221接求解的結(jié)果是否一致？4. 偏質(zhì)和效用函數(shù)的特征定理 1.3：設(shè)u : R R 代表偏好關(guān)系f ，那么：n%（1） u(x) 嚴(yán)格遞增的 f 嚴(yán)格單調(diào)的；%（2） u(x) 是連續(xù)的 f 是連續(xù)的；%（3） u(x) 擬凹的 f 弱凸的；%（4） u(x) 嚴(yán)格擬凹的 f 嚴(yán)格凸的。%證明：（1） u(x) 嚴(yán)格遞增 f 嚴(yán)格單調(diào)?？紤]任意兩個(gè)消費(fèi)束 x1和x2 ，并且假設(shè)%x2 ，則由u(x) 嚴(yán)格遞增性知： u(x1) u(x2 ) ，由代表偏好關(guān)系效用函數(shù)的定義知：x1x1f x2 ，因此f 是嚴(yán)格單調(diào)的。%f 嚴(yán)格單調(diào) u(x) 嚴(yán)格遞增。對(duì)任意兩個(gè)消費(fèi)束

10、x1和x2 ，并且假設(shè) x1 x2 ，則由f 嚴(yán)%格單調(diào)性知：x1 f x2 ，于是由代表偏好關(guān)系效用函數(shù)的定義知：u(x1 ) u(x2 ) ，因此u(x)- 4 -是嚴(yán)格遞增的。（3）u(x) 擬凹 f 弱凸?？紤]任意兩個(gè)消費(fèi)束 x1和x2 ，并且假設(shè) x1 f x2 ，由代表%偏好關(guān)系效用函數(shù)的定義知： u(x1 ) u(x2 ) ，又由u(x) 的擬凹性知：對(duì)任意的t 0,1，及 xt tx1 (1 t)x2 有u(xt ) u(x2 ) ，因此f 具有弱凸性。%（4） u(x) 嚴(yán)格擬凹 f 嚴(yán)格凸。考慮任意兩個(gè)消費(fèi)束 x1和x2 ，并且假設(shè) x1 f x2 ，%由代表偏好關(guān)系效用函

11、數(shù)的定義知：u(x1 ) u(x2 ) ，又由u(x) 的嚴(yán)格擬凹性知：對(duì)任意的t (0,1) ，及 tx1 (1 t)x2 有u(xt ) u(x2 ) ，再由代表偏好關(guān)系效用函數(shù)的定義知：xtxtf x2 ，因此f 嚴(yán)格凸（未完部分的證明請(qǐng)同學(xué)自己完成）。%例 證明：Cobb-Douglas 效用函數(shù) u x ，其中： 0 01 2是連續(xù)的、嚴(yán)格單調(diào)的和嚴(yán)格擬凹的。當(dāng)希望利用微積分工具來分析問題時(shí)，效用函數(shù)的可微性要求對(duì)偏好施加比連續(xù)性更強(qiáng)的限制，像連續(xù)性公理一樣，可微性也是純數(shù)理性的考慮(Debreu,1972)。以后簡(jiǎn)單地假設(shè)效用表達(dá)式在任何需要的時(shí)候均是可微的。1） u(x) 可微、

12、偏好嚴(yán)格單調(diào) u(x) xi 0, i 1,2,.n ；2）偏好嚴(yán)格凸 兩種物品間的邊際替代率總是嚴(yán)格遞減的。*三、消費(fèi)者問題：效用最大化與最優(yōu)選擇1. 行為假設(shè)：效用最大化消費(fèi)者理論的一個(gè)基本的行為假設(shè)是：消費(fèi)者總是在其能夠買的起的消費(fèi)束（可行集、集）中，選擇帶給其最偏好的消費(fèi)束。2消費(fèi)者最優(yōu)選擇消費(fèi)集、可行集、偏好（效用函數(shù)）與行為假設(shè)了消費(fèi)者選擇的四個(gè)基本要素。消費(fèi)者最優(yōu)選擇問題就是如何在其能買得起的消費(fèi)束中，選擇其最偏好的消費(fèi)束。消費(fèi)者能夠買得起的消費(fèi)束就是前面所說的可行集，也稱為集。于是消費(fèi)者最優(yōu)選擇問題可以表示為：- 5 -消費(fèi)者選擇 x* B ，使得對(duì)所有的 x B ，有 x*

13、f x 。%本章以后，如無特殊說明，對(duì)偏好都做如下的假設(shè)。假設(shè) 1.2：消費(fèi)者偏好n消費(fèi)者的偏好關(guān)系f 在 R 上具有完備性、傳遞性、連續(xù)性、嚴(yán)格單調(diào)性和嚴(yán)格凸%性。因此，由定理 1.1 和 1.3，就可以用一個(gè) Rn 上連續(xù)的、嚴(yán)格遞增的、嚴(yán)格擬凹實(shí)值效用函數(shù)來代表這種偏好關(guān)系。在兩種物品的情況下，這樣的偏好可以用一族不相交、凸向原點(diǎn)并且沿東北方向遞增的無差異曲線來表示。如下圖：接下來，考慮消費(fèi)者所處的市場(chǎng)環(huán)境并結(jié)構(gòu)化可行集。在這研究完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)環(huán)境，在這樣的一個(gè)市場(chǎng)環(huán)境中，由于消費(fèi)者的數(shù)量巨大，所以每個(gè)消費(fèi)者的消費(fèi)選擇對(duì)市場(chǎng)價(jià)格的影響不大，因此，在這樣一個(gè)市場(chǎng)環(huán)境中，可以把市場(chǎng)價(jià)格向量p

14、 ( p1 , p2 ,., pn ) 0 （其中 pi 為第i 種商品的價(jià)格）看作是固定的。于是對(duì)擁有固定收入 y 0 的消費(fèi)者，其消費(fèi)的可行集 B 集，可以被表示為：npx pi xi yB xi1在兩種物品中，可行集 B 由處在圖中的陰影部分及其邊界上的點(diǎn)組成。- 6 -在對(duì)消費(fèi)者的偏好做了如上假設(shè)：消費(fèi)者的偏好具有完備性、傳遞性、連續(xù)性、嚴(yán)格單調(diào)性、嚴(yán)格凸后，由效用函數(shù)的存在性定理，知道可以用續(xù)的、嚴(yán)格遞增且嚴(yán)格擬凹的效用函數(shù)來代表該偏好，由于消費(fèi)者最偏好的消費(fèi)束等價(jià)于帶給其效用最大的消費(fèi)束，于是消費(fèi)者選擇問題就可等價(jià)地表述為如下的有約束的最優(yōu)化問題：max u(x)s.t. px y

15、xRn對(duì)于消費(fèi)者選擇問題，有如下的結(jié)論：需求的存在性）：對(duì)于 p 0，y 0 ，消費(fèi)者最優(yōu)化問題存在最優(yōu)命題 1（解。證明：由于集合 px y 當(dāng) p 0，y 0 是一個(gè)非空的（它包含 0 向量）、有界的yyy（集 B B (0) ，其中 max(,K,) ）、閉集（包含邊界），或者說集ppp12n是非空的緊集（定義 A1.8）。又由于效用函數(shù)是連續(xù)的，則由 Weierstrass 定理（即定理A1.10）知，消費(fèi)者選擇問題存在最優(yōu)解。命題 2（需求的唯一性）：當(dāng)消費(fèi)者的偏好是嚴(yán)格凸的（或者說效用函數(shù)是嚴(yán)格擬凹的），那么對(duì)于 p 0，y 0 ，消費(fèi)者最優(yōu)化問題的解是唯一的。證明：反證法。假設(shè)消

16、費(fèi)者最優(yōu)化問題的解不是唯一的，存在兩個(gè)最優(yōu)解 x1 與 x2 ，1 x2 是可行消費(fèi)束，由效用函數(shù)的嚴(yán)格擬凹由于集是凸集，所以消費(fèi)束2性知： u(xt ) u(x1 ) u(x2 ) ，這與 x1 與 x2 是最優(yōu)。- 7 -命題 3（需求的結(jié)清性）： 如果消費(fèi)者的偏好是嚴(yán)格遞增的（或者是局部非飽和），則對(duì)于 p 0，y 0 ，消費(fèi)者最優(yōu)化問題的解一定在邊界上取得。證明：反：假設(shè)最優(yōu)解 x* 不在邊界上，而是在集的內(nèi)點(diǎn)，則 0 ，使得 y* x* ( , ,K, ) 也滿足約束，而 y* x* ，由消費(fèi)者的偏好的嚴(yán)格遞增（或者是局部非飽和）知： u( y* ) u(x* ) ，這與 x* 是最

17、優(yōu)。由此命題，消費(fèi)者最優(yōu)化問題可以寫成：max u(x)s.t. px yxRnn事實(shí)上，約束 px pi xi y 表示消費(fèi)i1出收入，但如果假設(shè)偏好是非局部飽和的甚至單調(diào)的，則消費(fèi)者不可能以低于 y 的支出達(dá)到最大效用，因?yàn)榇藭r(shí)將剩余的錢隨便再一些商品總能增加效用，所以消費(fèi)者總是在其邊界 px y 上達(dá)到最大效用。3消費(fèi)者最優(yōu)化問題解的一階必要條件由前面題知，當(dāng)消費(fèi)者的偏好具有完備性、傳遞性、連續(xù)性、嚴(yán)格單調(diào)性、嚴(yán)格凸時(shí)，消費(fèi)者最優(yōu)化問題存在唯一的解，并且這個(gè)解依賴于商品的價(jià)格向量與消費(fèi)者收入水平，因此，記這個(gè)最優(yōu)解為 x* x* ( p, y) ，稱其為普通或需求函數(shù)。當(dāng)收入及其它商品的

18、價(jià)格保持不變時(shí)，則可求出某個(gè)商品的需求函數(shù)（商品的需求曲- 8 -線）。為了能夠求出需求，一般假設(shè)效用函數(shù)是可微的。對(duì)于消費(fèi)者最優(yōu)化問題（等式約束條件下的極值問題），使用Lagrange乘子法求解 x* x* ( p, y) 。Lagrange函數(shù)為：L(, x) U (x) ( y px)于是，對(duì)于內(nèi)點(diǎn)解（暫時(shí)忽略角點(diǎn)解的可能，即約束 x 0 中每個(gè)不等式都不束緊），其一階必要條件為：L(, x* ) U (x* ) pi 0i 1, 2,K, n（1）xxiiL(, x) y px 0（2）由（1）得：- 9 -U (x* )xipii 1, 2,K, n（3）U (x* )pjxj（3）

19、式的左邊是任意兩種商品的替代率MRT（上愿意用一種商品替換另一種商品的比例），右邊是市場(chǎng)上兩種商品交換的比例。即消費(fèi)者最優(yōu)的消費(fèi)束一定是使兩種商品的邊際替代率等于相關(guān)商品的價(jià)格比。在兩種商品的情形，這意味著最優(yōu)消費(fèi)點(diǎn)是預(yù)算線 p x p x y 與某無差異曲線u(x) u* 的切點(diǎn)。1 122U (x)xiU (x)pi p j假設(shè)二者不等，例如：，消費(fèi)者的選擇一定不是最優(yōu)，這時(shí)他只要增xj加第i 種商品的消費(fèi)，同時(shí)減少第 j 商品的消費(fèi)，消費(fèi)者的效用還可以增加。反之，當(dāng)U (x)xiU (x)pi p j時(shí)，他只要增加第 j 種商品的消費(fèi)，同時(shí)減少第i 商品的消費(fèi)，消費(fèi)者的效xj用還可以增加

20、，所以，此時(shí)也沒有達(dá)到效用最大化。條件（1）還可以重新寫為：U (x* )U (x* )x jxi , i 1,., n（4）pip j即消費(fèi)者最優(yōu)的消費(fèi)束一定是使在每一種商品上的支出所帶來的邊際效用相等。效用最大化問題中的Lagrange乘子 表示（收入）的邊際效用。這是因?yàn)閷?duì)于效用最大化問題的解 x* x* ( p, y) 及Lagrange乘子 滿足如下條件：L(, x* ) U (x* ) L(, x)pi 0 i 1, 2,K, n y px 0及xxii因此，ux( p, y) n uxixin p yxyiyi1i1i即（4）式表明：消費(fèi)者最優(yōu)的消費(fèi)束一定是使花費(fèi)在每一種商品上的

21、收入所- 10 -帶來的邊際效用都相等，并等于收入的邊際效用。等邊際原則：錢無論花在哪里，每分錢的邊際效用應(yīng)該相等。角點(diǎn)解：沒有誰能保證最優(yōu)消費(fèi)束一定在內(nèi)點(diǎn)解得到，所以通常情況下還需考慮最優(yōu)解 x* 中有些分量為零這種角點(diǎn)解的可能。在某些不等式約束可能束緊的情況下，最優(yōu)化問題的Lagrange函數(shù)為：nL U (x) ( y px) i xii1 0, 0*根據(jù)Kuhn-Tucker定理，存在，使得iLx U (x ) p 0*（5）iiiiL(, x) y px 0（6） 0 。且滿足互補(bǔ)松弛條件： x 0,則*i（6）式與（2）式一樣，而由互補(bǔ)松弛條件，（5）式又可以寫為：L U (x*

22、) Lp 0 ,x 0 并且x=0i 1, 2,K, n（7）xi由于 代表收入的邊際效用，所以 pi 可以看成是消費(fèi)商品 xi 所損失的效用，U (x* )而是消費(fèi)一個(gè)商品所帶來的效用。xiU (x* ) 條件（7）是說，當(dāng)最優(yōu)解是邊界解角點(diǎn)解，例如 xi 0 ，則這時(shí)pi ，xiU (x* ) pi 成立，則增加 xi 的消費(fèi)時(shí)，消費(fèi)者的效用可以增不可能成立。因?yàn)?，如果xiU (x* )xi ：如果消費(fèi)者沒有加，這與 x 0 是最優(yōu)解；即 x 0 時(shí)，則某一iipi種商品，原因一定是收入在這種商品上所能“買到”的邊際效用小于在其他商品上能“買到”的邊際效用。- 11 -U (x*)xi 成

23、立：邊界解內(nèi)點(diǎn)解，例如 x 0 ，則必有當(dāng)最優(yōu)收入在ipiU (x* )每種商品上所能“買到”的邊際效用pi 都是相同的。xi4消費(fèi)者最優(yōu)化問題解的一階充分條件上面的一階條件只是局部最優(yōu)問題最優(yōu)解的必要條件，只有當(dāng)效用函數(shù)滿足一定的條件時(shí)，上面的必要條件才成為充分條件。有如下的定理：定理1.4如果效用函數(shù)是可微和擬凹的，并且對(duì)于 p 0和y 0 ， x* ( p, y) 0及 0 滿足條件（1）和（2），則 x* ( p, y) 是消費(fèi)者最優(yōu)化問題的解。要用到下面題：對(duì)于任意的兩個(gè)消費(fèi)束 x1 、x2證明：對(duì)于該問題的證明，及u(x1 ) u(x2 ) ，如果擬凹的效用函數(shù)在 x2 點(diǎn)處是可微

24、的，則有：n2 )ii 1應(yīng)用這個(gè)結(jié)論就可以證明該命題。為此，假設(shè)滿足條件（5）和（6）的 x* ( p, y) 及不是效用最大化問題的解，則存在一個(gè)消費(fèi)束 x0 0 ，使得：u(x0 ) u(x* )st px0 y（7）u(x1 ) u(x* )st px1 y由u(x) 的連續(xù)性： x1 ，使得（8）n于是有： (x x ) nup (x x ) ( y y) 0 ，這與u(x) 是擬凹的相矛1*1*x*iiiiii1i1i盾。有了這個(gè)命題，對(duì)于擬凹的效用函數(shù)，需求函數(shù)了。就可以通過必要條件來求解 x1 的消費(fèi)者的例1 求具有Cobb-Douglas效用函數(shù)u需求函數(shù)。1 2 x1由前面

25、的例題，已經(jīng)證明了：Cobb-Douglas 效用函數(shù)u是連續(xù)1 2- 12 -的、嚴(yán)格單調(diào)的和嚴(yán)格擬凹的，所以可以利用必要條件來求解需求函數(shù)。由一階必要條件有：u 1 x1 p1211u x p1 222兩式相比得： (1 ) p2 x2 p1 x1約束： p1 x1 p2 x2 y 中，把其帶入 y p (1 ) y p得： xx1212對(duì)于該問題，由定理 1.2，可以求解效用函數(shù)為：1 (1 )x2 的例題1.1（p23）：求ln u(需求函數(shù)，所得解是一致的。例2效用函數(shù)的消費(fèi)者的需求函數(shù)。例3 求線性效用函數(shù)u(x1 , x2 ) a1 x1 2 x2其中a1 0 2 0的消費(fèi)者的需求函數(shù)。解：該問題的 Lagrange 函數(shù)為：L(x, ) a1 x1 2 x2 ( y p1 x1 p2