自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和函數(shù)分析

1、自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和函數(shù)分析主要內(nèi)容控制系統(tǒng)微分方程的建立 非線性數(shù)學(xué)模型線性化 傳遞函數(shù)系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 系統(tǒng)傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖的變換信號流圖小結(jié)基本要求了解建立系統(tǒng)動態(tài)微分方程的一般方法熟悉拉氏變換的基本法則及典型函數(shù)的拉氏變換形式掌握用拉氏變換求解微分方程的方法掌握傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì)掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)形式掌握由系統(tǒng)微分方程組建立動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的方法掌握用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)和用梅森公式求傳遞函數(shù)的方法分析和設(shè)計(jì)任何一個控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就是描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部變量之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，也稱為動態(tài)數(shù)學(xué)模型。常用的動態(tài)數(shù)學(xué)模型有：微

2、分方程傳遞函數(shù)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖信號流圖建立數(shù)學(xué)模型的方法: (1)理論推演法(解析法) (2)實(shí)驗(yàn)法解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)法：對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?？偨Y(jié)： 解析方法適用于簡單、典型、常見的系統(tǒng)，而實(shí)驗(yàn)方法適用于復(fù)雜、非常見的系統(tǒng)。實(shí)際上常常是把這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有效控制系統(tǒng)微分方程的建立基本步驟：分析各元件的工作原理，明確輸入、輸出量建立輸入、輸出量的動態(tài)聯(lián)系消去中間變量標(biāo)準(zhǔn)化微分方程 例1. 圖所示電

3、路是由三個理想電路元件組成的簡單電網(wǎng)絡(luò)單元，試列寫該網(wǎng)絡(luò)在輸入量ur(t)作用下輸出量uc(t)的微分方程。一、線性元件單元的微分方程第一節(jié) 線性連續(xù)系統(tǒng)微分方程的建立解：由基爾霍夫定律得:式中: i(t)為流經(jīng)電感L、電阻R和電容C的電流消去中間變量i(t)，得到輸出量關(guān)于輸入量滿足的二階微分方程：例2. 設(shè)有一彈簧質(zhì)量 阻尼動力系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動，試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移x(t)之間的動態(tài)方程。其中彈簧的彈性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為f，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m。mF1(彈簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力輸入F(t)，輸出x(t)理論依據(jù):牛頓

4、第二定律,物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積.式中：xm的位移（m）； f阻尼系數(shù)（Ns/m); k 彈簧剛度（N/m)。將上式的微分方程標(biāo)準(zhǔn)化T稱為時(shí)間常數(shù)， 為阻尼比。顯然，上式描述了mkf系統(tǒng)的動態(tài)關(guān)系，它是一個二階線性定常微分方程。令 ， 即 ， 則上式可寫成 例3. 圖為彈簧、質(zhì)量、阻尼器機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動單元，試寫出在輸入轉(zhuǎn)矩M(t)作用下轉(zhuǎn)動慣量為J的物體的運(yùn)動方程，輸出量為角位移。 1.彈簧與角位移成正比的彈性扭矩2.阻尼器與角速度成正比的摩擦阻力矩由牛頓第二運(yùn)動定律解：輸入轉(zhuǎn)矩要克服 例4 圖中L、R分別為電樞回路的總電感和總電阻。假設(shè)勵磁電流恒定不變，試建立在ur(t)

5、作用下電動機(jī)轉(zhuǎn)軸角速度的運(yùn)動方程電樞控制的他勵直流電動機(jī)原理圖解： 電樞控制直流電動機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流ia(t)，再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩M(t)，從而拖動負(fù)載運(yùn)動。因此，直流電動機(jī)的運(yùn)動方程可由以下三部分組成： (3)電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程 (1)電樞回路電壓平衡方程(2)電磁轉(zhuǎn)矩方程（1）電樞回路電壓平衡方程：Ea是電樞反電勢，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即 Ea=Ce(t) Ce電動機(jī)反電勢系數(shù)（v/rad/s）(2)電磁轉(zhuǎn)

6、矩方程： -電動機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù) （Nm/A） -是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩（Nm）(3)電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程： J電動機(jī)和負(fù)載折合到電動機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量（ kgm）Mc(t)-電動機(jī)和負(fù)載折合到電動機(jī)軸上的等效負(fù)載轉(zhuǎn)矩（Nm/rad/s） 將式-聯(lián)立求解：電動機(jī)電磁時(shí)間常數(shù)（s）電動機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)（s） 電壓傳遞系數(shù)(rad/(s.V)轉(zhuǎn)矩傳遞系數(shù)(rad/(s.N.m) 對于恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載，式5可以表示為： 控制系統(tǒng)中用測速發(fā)電機(jī)和直流電動機(jī)同軸連接用來檢測轉(zhuǎn)速，發(fā)電機(jī)中等效電感和轉(zhuǎn)動慣量都較小，而等效電阻較大，忽略含電磁時(shí)間常數(shù)和機(jī)電時(shí)間常數(shù)的項(xiàng)，得到測速發(fā)電機(jī)輸入輸出的函數(shù)關(guān)系式電動機(jī)的

7、轉(zhuǎn)速 與電樞電壓 成正比例5.直流電動機(jī)輸出軸帶齒輪減速機(jī)構(gòu)拖動負(fù)載的單元，輸入量為電動機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩Mm(t)，輸出量為電動機(jī)轉(zhuǎn)軸角速度齒輪系齒輪1和齒輪2的轉(zhuǎn)速，齒數(shù)和半徑粘性摩擦系數(shù)和轉(zhuǎn)動慣量原動轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩齒輪系的作用：減速和增大力矩解：齒輪傳動中，兩個嚙合齒輪的線速度相同，傳送的功率也相同，有關(guān)系式：齒數(shù)與半徑成正比，即：因此有關(guān)系式：根據(jù)力學(xué)原理對齒輪1和2寫出其運(yùn)動方程：消去中間變量：齒輪系微分方程為：為折合到齒輪1的等效轉(zhuǎn)動慣量、等效粘性摩擦系數(shù)和等效負(fù)載轉(zhuǎn)矩令 許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運(yùn)動規(guī)律可能完全一樣可以用一個運(yùn)動方程來表示，稱它們?yōu)榻Y(jié)構(gòu)相似系統(tǒng)上例的

8、機(jī)械平移系統(tǒng)和RLC電路就可以用同一個數(shù)學(xué)表達(dá)式分析，具有相同的數(shù)學(xué)模型。列寫元件微分方程的步驟：1）根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入和輸出量；2）分析元件工作中所遵循的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律，列寫相應(yīng)的微分方程；3）消去中間變量，得到輸入和輸出之間關(guān)系的微分方程，即得到元件時(shí)域數(shù)學(xué)模型。4）整理，與輸入有關(guān)的放在等號右面，與輸出有關(guān)的放在等號左面，并按照降階次進(jìn)行排列。習(xí)題 彈簧阻尼器系統(tǒng)二、控制系統(tǒng)的微分方程的建立圖2.3 具有負(fù)反饋的速度給定控制系統(tǒng)原理圖圖2.4 控制系統(tǒng)方塊圖1. 運(yùn)算放大器單元2. 反相器單元3. 功率放大器單元4. 他勵直流電動機(jī)單元5. 測速發(fā)電

9、機(jī)與反饋電位器單元Tl電磁時(shí)間常數(shù)，Tm機(jī)電時(shí)間常數(shù)，Ce反電動勢系數(shù)，Cm轉(zhuǎn)矩系數(shù)三、非線性特性的近似線性化處理在實(shí)際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。于是，建立的動態(tài)方程就是非線性微分方程，對其求解有諸多困難，因此，對非線性問題做線性化處理確有必要。對弱非線性的線性化如上圖（a），當(dāng)輸入信號很小時(shí)，忽略非線性影響，近似為放大特性。對（b）和（c），當(dāng)死區(qū)或間隙很小時(shí)（相對于輸入信號）同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示。平衡位置附近的小偏差線性化輸入和輸出關(guān)系具有如下圖所示的非線性特性。在平衡點(diǎn)A（x0，y0）處，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾，y只在A附近變化，則可對

10、A處的輸出輸入關(guān)系函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知，當(dāng) 很小時(shí)，可用A處的切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性化。可得 ，簡記為 y=kx若非線性函數(shù)由兩個自變量，如zf（x,y），則在平衡點(diǎn)處可展成（忽略高次項(xiàng)） 經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)系，從而使問題大大簡化。但對于如圖（d）所示為強(qiáng)非線性，只能采用第七章的非線性理論來分析。對于線性系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性（或叫齊次性）。例： 設(shè)線性微分方程式為若 時(shí)，方程有解 ，而 時(shí)，方程有解 ，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當(dāng) 時(shí)，必存在解為 ，即為可疊加性。

11、 上述結(jié)果表明，兩個外作用同時(shí)加于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)等于各個外作用單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)之和，而且外作用增強(qiáng)若干倍，系統(tǒng)響應(yīng)也增強(qiáng)若干倍，這就是疊加原理。若 時(shí)， 為實(shí)數(shù)，則方程解為 ，這就是齊次性。解：由于研究的區(qū)域?yàn)?x7、10y12，故選擇工作點(diǎn)x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66.求在點(diǎn)x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達(dá)式。將非線性方程在點(diǎn)x0,y0,z0處展開成泰勒級數(shù)，并忽略其高階項(xiàng)，則有因此，線性化方程式為： z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66當(dāng)x=5,y=10時(shí)，z的精確值為z=xy=510=50由線性化方程求

12、得的z值為z=11x+6y=55+60-66=49因此，誤差為50-49=1，表示成百分?jǐn)?shù) 例1：試把非線性方程 z=xy 在區(qū)域5x7 、 10y12上線性化。求用線性化方程來計(jì)算當(dāng)x=5，y=10時(shí)z值所產(chǎn)生的誤差。取一次近似，且令 即有 例2 已知某裝置的輸入輸出特性如下，求小擾動線性化方程。解. 在工作點(diǎn)(x0, y0)處展開泰勒級數(shù) 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（1）1 復(fù)數(shù)有關(guān)概念 （1）復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)函數(shù) 例1 （2）模、相角 （3）復(fù)數(shù)的共軛 （4）解析 若F(s)在 s 點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)都存在，則F(s)在 s 點(diǎn)解析。 模相角 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（2）2 拉氏變換的定義

13、 （1）階躍函數(shù)像原像3 常見函數(shù)的拉氏變換（2）指數(shù)函數(shù) 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（3）（3）正弦函數(shù) 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（4）（1）線性性質(zhì)4 拉氏變換的幾個重要定理（2）微分定理證明：0初條件下有： 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（5）例2 求解. 例3 求解. 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（6）（3）積分定理零初始條件下有：進(jìn)一步有： 例4 求 Lt=? 解. 例5 求解. 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（7）（4）實(shí)位移定理證明：例6解. 令 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（8）（5）復(fù)位移定理證明：令例7例8例9 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（9）（6）初值定理證明：由微分定理例10 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換

14、有關(guān)內(nèi)容（10）（7）終值定理證明：由微分定理例11（終值確實(shí)存在時(shí)）例12 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（11）用拉氏變換方法解微分方程L變換系統(tǒng)微分方程L-1變換設(shè)象函數(shù)F(s)為5.拉氏反變換(1) 象函數(shù)是真分式(mm查表法（分解部分分式法）試湊法系數(shù)比較法留數(shù)法例1 已知，求解.例2 已知，求解.復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（13）例3 已知，求解一.解二：復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（14）II. 當(dāng) 有重根時(shí)(設(shè) 為m重根，其余為單根)復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（15）復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（16）例4 已知，求解.復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（17）將B(s)除以A(s)，把F(s)變成一個s

15、的多項(xiàng)式與一個余式有理真分式之和的形式，再將余式展開成部分分式，最后求取原函數(shù)。(2) 象函數(shù)是真分式(mn)例：解：B(s)除以A(s)得：復(fù)習(xí)拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（18）1 拉氏變換的定義 （2）單位階躍2 常見函數(shù)L變換（5）指數(shù)函數(shù)（1）單位脈沖（3）單位斜坡（4）單位加速度（6）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)L變換重要定理（2）微分定理（5）復(fù)位移定理（1）線性性質(zhì)（3）積分定理（4）實(shí)位移定理（6）初值定理（7）終值定理 線性定常微分方程求解微分方程求解方法 第二節(jié) 傳遞函數(shù)(transfer function) 傳遞函數(shù)的概念與定義 線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出初始條件均為零的條件下，輸出的

16、拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。這里，“初始條件為零”有兩方面含義：一指輸入作用是t0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)，在t= 時(shí)的值為零。二指輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即t= 時(shí) ，系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。 許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)性能的 。 用微分方程來描述系統(tǒng)比較直觀 ，但是一旦系統(tǒng)中某個參數(shù)發(fā)生變化或者結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。為此提出傳遞函數(shù)的概念。一、傳遞函數(shù)的定義和概念以上一節(jié)例（1）RLC電路的微分方程為例：設(shè)初始狀態(tài)為零，對上式進(jìn)行拉氏變換，得到：G(s)R(s)C(s)一般形式：設(shè)線

17、性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是：c(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：分母中s的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。 因?yàn)榻M成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母階次大于等于分子階次，即 ,是有理真分式，若 ,我們就說這是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的有理真分式，它的分子，分母的階次是：。二、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否則無法用拉氏變換導(dǎo)出；傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與輸入、輸出無關(guān)；傳遞函數(shù)只表明一個特定的輸入、輸出關(guān)系，對于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有統(tǒng)一的傳遞函數(shù)；（可定

18、義傳遞函數(shù)矩陣） 一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與之對應(yīng)。這將在第四章根軌跡中詳述。傳遞函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， ，所以， 傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統(tǒng)的零狀態(tài)模型，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實(shí)意義，而且容易實(shí)現(xiàn)。三、傳遞函數(shù)舉例說明如圖所示的RLC無源網(wǎng)絡(luò)，圖中電感為L（亨利），電阻為R（歐姆），電容為C（法），試求輸入電壓ui(t)與輸出電壓uo(t)之間的傳遞函數(shù)。解：為了改善系統(tǒng)的性能，常引入圖示的無源網(wǎng)絡(luò)作為校正元件。無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容、電感組成，利用電路理論可方便地求出其動態(tài)方程，對其進(jìn)行拉氏變換即可求出傳遞函數(shù)。這里用直接

19、求的方法。因?yàn)殡娮琛㈦娙?、電感的?fù)阻抗分別為R、1Cs、Ls，它們的串并聯(lián)運(yùn)算關(guān)系類同電阻。則傳遞函數(shù)為已知某系統(tǒng)在0初條件下的階躍響應(yīng)為： 試求：（1） 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； （2） 系統(tǒng)的特征根及相應(yīng)的模態(tài)； （3） 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； （4） 求系統(tǒng)微分方程； 解.（1） (2) (4) (3) 四、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 一個傳遞函數(shù)可以分解為若干個基本因子的乘積，每個基本因子就稱為典型環(huán)節(jié)。常見的幾種形式有：不同的元部件可以有相同的傳遞函數(shù)；若輸入輸出變量選擇不同，同一部件可以有不同的傳遞函數(shù) ；任一傳遞函數(shù)都可看作典型環(huán)節(jié)的組合。傳遞函數(shù)都可看作典型環(huán)節(jié)的組合1）比例環(huán)節(jié):其輸出量和輸

20、入量的關(guān)系，由下面的代數(shù)方程式來表示式中 環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等。2）慣性環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的常系數(shù)非齊次微分方程式來表示傳遞函數(shù)為：式中 T 環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。特點(diǎn)：含一個儲能元件，對突變的輸入,其輸出不能立即發(fā)現(xiàn)，輸出無振蕩。實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。3）積分環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的微分方程式來表示傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算

21、機(jī)中的積分器等。4）微分環(huán)節(jié)：是積分的逆運(yùn)算，其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來表示傳遞函數(shù)為：式中 環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號的變化趨勢。實(shí)例：測速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。5）振蕩環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的二階微分方程式來表示。傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個獨(dú)立的儲能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。6）延遲環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來表示傳遞函數(shù)為：式中 延遲時(shí)間特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其

22、數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。以上6種是常見的基本典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型1）是按數(shù)學(xué)模型的共性建立的，與系統(tǒng)元件不是一一對應(yīng)的；2）同一元件，取不同的輸入輸出量，有不同的傳遞函數(shù)，有不同的傳遞函數(shù)；3）環(huán)節(jié)是相對的，一定條件下可以轉(zhuǎn)化；4）基本環(huán)節(jié)適合線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型描述。第三節(jié) 控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是一種數(shù)學(xué)模型，采用它將更便于求傳遞函數(shù)，同時(shí)能形象直觀地表明輸入信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。一、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的概念系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖由若干基本符號構(gòu)成。構(gòu)成動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本符號有四種，即信號線、傳遞方框、綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)。信號線 表示信號輸入、輸出的通道。箭頭代表信號傳遞的方向。2. 傳遞方框

23、G(s)方框的兩側(cè)為輸入信號線和輸出信號線，方框內(nèi)寫入該輸入、輸出之間的傳遞函數(shù)G(s)。3. 綜合點(diǎn)綜合點(diǎn)亦稱加減點(diǎn)，表示幾個信號相加、減，叉圈符號的輸出量即為諸信號的代數(shù)和，負(fù)信號需在信號線的箭頭附近標(biāo)以負(fù)號。省略時(shí)也表示4. 引出點(diǎn)表示同一信號傳輸?shù)綆讉€地方。二、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式1. 串聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框與方框通過信號線相連，前一個方框的輸出作為后一個方框的輸入，這種形式的連接稱為串聯(lián)連接。2. 并聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)兩個或兩個以上的方框，具有同一個輸入信號，并以各方框輸出信號的代數(shù)和作為輸出信號，這種形式的連接稱為并聯(lián)連接。3.

24、 反饋連接一個方框的輸出信號輸入到另一個方框后，得到的輸出再返回到這個方框的輸入端，構(gòu)成輸入信號的一部分。這種連接形式稱為反饋連接。G(s)R(s)C(s)H(s)三、系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成構(gòu)成原則： 按照動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式，構(gòu)成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，連接成系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。以機(jī)電隨動系統(tǒng)為例，如下圖所示舉例說明系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成其象方程組 如下：系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(1)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(2)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(4)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(5)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(6)(smqsfJs+21mC)(sMm)(sMm)(smqsfJs+21

25、sfJs+1系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(7)(smqsfJs+21mC)(sMm系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(8)(smqsfJs+21mC)(sMm電磁力矩：電樞反電勢：電樞回路：力矩平衡：電樞控制式直流電動機(jī)直流電動機(jī)結(jié)構(gòu)圖四 結(jié)構(gòu)圖的等效變換思路： 在保證總體動態(tài)關(guān)系不變的條件下，設(shè)法將原結(jié)構(gòu)逐步地進(jìn)行歸并和簡化，最終變換為輸入量對輸出量的一個方框。1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（）串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)等效變換證明推導(dǎo)G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1. 串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（）等效變換證明推導(dǎo)G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1. 串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效

26、變換（）串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)兩個串聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的乘積。1. 串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（）2. 并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)等效變換證明推導(dǎo)(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)2. 并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換等效變換證明推導(dǎo)C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s) 并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)

27、兩個并聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。3. 反饋結(jié)構(gòu)的等效變換反饋結(jié)構(gòu)圖G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)C(s) = ?3. 反饋結(jié)構(gòu)的等效變換等效變換證明推導(dǎo)G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)3. 反饋結(jié)構(gòu)的等效變換反饋結(jié)構(gòu)的等效變換圖G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)4.綜合點(diǎn)的移動（后移）綜合點(diǎn)后移G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)綜合點(diǎn)后移證明推導(dǎo)（移動前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點(diǎn)后移證明推導(dǎo)（移動后）

28、移動前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移動后綜合點(diǎn)后移證明推導(dǎo)（移動前后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點(diǎn)后移證明推導(dǎo)（移動后）G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)綜合點(diǎn)后移等效關(guān)系圖G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)綜合點(diǎn)前移G(s)R(s)C(s)Q(s)綜合點(diǎn)前移證明推導(dǎo)（移動前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點(diǎn)前移證明推導(dǎo)（移動后）移動前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)？移動后綜合點(diǎn)前移證明推導(dǎo)（移動前后）4.綜合點(diǎn)的移動（前移）綜合點(diǎn)前

29、移證明推導(dǎo)（移動后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？4.綜合點(diǎn)的移動（前移）綜合點(diǎn)前移等效關(guān)系圖G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)1/G(s)綜合點(diǎn)之間的移動R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)4.綜合點(diǎn)之間的移動結(jié)論：結(jié)論：多個相鄰的綜合點(diǎn)可以隨意交換位置。R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)5. 引出點(diǎn)的移動引出點(diǎn)后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)問題： 要保持原來的信號傳遞關(guān)系不變， ？等于什么。引出點(diǎn)后移等效變換圖G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C

30、(s)1/G(s)R(s)引出點(diǎn)前移問題： 要保持原來的信號傳遞關(guān)系不變， ？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)引出點(diǎn)前移等效變換圖G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)引出點(diǎn)之間的移動ABR(s)BAR(s)引出點(diǎn)之間的移動相鄰引出點(diǎn)交換位置，不改變信號的性質(zhì)。ABR(s)BAR(s)五 舉例說明（例1）例1：利用結(jié)構(gòu)圖變換法，求位置隨動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Qc(s)/Qr(s) 。例題分析由動態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以看出該系統(tǒng)有兩個輸入r，ML（干擾）。 我們知道：傳遞函數(shù)只表示一個特定的輸出、輸入關(guān)系，因此，在求c對r的關(guān)系時(shí)，根

31、據(jù)線性疊加原理，可取力矩ML0，即認(rèn)為ML不存在。要點(diǎn)：結(jié)構(gòu)變換的規(guī)律是：由內(nèi)向外逐步進(jìn)行。例題化簡步驟（1)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：例題化簡步驟（2)內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換：例題化簡步驟（3)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：例題化簡步驟（4)反饋環(huán)節(jié)等效變換：例題化簡步驟（5)求傳遞函數(shù)Qc(s)/Qr(s) ：練習(xí)：試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。五舉例說明（例2）例2：系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。例2 （例題分析）本題特點(diǎn)：具有引出點(diǎn)、綜合交叉點(diǎn)的多回路結(jié)構(gòu)。例2 （解題思路）解題思路：消除交叉連接，由內(nèi)向外逐步化簡。例2 （解題方法一）將綜合點(diǎn)2后移，然后與綜合點(diǎn)3交換。內(nèi)反饋環(huán)

32、節(jié)等效變換內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果反饋環(huán)節(jié)等效變換等效變換化簡結(jié)果例2 （解題方法二）將綜合點(diǎn)前移，然后與綜合點(diǎn)交換。例2 （解題方法三）引出點(diǎn)A后移例2 （解題方法四）引出點(diǎn)B前移結(jié)構(gòu)圖化簡步驟小結(jié)確定輸入量與輸出量。如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖化簡，求得各自的傳遞函數(shù)。若結(jié)構(gòu)圖中有交叉聯(lián)系，應(yīng)運(yùn)用移動規(guī)則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。對多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進(jìn)行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖化簡注意事項(xiàng)：有效輸入信號所對應(yīng)的綜合點(diǎn)盡量不

33、要移動；盡量避免綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)之間的移動。x1x4x3x2abc1一、信流圖的基本概念 支路： 表示變量之間的傳輸關(guān)系。 節(jié)點(diǎn)： 表示系統(tǒng)中的變量。 信號流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法。信號流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成第四節(jié) 信號流圖和梅森公式信號流圖的基本術(shù)語（1）源節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路，沒有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)，它對應(yīng)于系統(tǒng)的輸入信號，或稱為輸入節(jié)點(diǎn)。（2）匯節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路，沒有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為阱點(diǎn)，它對應(yīng)于系統(tǒng)的輸出信號，或稱為輸出節(jié)點(diǎn)。（3）混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支點(diǎn)也有輸出支點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)稱為混合節(jié)點(diǎn)。（4）支路 相鄰兩個節(jié)點(diǎn)之間的定向連線稱為支路。（5）傳輸 指支路的傳輸系數(shù)，控制系統(tǒng)的傳輸指結(jié)構(gòu)框圖中的傳遞函數(shù)。 （6）通路 若干個支路沿信號傳輸方向順序的連接起來成為通路，沿通路行進(jìn)時(shí)，遇到同一節(jié)點(diǎn)的次數(shù)不多于一次。（控制系統(tǒng)中稱為通道）,通路的起始端是首條支路的輸入節(jié)點(diǎn)，終止端是末尾支路的輸出節(jié)點(diǎn)。（7）回環(huán) 是閉