高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)好題精選正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例

1、正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例題組一1.一船自西向東航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75、距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為A.17匹海里/時(shí)B.3446海里/時(shí)C.17上海里/時(shí)D.340海里/時(shí)解析：如圖.由題意知/MPN =75+45 =120 , / PNM=45在4PMN中，由正弦定理，得MNPMsin120 sin45，北東3.MN=68X -L= =34 而.2又由M至ij N所用時(shí)間為14-10=4小時(shí),34 617，船的航行速度v= = - v6 (海里 /時(shí)).42答案：A2. 一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在 A處看到一

2、燈塔 M在北偏東60方向,行駛4 h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東 15。方向，這時(shí)船與燈塔的距離為km.解析：如圖，依題意有 AB=15X4=60, Z MAB =30, / AMB = 45,在 AMB 中,由正弦定理得60 BMsin45sin30 ”解得 BM = 3042 km.3.如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A, B兩點(diǎn)間的距離,在這一岸定一基線 CD,現(xiàn)已測(cè)出 CD = a和/ ACD = 60/ Z BCD = 30, Z BDC=105, Z ADC = 60,試求 AB的長(zhǎng).解：在 4ACD 中，已知 CD = a, /ACD = 60, Z ADC = 60,所以 AC

3、= a.在 BCD中，由正弦定理可得BCasin105sin45 ,3+12-a.在4ABC中，已經(jīng)求得 AC和BC,又因?yàn)?ACB = 30,所以利用余弦定理可以求得A、 B兩點(diǎn)之間的距離為AB = AC2+BC2-2AC BC cos30 =*a.題組高度問(wèn)題4.據(jù)新華社報(bào)道，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“珍珠”在廣東饒平登陸.臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí)以上,大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)重的災(zāi)害， 不少大樹(shù)被大風(fēng)折斷.某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后,折成與地面成45。角，樹(shù)干也傾斜為與地面成75。角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20樹(shù) 干 底 部 的 距 離A.B. 10m米C.呼米D. 20山米解析：如圖，設(shè)樹(shù)干底部為 O,樹(shù)

4、尖著地處為 B,折斷點(diǎn)為A,/ OAB=60由正弦定理知,AO 2020 6sin45Lsin60 AO= (米)答案：A5.在一個(gè)塔底的水平面上某點(diǎn)測(cè)得該塔頂?shù)难鼋菫闉橛纱它c(diǎn)向塔底沿直線行走了30m,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?Q再向塔底前進(jìn)10寸3 m,又測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?4 2則塔的 高度為.解析：如圖，依題意有 PB=BA=30 , PC=BC=10V3 .在三角形BPC中，由余弦定理可得cos2 9=(10 3)2 + 302 -( 10.3)22 10 3 30,所以2 0 =30 , 4 0 =60 ,在三角形 PCD中,2可得 PD=PC - sin4 0 =10 雙叵=1532答案：1

5、5 m6.某人在山頂觀察地面上相距2 500 m的A、B兩個(gè)目標(biāo)，測(cè)得目標(biāo) A在南偏西57,俯角為30,同時(shí)測(cè)得B在南偏東78,俯角是45,求山高(設(shè)A、B與山底在同一平面上，計(jì)算結(jié)果精確到0.1 m).解：畫(huà)出示意圖(如圖所示)4設(shè)山高PQ = h,則 APQ、4BPQ均為直角三角形,在圖(1)中，/ PAQ=30 , / PBQ=45 .PQ .AQ= tan 30-PQ3hh , BQ= -y=h在圖(2)中,ZAQB=57 +78 =135 , AB=2 500,所以由余弦定理得:AB2=AQ2+BQ2-2AQ BQcosZ AQB ,即 2 5002=( 43 h)2+h2-2 百h

6、 - h - cos135 =(4+ V6)h2,.h=粵U984.4(m).46答：山高約984.4 m.題組三角度問(wèn)題7.在 ABC 中，角 A、B、C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,如果c= V3a, B=30,那么角12010590753解析：-，c=3a, .sinC = V3sinA=T3sin(180 30 -C)= V3sin(30 +。=小(彳1sinC+ 2CosC),即 sinC = - /3cosC.，tanC = 爐.又 CC (0,180 ), .C= 120.答案：A.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新的三角形的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角

7、形C.鈍角三角形D.由增加的長(zhǎng)度決解析：設(shè)增加同樣的長(zhǎng)度為 x,原三邊長(zhǎng)為 a、b、c,且c2=a2 + b2, a+bc新的三 角形的三邊長(zhǎng)為a+x、b+x、c+ x,知c+x為最大邊，其對(duì)應(yīng)角最大.而(a + x)2+ (b+x)2-(c+ x)2= x2+ 2(a+b-c)x0,由余弦定理知新的三角形的最大角 的余弦為正，則為銳角，那么它為銳角三角形.答案：A題組四正、余弦定理的綜合應(yīng)用.有一山坡，坡角為30,若某人在斜坡的平面上沿著一條與山坡底線成30 角的小路前進(jìn)一段路后，升高了 100米，則此人行走的路程為()A. 300 mB. 400 mC. 200 mD. 200/3 m解析

8、：如圖，AD為山坡底線，AB為行走路線，BC垂直水平面.出貝UBC=100, / BDC=30 , / BAD=30BD=200 , AB=2BD=400 米.答案：B.線段AB外有一點(diǎn) C, /ABC=60, AB=200 km,汽車(chē)以80 km/h的速度由 A向B行駛，同時(shí)摩托車(chē)以 50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開(kāi)始 h后，兩 車(chē)的距離最小.解析：如圖所示：設(shè) t h后，汽車(chē)由A行駛到D,摩托車(chē)由B行駛到 E,貝U AD=80t, BE=50t.因?yàn)?AB=200 ,所以 BD=200-80t,問(wèn)題就是求DE最小時(shí)t的值.由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD - BEcos60=(200-80 t)2+2500t2-(200-80t) 50t=12900t2-42000t+40000.當(dāng)t= 0時(shí)DE最小.434311.如圖，扇形 AOB,圓心角 AOB等于60,半徑為2,小在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)P引平行于OB的直線和OA交于點(diǎn)/AOP=也求 POC面積的最大值及此時(shí) 0的值.解：因?yàn)?CP/OB,所以 ZCPO= ZPOB = 60- & - -Z1.4), CD=bm,連接 BD.則在 4CDB 中，(b 1)2=b2+a22abcos60._a2-4 b + 2