國貿(mào)系課件推薦consumer theory

1、第一章 消費者理論*二、偏好關(guān)系與效用函數(shù)由于偏好關(guān)系是一種二元關(guān)系，不便于利用微積分方法進行運算，所以人們希望能用效用函數(shù)來代表偏好關(guān)系，能使對于消費者行為的偏好分析轉(zhuǎn)換成函數(shù)的分析，從而發(fā)現(xiàn)消費者行為的規(guī)律。事實上，效用函數(shù)的存在性是可以證明的。在現(xiàn)論中，偏好關(guān)系被當作偏好的最原始、最基本的特征，效用函數(shù)只“代表”或總結(jié)由偏好關(guān)系所傳遞的信息。1. 代表偏好關(guān)系f 的效用函數(shù)%定義：如果對于任意的 x, y R ，有 x f y u(x) u( y) ，那么，實值函數(shù)u : R Rnn%被稱為代表偏好關(guān)系f 的一個效用函數(shù)。%此定義表明，一個實值函數(shù)如果在消費者更偏好的消費束上的取值更大，

2、則該函數(shù)代表了消費者的偏好關(guān)系。例 1 Cobb-Douglas 效用函數(shù)n，其中： 0) i 1, 2,K, n 。uni例 2 線性效用函數(shù)) nux其中，i 0i 1, 2,K, n 且至少存在一個l, 使得l 0 。例 3 Leontief 效用函數(shù)) minx uKn其中，i 0i 1, 2,K, n 且至少存在一個l, 使得l 0 。2. 代表偏好關(guān)系的實值函數(shù)的存在性定理 1.1：如果二元關(guān)系f 滿足完備性、傳遞性、連續(xù)性和嚴格單調(diào)性，則必存在%著代表這一偏好關(guān)系的連續(xù)的、單調(diào)遞增的實值效用函數(shù)u : Rn R 。- 1 -證明：假設(shè)關(guān)系f 是完備的、可傳遞的、連續(xù)的和嚴格遞增的

3、，令e (1,1,K,1) Rn%向量，并考慮u：Rn R 被定義，那么，對于任意給定的消費集合 X 中是一個的消費束 x ，使得u(x)e x 成立要證明這樣定義的u(x) 是函數(shù)，并且是連續(xù)函數(shù)。為了證明這樣定義的u(x) 是函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義，只需要證明它是一一，即證明存在性與唯一性。先證明存在性。令 Pt (x) t Rte f x ， Lt (x) t Rte p x，則t R , 由偏%好的完備性知： t Pt (x) Lt (x) ，或者說： Pt (x) Lt (x) R 。當t 足夠大時， te x ，由偏好的嚴格單調(diào)性，知te f x ，所以 Pt (x) 是非空集；由于

4、0 Lt (x) ，所以 Lt (x) 也是非空集。又由偏好的連續(xù)性知： Pt (x) 與 Lt (x) 都是閉集。兩個閉集要覆蓋正實數(shù)軸，其交集必為非空集，即 P (x) L (x) ，即必存在t* 使得t*e x 成立。tt下面證明唯一性。假設(shè)t Pt (x) Lt (x) t Pt (x) Lt (x) 且t t ，不妨假設(shè)t t 則te t e ，由嚴格單調(diào)性知：te f t e ，又由于te x, te x ，則由傳遞性知：te te ，唯一性得證。接下來需要證明這樣定義的函數(shù)代表了偏好關(guān)系。為此，考慮兩個消費束 x1和x2 ，并且假設(shè) x1 f x2 ，則由效用函數(shù)的定義有：%u(

5、x1)e x1 與u(x2 )e x2 ，于是如下關(guān)系成立：- 2 -表f 的效用函數(shù)u：R R 是連續(xù)的。設(shè)消費序列xx 的極n下面仍需證%限為 x ，即： lim xk x ，欲證明： lim u(xk ) u(x) ，反。k k 假設(shè)lim u(xk ) u(x) ，則 0, 當k 很大時，有u(xk ) u(x) 或者u(xk ) u(x) 。k 不妨假設(shè)u(xk ) u(x) 成立，則由u(x) 定義有：xk u(xk )e f (u(x) )e x e ，由傳遞性得： xk f x e ，這與lim xk x。所以有l(wèi)im u(xk ) u(x) 。k k 并不是所有的偏好都存在代

6、表其偏好的效用函數(shù)，只有具備完備性、傳遞性與連續(xù)性的二元偏好關(guān)系才能夠被續(xù)實值函數(shù)來代表。可代表性并不依賴于凸性或單調(diào)性（Debreu, 1964）。但為了證明的簡化，通常在存在性定理的證明中加上了嚴格單調(diào)性條件。代表偏好關(guān)系f 的效用函數(shù)是否唯一？%效用函數(shù)的正向單調(diào)變換不變性3.定理 1.2：設(shè)f 是消費集 X 上的偏好關(guān)系， u : R R 是代表此偏好關(guān)系的效用函n%數(shù)，則當 f : R R 是定義域上嚴格遞增函數(shù)時， v(x) f (u(x) 也是代表該偏好關(guān)系的效用函數(shù)。證明：由于u 是代表偏好關(guān)系f 的效用函數(shù)，所以：%x f y u(x) u( y)（1）%又由于 f 是嚴格遞

7、增函數(shù)，所以有： f (u(x) f (u( y) u(x) u( y)（2）（1）+（2）： x f y f (u(x) f (u( y) 。%定理 1.2 表表偏好關(guān)系f 的效用函數(shù)并不是唯一的，對于任意一個消費%束，可以對應無數(shù)的效用值，這也說明效用值的大小并沒真正的實際經(jīng)濟含義（類似地一個商品的邊際效用也只有在與其他商品的邊際效用比較大小- 3 -時才有意義），效用函數(shù)的唯能僅在于對不同的消費束進行排序，指明在任何兩種消費束中哪一個更讓消費者合意，這種量化的目的僅在于以一種比較方便的方式表述偏好。效用函數(shù)對于一個正的單調(diào)變換是唯一的。效用函數(shù)的正向單調(diào)變換不變性定理有許多方面的應用。例

8、如，在求消費者最優(yōu)消費問題時，由于代表同一偏好關(guān)系的效用函數(shù)對消費束的排序是一致的，所以，可以用簡單的效用函數(shù)來替代復雜的效用函數(shù)，從而簡化計算，所得結(jié)果不變。再比如， MVi f (u(x)MUi MUi由于在商品的替代率MRT，所以也可以用代表同一MVjf (u(x)MU jMU j偏好的簡單效用函數(shù)來替代復雜的效用函數(shù)，從而簡化計算。 x ，其中： 0 0 的邊際替代率。例如 求 Cobb-Douglas 效用函數(shù) u1 21 ln x2 與原來的由于對數(shù)函數(shù)是嚴格遞增的函數(shù)，所以函數(shù)： ln(u( MU1 (1/ x1 ) x2效用函數(shù)代表同一偏好，于是：MRT。大家可以驗證與直12

9、(1/ x ) xMU221接求解的結(jié)果是否一致？4. 偏質(zhì)和效用函數(shù)的特征定理 1.3：設(shè)u : R R 代表偏好關(guān)系f ，那么：n%（1） u(x) 嚴格遞增的 f 嚴格單調(diào)的；%（2） u(x) 是連續(xù)的 f 是連續(xù)的；%（3） u(x) 擬凹的 f 弱凸的；%（4） u(x) 嚴格擬凹的 f 嚴格凸的。%證明：（1） u(x) 嚴格遞增 f 嚴格單調(diào)?？紤]任意兩個消費束 x1和x2 ，并且假設(shè)%x2 ，則由u(x) 嚴格遞增性知： u(x1) u(x2 ) ，由代表偏好關(guān)系效用函數(shù)的定義知：x1x1f x2 ，因此f 是嚴格單調(diào)的。%f 嚴格單調(diào) u(x) 嚴格遞增。對任意兩個消費束

10、x1和x2 ，并且假設(shè) x1 x2 ，則由f 嚴%格單調(diào)性知：x1 f x2 ，于是由代表偏好關(guān)系效用函數(shù)的定義知：u(x1 ) u(x2 ) ，因此u(x)- 4 -是嚴格遞增的。（3）u(x) 擬凹 f 弱凸。考慮任意兩個消費束 x1和x2 ，并且假設(shè) x1 f x2 ，由代表%偏好關(guān)系效用函數(shù)的定義知： u(x1 ) u(x2 ) ，又由u(x) 的擬凹性知：對任意的t 0,1，及 xt tx1 (1 t)x2 有u(xt ) u(x2 ) ，因此f 具有弱凸性。%（4） u(x) 嚴格擬凹 f 嚴格凸?？紤]任意兩個消費束 x1和x2 ，并且假設(shè) x1 f x2 ，%由代表偏好關(guān)系效用函

11、數(shù)的定義知：u(x1 ) u(x2 ) ，又由u(x) 的嚴格擬凹性知：對任意的t (0,1) ，及 tx1 (1 t)x2 有u(xt ) u(x2 ) ，再由代表偏好關(guān)系效用函數(shù)的定義知：xtxtf x2 ，因此f 嚴格凸（未完部分的證明請同學自己完成）。%例 證明：Cobb-Douglas 效用函數(shù) u x ，其中： 0 01 2是連續(xù)的、嚴格單調(diào)的和嚴格擬凹的。當希望利用微積分工具來分析問題時，效用函數(shù)的可微性要求對偏好施加比連續(xù)性更強的限制，像連續(xù)性公理一樣，可微性也是純數(shù)理性的考慮(Debreu,1972)。以后簡單地假設(shè)效用表達式在任何需要的時候均是可微的。1） u(x) 可微、

12、偏好嚴格單調(diào) u(x) xi 0, i 1,2,.n ；2）偏好嚴格凸 兩種物品間的邊際替代率總是嚴格遞減的。*三、消費者問題：效用最大化與最優(yōu)選擇1. 行為假設(shè)：效用最大化消費者理論的一個基本的行為假設(shè)是：消費者總是在其能夠買的起的消費束（可行集、集）中，選擇帶給其最偏好的消費束。2消費者最優(yōu)選擇消費集、可行集、偏好（效用函數(shù)）與行為假設(shè)了消費者選擇的四個基本要素。消費者最優(yōu)選擇問題就是如何在其能買得起的消費束中，選擇其最偏好的消費束。消費者能夠買得起的消費束就是前面所說的可行集，也稱為集。于是消費者最優(yōu)選擇問題可以表示為：- 5 -消費者選擇 x* B ，使得對所有的 x B ，有 x*

13、f x 。%本章以后，如無特殊說明，對偏好都做如下的假設(shè)。假設(shè) 1.2：消費者偏好n消費者的偏好關(guān)系f 在 R 上具有完備性、傳遞性、連續(xù)性、嚴格單調(diào)性和嚴格凸%性。因此，由定理 1.1 和 1.3，就可以用一個 Rn 上連續(xù)的、嚴格遞增的、嚴格擬凹實值效用函數(shù)來代表這種偏好關(guān)系。在兩種物品的情況下，這樣的偏好可以用一族不相交、凸向原點并且沿東北方向遞增的無差異曲線來表示。如下圖：接下來，考慮消費者所處的市場環(huán)境并結(jié)構(gòu)化可行集。在這研究完全競爭的市場環(huán)境，在這樣的一個市場環(huán)境中，由于消費者的數(shù)量巨大，所以每個消費者的消費選擇對市場價格的影響不大，因此，在這樣一個市場環(huán)境中，可以把市場價格向量p

14、 ( p1 , p2 ,., pn ) 0 （其中 pi 為第i 種商品的價格）看作是固定的。于是對擁有固定收入 y 0 的消費者，其消費的可行集 B 集，可以被表示為：npx pi xi yB xi1在兩種物品中，可行集 B 由處在圖中的陰影部分及其邊界上的點組成。- 6 -在對消費者的偏好做了如上假設(shè)：消費者的偏好具有完備性、傳遞性、連續(xù)性、嚴格單調(diào)性、嚴格凸后，由效用函數(shù)的存在性定理，知道可以用續(xù)的、嚴格遞增且嚴格擬凹的效用函數(shù)來代表該偏好，由于消費者最偏好的消費束等價于帶給其效用最大的消費束，于是消費者選擇問題就可等價地表述為如下的有約束的最優(yōu)化問題：max u(x)s.t. px y

15、xRn對于消費者選擇問題，有如下的結(jié)論：需求的存在性）：對于 p 0，y 0 ，消費者最優(yōu)化問題存在最優(yōu)命題 1（解。證明：由于集合 px y 當 p 0，y 0 是一個非空的（它包含 0 向量）、有界的yyy（集 B B (0) ，其中 max(,K,) ）、閉集（包含邊界），或者說集ppp12n是非空的緊集（定義 A1.8）。又由于效用函數(shù)是連續(xù)的，則由 Weierstrass 定理（即定理A1.10）知，消費者選擇問題存在最優(yōu)解。命題 2（需求的唯一性）：當消費者的偏好是嚴格凸的（或者說效用函數(shù)是嚴格擬凹的），那么對于 p 0，y 0 ，消費者最優(yōu)化問題的解是唯一的。證明：反證法。假設(shè)消

16、費者最優(yōu)化問題的解不是唯一的，存在兩個最優(yōu)解 x1 與 x2 ，1 x2 是可行消費束，由效用函數(shù)的嚴格擬凹由于集是凸集，所以消費束2性知： u(xt ) u(x1 ) u(x2 ) ，這與 x1 與 x2 是最優(yōu)。- 7 -命題 3（需求的結(jié)清性）： 如果消費者的偏好是嚴格遞增的（或者是局部非飽和），則對于 p 0，y 0 ，消費者最優(yōu)化問題的解一定在邊界上取得。證明：反：假設(shè)最優(yōu)解 x* 不在邊界上，而是在集的內(nèi)點，則 0 ，使得 y* x* ( , ,K, ) 也滿足約束，而 y* x* ，由消費者的偏好的嚴格遞增（或者是局部非飽和）知： u( y* ) u(x* ) ，這與 x* 是最

17、優(yōu)。由此命題，消費者最優(yōu)化問題可以寫成：max u(x)s.t. px yxRnn事實上，約束 px pi xi y 表示消費i1出收入，但如果假設(shè)偏好是非局部飽和的甚至單調(diào)的，則消費者不可能以低于 y 的支出達到最大效用，因為此時將剩余的錢隨便再一些商品總能增加效用，所以消費者總是在其邊界 px y 上達到最大效用。3消費者最優(yōu)化問題解的一階必要條件由前面題知，當消費者的偏好具有完備性、傳遞性、連續(xù)性、嚴格單調(diào)性、嚴格凸時，消費者最優(yōu)化問題存在唯一的解，并且這個解依賴于商品的價格向量與消費者收入水平，因此，記這個最優(yōu)解為 x* x* ( p, y) ，稱其為普通或需求函數(shù)。當收入及其它商品的

18、價格保持不變時，則可求出某個商品的需求函數(shù)（商品的需求曲- 8 -線）。為了能夠求出需求，一般假設(shè)效用函數(shù)是可微的。對于消費者最優(yōu)化問題（等式約束條件下的極值問題），使用Lagrange乘子法求解 x* x* ( p, y) 。Lagrange函數(shù)為：L(, x) U (x) ( y px)于是，對于內(nèi)點解（暫時忽略角點解的可能，即約束 x 0 中每個不等式都不束緊），其一階必要條件為：L(, x* ) U (x* ) pi 0i 1, 2,K, n（1）xxiiL(, x) y px 0（2）由（1）得：- 9 -U (x* )xipii 1, 2,K, n（3）U (x* )pjxj（3）

19、式的左邊是任意兩種商品的替代率MRT（上愿意用一種商品替換另一種商品的比例），右邊是市場上兩種商品交換的比例。即消費者最優(yōu)的消費束一定是使兩種商品的邊際替代率等于相關(guān)商品的價格比。在兩種商品的情形，這意味著最優(yōu)消費點是預算線 p x p x y 與某無差異曲線u(x) u* 的切點。1 122U (x)xiU (x)pi p j假設(shè)二者不等，例如：，消費者的選擇一定不是最優(yōu)，這時他只要增xj加第i 種商品的消費，同時減少第 j 商品的消費，消費者的效用還可以增加。反之，當U (x)xiU (x)pi p j時，他只要增加第 j 種商品的消費，同時減少第i 商品的消費，消費者的效xj用還可以增加

20、，所以，此時也沒有達到效用最大化。條件（1）還可以重新寫為：U (x* )U (x* )x jxi , i 1,., n（4）pip j即消費者最優(yōu)的消費束一定是使在每一種商品上的支出所帶來的邊際效用相等。效用最大化問題中的Lagrange乘子 表示（收入）的邊際效用。這是因為對于效用最大化問題的解 x* x* ( p, y) 及Lagrange乘子 滿足如下條件：L(, x* ) U (x* ) L(, x)pi 0 i 1, 2,K, n y px 0及xxii因此，ux( p, y) n uxixin p yxyiyi1i1i即（4）式表明：消費者最優(yōu)的消費束一定是使花費在每一種商品上的

21、收入所- 10 -帶來的邊際效用都相等，并等于收入的邊際效用。等邊際原則：錢無論花在哪里，每分錢的邊際效用應該相等。角點解：沒有誰能保證最優(yōu)消費束一定在內(nèi)點解得到，所以通常情況下還需考慮最優(yōu)解 x* 中有些分量為零這種角點解的可能。在某些不等式約束可能束緊的情況下，最優(yōu)化問題的Lagrange函數(shù)為：nL U (x) ( y px) i xii1 0, 0*根據(jù)Kuhn-Tucker定理，存在，使得iLx U (x ) p 0*（5）iiiiL(, x) y px 0（6） 0 。且滿足互補松弛條件： x 0,則*i（6）式與（2）式一樣，而由互補松弛條件，（5）式又可以寫為：L U (x*

22、) Lp 0 ,x 0 并且x=0i 1, 2,K, n（7）xi由于 代表收入的邊際效用，所以 pi 可以看成是消費商品 xi 所損失的效用，U (x* )而是消費一個商品所帶來的效用。xiU (x* ) 條件（7）是說，當最優(yōu)解是邊界解角點解，例如 xi 0 ，則這時pi ，xiU (x* ) pi 成立，則增加 xi 的消費時，消費者的效用可以增不可能成立。因為，如果xiU (x* )xi ：如果消費者沒有加，這與 x 0 是最優(yōu)解；即 x 0 時，則某一iipi種商品，原因一定是收入在這種商品上所能“買到”的邊際效用小于在其他商品上能“買到”的邊際效用。- 11 -U (x*)xi 成

23、立：邊界解內(nèi)點解，例如 x 0 ，則必有當最優(yōu)收入在ipiU (x* )每種商品上所能“買到”的邊際效用pi 都是相同的。xi4消費者最優(yōu)化問題解的一階充分條件上面的一階條件只是局部最優(yōu)問題最優(yōu)解的必要條件，只有當效用函數(shù)滿足一定的條件時，上面的必要條件才成為充分條件。有如下的定理：定理1.4如果效用函數(shù)是可微和擬凹的，并且對于 p 0和y 0 ， x* ( p, y) 0及 0 滿足條件（1）和（2），則 x* ( p, y) 是消費者最優(yōu)化問題的解。要用到下面題：對于任意的兩個消費束 x1 、x2證明：對于該問題的證明，及u(x1 ) u(x2 ) ，如果擬凹的效用函數(shù)在 x2 點處是可微

24、的，則有：n2 )ii 1應用這個結(jié)論就可以證明該命題。為此，假設(shè)滿足條件（5）和（6）的 x* ( p, y) 及不是效用最大化問題的解，則存在一個消費束 x0 0 ，使得：u(x0 ) u(x* )st px0 y（7）u(x1 ) u(x* )st px1 y由u(x) 的連續(xù)性： x1 ，使得（8）n于是有： (x x ) nup (x x ) ( y y) 0 ，這與u(x) 是擬凹的相矛1*1*x*iiiiii1i1i盾。有了這個命題，對于擬凹的效用函數(shù)，需求函數(shù)了。就可以通過必要條件來求解 x1 的消費者的例1 求具有Cobb-Douglas效用函數(shù)u需求函數(shù)。1 2 x1由前面

25、的例題，已經(jīng)證明了：Cobb-Douglas 效用函數(shù)u是連續(xù)1 2- 12 -的、嚴格單調(diào)的和嚴格擬凹的，所以可以利用必要條件來求解需求函數(shù)。由一階必要條件有：u 1 x1 p1211u x p1 222兩式相比得： (1 ) p2 x2 p1 x1約束： p1 x1 p2 x2 y 中，把其帶入 y p (1 ) y p得： xx1212對于該問題，由定理 1.2，可以求解效用函數(shù)為：1 (1 )x2 的例題1.1（p23）：求ln u(需求函數(shù)，所得解是一致的。例2效用函數(shù)的消費者的需求函數(shù)。例3 求線性效用函數(shù)u(x1 , x2 ) a1 x1 2 x2其中a1 0 2 0的消費者的需求函數(shù)。解：該問題的 Lagrange 函數(shù)為：L(x, ) a1 x1 2 x2 ( y p1 x1 p2