點集拓撲學(xué)的基本概念

1、點集拓撲學(xué)點集拓撲學(xué)(Point Set Topology)，有時也被稱為一般拓撲學(xué)(General Topology)，是數(shù)學(xué)的拓 撲學(xué)的一個分支。它研究拓撲空間以及定義在其上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基本性質(zhì)。這一分支起源于以下 幾個領(lǐng)域：對實數(shù)軸上點集的細致研究，流形的概念，度量空間的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已經(jīng)成文化了。通過這種可以為所有數(shù)學(xué)分支適用的表述形式， 點集拓撲學(xué)基本上抓住了所有的對連續(xù)性的直觀認識。具體地說，在點集拓撲學(xué)的定義和定理的證明中使用了一些基本術(shù)語，諸如：開集和閉集開核和閉包鄰域和鄰近性緊致空間連續(xù)函數(shù)數(shù)列的極限，網(wǎng)絡(luò)，以及濾子分離公理度量空

2、間在數(shù)學(xué)中，度量空間是一個集合，在其中可以定義在這個集合的元素之間的距離(叫做度量)的 概念。度量空間中最符合我們對于現(xiàn)實直觀理解的是三維歐幾里得空間。事實上，“度量”的概念就是 對從歐幾里得距離的四個周知的性質(zhì)引發(fā)的歐幾里得度量的推廣。歐幾里得度量定義了在兩個點 之間的距離為連接它們的直線的長度?？臻g的幾何性質(zhì)依賴于所選擇的度量，通過使用不同的度量我們可以構(gòu)造有趣的非歐幾里得幾何， 比如在廣義相對論中用到的幾何。度量空間還引發(fā)拓撲性質(zhì)如開集和閉集，這導(dǎo)致了對更抽象的拓撲空間的研究?！拘再|(zhì)】度量空間是元組(M,d)，這里的M是集合而d是在M上的度量(metric)，就是函數(shù)d : Af x A

3、f R使得d(x, y) 0 (非負性)d(x, y) = 0當且僅當x =(不可區(qū)分者的同一性d(x, y) = d(y, x)(對稱均d(x, z) 0)的關(guān)于x的開球為集合 E ：、：廠苗 V .。這些開球生成在M上的拓撲，使它成為拓撲空間。明顯的，M的子集被稱為開集，如果它是(有 限或無限多)開球的并集。開集的補集被稱為閉集。以這種方式從度量空間引發(fā)的拓撲空間叫做可 度量化空間因為度量空間是拓撲空間，在度量空間之間有連續(xù)函數(shù)的概念。這個定義等價于平常的連續(xù)性的 -6定義(它不提及拓撲)，并可以使用序列的極限直接定義。開集在拓撲學(xué)和相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，集合U被稱為開集，如果在直覺上說，從U

4、中任何一點x開始你 可以在任何方向上稍微移動一下而仍處在集合U中。換句話說，在U中任何點x與U的邊界之間 的距離總是大于零。例如，實數(shù)線上的由不等式W 規(guī)定的集合稱為開區(qū)間，是開集。這時候的邊界為實數(shù)軸 上的點2和5,如由不等式-%，或者一：5規(guī)定的區(qū)間由于包含其邊界，因此不能 稱之為開集。開集是指不包含自己邊界點的集合?；蛘哒f，開集把它所包含的任何一點的充分小的鄰域也包含 在其自身之中。開集的概念一般與拓撲概念是緊密聯(lián)系著的，通常先公理化開集，然后通過其定 義邊界的概念。滿足X2 + y2 = r2的點（x,y）著藍色。滿足X2 + y2 0使得，如 果給定任何Rn中點y，有著從X到它的歐幾

5、里得距離小于，則y也屬于U。等價的說，U是開集， 如果所有U中的點有包含在U中的鄰域。一度量空間度量空間（M,d）的子集U是開集，如果給定任何U中的點X，存在一個實數(shù) 0使得，如果給 定任何M中的點y，有d（X,y） 0，存在y屬于S，且d(x, y) 1) = z in C : |z| 1。在任意歐幾里得空間，任意有限集合的內(nèi)部是空集。在實數(shù)集上，除了標準拓撲，還可以使用其他的拓撲結(jié)構(gòu)。若X = R，且R有下限拓撲，則int(0, 1) = 0, 1)。若考慮R中所有集合都是開集的拓撲，則int(0, 1) = (0, 1)。若考慮R中只有空集和R自身是開集的拓撲，則int(0, 1)是空集

6、。上述示例中集合的內(nèi)部取決于背景空間的拓撲。接下來給出的兩個示例比較特殊。在任意離散空間中，由于所有集合都是開集，所以所有集合都等于其內(nèi)部。在任意不可分空間X中，由于只有空集和X自身是開集，所以int(X) = X且對X的所有真子 集A，int(A)是空集。閉包數(shù)學(xué)上，集合S的閉包包含了所有靠近S”的點。S的閉包中的點稱為S的閉包點。閉包的概念和 內(nèi)部的概念對偶?！径x】閉包點對歐幾里得空間的子集S，若所有以x為中心的開球都包含S的點(這個點也可以是x)，x是S 的閉包點。這個定義可以推廣到度量空間X的任意子集S。具體地說，對具有度量d的度量空間X，x是S的 閉包點，若對所有r 0，存在y屬于

7、S，使得距離d(x, y) 1) = z 屬于 C : |z| 1。若S為歐幾里得空間的有限子集，則cl(S)= S。(在一般拓撲空間，這個性質(zhì)和公理等 價。)在實數(shù)集上，除了標準拓撲，還可以使用其他的拓撲結(jié)構(gòu)。若X = R，且R有下限拓撲，則cl(0, 1) = 0, 1。若考慮R中所有集合都是開(閉)集的拓撲，則cl(0, 1) = (0, 1)。若考慮R中只有空集和R自身是開(閉)集的拓撲，則cl(0, 1) = R。上述示例中集合的閉包取決于背景空間的拓撲。接下來給出的兩個示例比較特殊。在任意離散空間中，由于所有集合都是開(閉)集，所以所有集合都等于其閉包。在任意不可分空間X中，由于只

8、有空集和X自身是開(閉)集，所以空集的閉包是空集， 對X中的非空集A，cl(A) = X。也就是說，所有非離散空間中的非空集都是稠密的。集合的閉包也取決于背景空間。例如：若X是有理數(shù)集合，具有從歐幾里得空間R中得到的子空 間拓撲，且S = q屬于Q : q2 2，則S是Q中的閉集，且S在Q中的閉包是S。相應(yīng)的，S在歐幾 里得空間R中的閉包是所有大于等于的實數(shù)組成的集合。鄰域在拓撲學(xué)和相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，鄰域是拓撲空間中的基本概念。直覺上說，一個點的鄰域是包含 這個點的集合，你可以稍微“抖動”一下這個點而不離開這個集合。這個概念密切關(guān)聯(lián)于開集和內(nèi)部的概念?！径x】矩形不是它的任何一角的鄰域如果X是

9、拓撲空間而p是X中的一個點，p的鄰域是集合，它包含了包含p的開集 puc V 注意，自身不必須是開集。如果，是開集則它被稱為開鄰域。某些作者要求鄰域是開集，所以注 意約定是很重要的。一個點的所有鄰域的集合叫做在這點上的鄰域系統(tǒng)。如果S是X的子集，S的鄰域是集合，它包含了包含S的開集U?？傻贸黾蟅是S的鄰域，當 且僅當它是在S中的所有點的鄰域。一在度量空間中在度量空間M = (X,d)中，集合V是點p的鄰域，如果存在以p為中心和半徑為r的開球，Bt(P)= B(p- r) = 壬 E X I p) 0集合S的r-鄰域S是X中與S的距離小于r的所有點的集合(或等價的說S是以S中一個 點為中心半徑

10、為r的所有開球的并集)?？芍苯拥贸鰎-鄰域是一致鄰域，并且一個集合是一致鄰域當且僅當它包含對某個r值的r-鄰域。給定實數(shù)集合R帶有平常的歐幾里得度量和如下定義的子集，則，是自然數(shù)集合N的鄰域，但是不是這個集合的一致鄰域。緊空間在數(shù)學(xué)中，歐幾里得空間Rn的子集是緊致的，如果它是閉合的并且是有界的。例如，在R中，閉 合單位區(qū)間0, 1是緊致的，但整數(shù)集合Z不是（它不是有界的），半開區(qū)間0, 1）也不是（它不是閉 合的）。更現(xiàn)代的方式是稱一個拓撲空間為緊致的，如果它的開覆蓋都有有限子覆蓋。海涅-博雷爾定理證 明了這個定義對歐幾里得空間子集等價于閉合且有界”。注意：某些作者如布爾巴基使用術(shù)語預(yù)緊致”，

11、并把緊致”保留給是豪斯多夫空間并且預(yù)緊致”的 拓撲空間。一個單一的緊致集合有時稱為緊統(tǒng)（compactum）。【歷史和動機】術(shù)語“緊致”是莫里斯弗雷歇在1906年介入的。很久以來就認識到了像緊致性這樣的性質(zhì)對于證明很多有用的定理是必需的。最初“緊致”意味著 “序列緊致”（所有序列都有收斂子序列）。這是在研究主要的度量空間的時候。“覆蓋緊致”定義已經(jīng) 變得更加突出，因為它允許我們考慮更一般的拓撲空間，并且關(guān)于度量空間的很多已有結(jié)果可以 推廣到這種設(shè)置。這種推廣在研究函數(shù)空間的時候特別有用，它們很多都不是度量空間。研究緊致空間的主要原因之一是因為它們以某種方式類似于有限集合:有很多結(jié)果易于對有限集

12、合 證明，其證明可以通過極小的變動就轉(zhuǎn)移到緊致空間上。常說“緊致性是在有限性之后最好的事 情”。例如：假設(shè)X是豪斯多夫空間，我們有一個X中的點x和不包含x的X的有限子集A。則我們可 以通過鄰域來分離x和&對于每個A中的a，設(shè)U(x)和V(a)分別是包含x和a的不相交的 鄰域系統(tǒng)。則所有U(x)的交集和所有V(a)的并集就是要求的x和A的鄰域。注意如果A是無限的，則證明失敗，因為任意多個x的鄰域的交集可能不是x的鄰域。但這個證 明是可以挽救的，如果A是緊致的:我們可以簡單的選取A的覆蓋V(a)的有限子覆蓋。在這種方 式下，我們看到在豪斯多夫空間中，任何點都可以通過不包含它的任何緊致集合的鄰域來分

13、離。 事實上，重復(fù)這個論證證明了在豪斯多夫空間中任何兩個不相交緊致集合可以通過領(lǐng)域來分離- 注意這正好就是我們在豪斯多夫分離公理中把“點”(就是單元素集合)替代為“緊致集合”所得到的。 涉及緊致空間的很多論證很結(jié)果都服從這個模式。在度量空間中，所有的有限集都有最大與最小元素。一般而言，無限集可能不存在最大或最小元 素(比如R中的(0, 1)，但R中的非空緊子集都有最大和最小元素。在很多情況下，對有限集成 立的證明可以擴展到緊集。一個簡單的例子是對以下性質(zhì)的證明：定義在緊集上的連續(xù)實值函數(shù) 是一致連續(xù)的。【定義】一歐幾里得空間中的緊致性對于歐幾里得空間Rn的子集，下列四個條件是等價的：所有開覆蓋

14、都有有限子覆蓋。這是最常用的定義。所有在這個集合中的序列都有收斂子序列，它的極限點屬于這個集合。這個集合的所有無限子集有在這個集合中聚集點。這個集合是閉合與有界的。這是最容易驗證的定義，例如閉區(qū)間或閉n維球。在其他空間中，這些條件等價與否依賴于這個空間的性質(zhì)。注意盡管緊致性是集合自身(和它的拓撲)的性質(zhì)，閉合性是相對于它所在的空間的；上面的“閉合” 是在閉合于Rn中的意義上使用的。比如閉合在Qn中的集合典型的不閉合在Rn中，因此不是緊致 的。一拓撲空間中的緊致性上段中的“有限子覆蓋”性質(zhì)要比“閉合并有界”更加抽象，但是它在用于Rn的子集的子空間拓撲時 有明顯的好處，省去了使用度量或周圍(amb

15、ient)空間的需要。因此緊致性是個拓撲性質(zhì)。閉區(qū)間 0,1在某種意義上是本質(zhì)上緊致性的，不過它是如何嵌入R或Rn中的。拓撲空間X被定義為緊致的，如果它的所有開覆蓋有有限子覆蓋。在形式上，這意味著U Ua D X-：使得有著有限子集；使得對于所有X的開子集的構(gòu)成的集族Uu淑x-。經(jīng)常使用的等價定義依據(jù)了有限交集性質(zhì):如果任何滿足有限交集性質(zhì)的閉集的搜集有非空交集， 則空間是緊致的。這個定義對偶于使用開集的定義。某些作者要求緊致空間還是豪斯多夫的，并把非豪斯多夫的緊致性叫做預(yù)緊致。一度量空間中的緊致性在度量空間內(nèi)，緊集還可以定義為滿足以下任一條件的集合：任意序列有收斂子序列且該子序列的極限點屬于

16、該集合（自列緊集）。具備波爾查諾-魏爾施特拉斯性質(zhì)。完備且完全有界。其他形式的緊致性列緊集：每個有界序列都有收斂的子序列。可數(shù)緊集：每個可數(shù)的開覆蓋都有一個有限的子覆蓋。偽緊：所有的實值連續(xù)函數(shù)都是有界的。弱可數(shù)緊致：每個無窮子集都有極限點。在度量空間中，以上概念均等價于緊集。以下概念通常弱于緊集：相對緊致：如果一個子空間Y在母空間X中的閉包是緊致的，則稱Y是相對緊致于X。預(yù)緊集：若空間X的子空間Y中的所有序列都有一個收斂的子序列，則稱Y是X中的預(yù)緊 集。局部緊致空間：如果空間中的每個點都有個由緊致鄰域組成的局部基，則稱這個空間是局 部緊致空間?！拘再|(zhì)】緊集具有以下性質(zhì)：緊集必然是有界的閉集，

17、但反之不一定成立。緊集在連續(xù)函數(shù)下的像仍是緊集。 豪斯多夫空間的緊子集是閉集。實數(shù)空間的非空緊子集有最大元素和最小元素。在麗內(nèi)，一個集合是緊集當且僅當它是閉集并且有界。（海涅-博雷爾定理）定義在緊集上的連續(xù)實值函數(shù)有界且有最大值和最小值。定義在緊集上的連續(xù)實值函數(shù)一致連續(xù)。連續(xù)函數(shù)在數(shù)學(xué)中，連續(xù)是函數(shù)的一種屬性。直觀上來說，連續(xù)的函數(shù)就是當輸入值的變化足夠小的時候， 輸出的變化也會隨之足夠小的函數(shù)。如果輸入值的某種微小的變化會產(chǎn)生輸出值的一個突然的跳 躍甚至無法定義，則這個函數(shù)被稱為是不連續(xù)的函數(shù)(或者說具有不連續(xù)性)?！緦嵵颠B續(xù)函數(shù)】最基本也是最常見的連續(xù)函數(shù)是定義域為實數(shù)集的某個子集、取值

18、也是實數(shù)的連續(xù)函數(shù)。這類函 數(shù)的連續(xù)性可以用直角坐標系中的圖像來表示。一個這樣的函數(shù)是連續(xù)的，如果粗略地說，它的 圖像為一個單一的不破的曲線，并且沒有間斷、跳躍或無限逼近的振蕩。嚴格來說，設(shè)f是一個從實數(shù)集的子集1 三射到J 上的函數(shù)： IJ。f在I中的某個點C處是連續(xù)的當且僅當以下的兩個條件滿足：f在點C上有定義。c是1中的一個聚點，并且無論自變量x在I中以什么方式接近c，f(x)的極限都存在且等 于 f(c)。我們稱函數(shù)到處連續(xù)或處處連續(xù)，或者簡單的稱為連續(xù)，如果它在其定義域中的任意一點處都連 續(xù)。更一般地，當一個函數(shù)在定義域中的某個子集的每一點處都連續(xù)時，就說這個函數(shù)在這個子 集上是連續(xù)的。A定義不用極限的概念，也可以用下面所謂的： 廣方法來定義實值函數(shù)的連續(xù)性。仍然考慮函數(shù)： IJ。假設(shè)C是f的定義域中的元素。函數(shù)f被稱為是在C點連續(xù)當且僅當以下條件成立：對于任意的正實數(shù)頊，存在一個正實數(shù)60使得對于任意定義域中的匚I，只要x滿足C 8 x c + 6，就有，一，.m 成立。更直觀地，函數(shù)f是連續(xù)的當且僅當任意取一個J中的點f(c)的鄰域Q，都可以在其定義域I中選 取點x的足夠小的