無錫一中高三數(shù)學知識點總匯

1、知識點總匯一集合、常用邏輯用語1注意集合中的代表元素（值域）、（定義域）與（圖象）是不同意義的集合，但前兩個集合可以作交并補運算2領會集合有關符號的意義(1) 元素與集合之間用；集合與集合之間用，如 ；(2)要注意與的區(qū)別3空集空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集；解題時要注意討論解集為空集的可能性4集合中元素的互異性這一點容易被忽視，杜絕出錯的方法是求解后檢驗，如1，3，求x的值（答案：x1）5子集的個數(shù)，真子集的個數(shù)，非空真子集的個數(shù)6Venn的圖運用Venn圖既具直觀性又具整體性7邏輯聯(lián)結詞或、且、非與真值表（或，一真即真；且一假即假），要準確理解邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”的含義，

2、防止混淆.8四種命題命題的四種形式（原命題、逆命題、否命題、逆否命題）；原命題與逆否命題等價；逆命題和否命題等價；注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”.9充分條件和必要條件（1）的充分不必要條件是，即是的充分不必要條件；（2）利用等價性命題判斷充要條件：當A和B等價（就是A是B的充要條件）時，“A是C的什么條件”就是“B是C的的什么條件”， 或利用集合來判斷充要條件：若，則是的充分條件；若AB，則是的充分不必要條件；（3）證明充要性大多情況應分開證明，應分別證明充分性與必要性.二函數(shù)解決函數(shù)的基本思路是：以定義域為前提，單調(diào)性為依據(jù)，發(fā)揮圖象的直觀作用，注意奇偶性，向求函數(shù)值域（或值）轉化1定義

3、域（列等價不等式組，最后用區(qū)間或集合表示）：分母不為0；偶次根式的被開方數(shù)0；對數(shù)的真數(shù)0，底數(shù)0且1；中；中；關于定義域有三種類型問題，根據(jù)解析式有意義求定義域，求復合函數(shù)定義域，實際問題的定義域對于實際問題、幾何問題的變量范圍應考慮本身屬性，如零件的個數(shù)反映在定義域上為正整數(shù)，三角形邊長反映在定義域上是正數(shù)等2、范圍、值域：將問題化簡（比如換元，但要注意換元后新變量的取值范圍），利用基本不等式、圖象或求導對于方程有解（沒有要求幾個解）求參數(shù)范圍問題可以通過分離變量法轉化為“參數(shù)在函數(shù)值域內(nèi)取值”3單調(diào)性：定義的含義，圖象的特征證明方法：用定義或用導數(shù)注意：有間斷的單調(diào)區(qū)間不能寫成“”的形式

4、，如函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間應寫成4奇偶性：定義（其中勿忘定義域關于原點對稱）， 圖象（奇函數(shù)圖象關于原點對稱、偶函數(shù)圖象關于軸對稱），證明非奇非偶函數(shù)通過特殊函數(shù)值加以否定是有力的方法5指數(shù)、對數(shù)函數(shù)：冪的運算律、對數(shù)運算性質、換底公式，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質解題時尤其要注意對數(shù)函數(shù)的定義域與指數(shù)函數(shù)的值域這些隱含條件的挖掘此外，還應注意底數(shù)a對單調(diào)性的影響（分類討論）要能夠通過指對數(shù)之間的轉換，判斷出y2x的圖象可由y62x圖象平移而得到6冪函數(shù)：在第四象限無圖象，熟悉在第一象限內(nèi)的性質，通過將冪函數(shù)化為根式形式，判斷它的奇偶性，進而推斷它在其它象限的性質7函數(shù)與方程：函數(shù)零點的概念，函數(shù)

5、零點與方程根的關系，零點存在定理（閱讀書本）注意數(shù)形結合思想、等價轉化思想的運用如，求a的值，使得函數(shù)yax的圖象和y的圖象有三個公共點的求解通過轉化為方程axx0，aR；a有兩個非零解，即有兩個非零解，通過畫出三次函數(shù)的圖象得出a8函數(shù)圖象關于軸對稱； 函數(shù)圖象關于（a，b）中心對稱；函數(shù)的周期為2a（a非零），函數(shù)的周期為注意：（1）如果一個函數(shù)有兩條都垂直于x軸的對稱軸，或兩個對稱點（連線垂直y軸）或一個對稱點一個對稱軸，它是一個周期函數(shù)，可用三角函數(shù)來的圖象幫助分析、思考; （2）區(qū)分同一函數(shù)圖象的軸對稱與兩個函數(shù)圖象關于某直線對稱的差異（前者取平均值，后者取相等值，即“一均，二等”）

6、如：函數(shù)，若，則的圖象關于直線對稱；函數(shù)與的圖象關于直線對稱 9證明：（1）周期：；（2）奇偶性：（或）；（3）單調(diào)性； （定義或導數(shù)）; （4）對稱性（曲線的對稱化歸為點的對稱：設曲線上任一點，寫出其對稱點，證明對稱點在曲線上）（5）抽象函數(shù)的性質證明（賦值法）10圖象變換（1）平移變換；（2）對稱變換；（3）翻折變換；（4）伸縮變換比如，；yx22x3；yx22x3；11關注兩大熱點：（1）含參數(shù)的二次函數(shù)在某區(qū)間上最值的討論：從開口方向、對稱軸與區(qū)間的位置關系出發(fā)進行討論；（2）二次方程根的分布：以函數(shù)圖象為依托，把方程問題等價轉化為函數(shù)圖象問題求解，尤其要注意判別式、對稱軸位置及邊界函

7、數(shù)值的限制三導數(shù)及其應用1了解導數(shù)的意義導數(shù)的幾何意義（切線的斜率）； 物理意義（瞬時速度，加速度）2要熟悉下列函數(shù)的導數(shù)、；掌握函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)運算法則；會求復合函數(shù)的導數(shù)3運用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大（小）值及閉區(qū)間上的最大（?。┲嫡f明：（1）可導函數(shù)單調(diào)遞增，則；（2）極值點的導數(shù)為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點；求極值時，需列表檢查的根的左右值的符號，從而判斷是否為極值，是極大值還是極小值；（3）極值與最值的區(qū)別極值是局部性的，最值是全局性的極值不一定是最值（邊界值可能是最值），最值也不一定是極值（最值可能是邊界上值）；（4）求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的方法：列表比較極值與區(qū)間

8、端點的函數(shù)值的大?。唬?）求某曲線的切線方程時注意判斷已知點是否是切點，若不是則設切點 4函數(shù)的極值點只要有一個落在區(qū)間內(nèi)也就是導數(shù)有正、有負時，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不具有單調(diào)性，否則是單調(diào)函數(shù)四、三角函數(shù)1三角函數(shù)的定義，弧度制下弧長公式和扇形面積公式()特殊角的三角函數(shù)值要記牢坡度、仰角、俯角、方位角：通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(或叫做坡比)； 朝上看時,視線與水平面夾角為仰角；朝下看時，視線與水平面夾角為俯角；在水平面上，從指北方向順時針轉到目標方向線的角為方位角2三角變換：誘導公式；同角三角函數(shù)關系； 兩角和與差的三角函數(shù)；倍角公式（升冪與降冪公式?？迹┹o助角公式在求單

9、調(diào)區(qū)間、對稱中心、對稱軸、最值起著重要作用3三角化簡的通性通法（切化弦、降冪公式、用三角公式轉化出現(xiàn)特殊角，異角化同角，異名化同名，高次化低次，互為余角或互為補角的組合，齊次式的處理）. 三角公式的靈活運用：與，平方相加整體處理，移項平方相加消元注：齊次式，如已知求、的值；此時要注意常數(shù)“1”的代換，在三角的恒等變形中，要特別注意角的拆分與組合，如： ，等求值題要注意隱含條件的發(fā)掘對于兩解的取舍，可通過三角函數(shù)圖象解決練習：已知中求4三角函數(shù)性質：單調(diào)區(qū)間的求法；對稱軸與對稱點的求法；注意正切函數(shù)的定義域以及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性5三角函數(shù)圖象變換：平移變換與周期變換僅對x作變換，若x的系

10、數(shù)不是1，必須將系數(shù)提出再進行圖象變換求三角函數(shù)圖象的解析式時盡可能利用最值對應的點，若最值點沒有直接給出，則盡可能找出來6在ABC中，內(nèi)角和A+B+C=180；正弦定理:2R=；余弦定理：a=b+c-2bc， ；面積公式：；內(nèi)切圓半徑r=；大邊對大角，兩邊之和大于第三邊注意選擇化角為邊還是化邊為角 練習： 若A、B是銳角三角形ABC的兩個內(nèi)角，則點P（）在第 象限(提示：AB AB) 已知，為銳角，求的值（提示:()，根據(jù)正弦曲線可以判讀出為鈍角）ABC中A、B、C所對的邊為a,b,c，且，求的值（提示：將展開化為邊，再由余弦定理求出cosB）7注意將四邊形轉化為三角形8三角函數(shù)的單調(diào)性應注

11、意單調(diào)區(qū)間的重復間隔和角的范圍三角不等式的求解應通過三角函數(shù)的圖像來解，如直線斜率小于1，則直線的傾斜角范圍是什么？可以通過正切曲線求出范圍是 0，)(，)五、平面向量1向量加、減法及其幾何表示：利用三角形法則或平行四邊形法則，（首尾相連）；（同一起點，差向量指向被減向量終點）2有關概念：向量平行（又稱共線）； 方向上的單位向量；與共線的單位向量；向量垂直（不研究的垂直問題）；規(guī)定與任意向量平行；規(guī)定與任意向量的數(shù)量積為0直線ykxb的一個方向向量是3平面向量的分解：，其中、是不共線的兩個非零向量（詳見平面向量基本定理），這種唯一性分解表現(xiàn)在有序實數(shù)對（x，y）是唯一的若、是軸、軸正方向上的單

12、位向量時，且，則可記作 4向量的坐標表示與坐標運算：對于兩個非零向量, ，根據(jù)數(shù)乘向量，有（也滿足這個式子）； ；、共線存在，使且兩向量有公共點5數(shù)量積：6ABC中線AD對應的向量更一般化，A不再直線BC上，tk ，則D、B、C共線的充要條件是tk1說明：（1）要得到兩向量的夾角，需要將向量平移至同一個起點；（2）數(shù)量積是一個實數(shù)，可正可負可為零，兩個非零向量的數(shù)量積的符號是由其夾角的余弦值決定的；（3）投影：在方向上的投影為；（4），這里（x，y）（5）判斷與的夾角是鈍角還是銳角，只要看與0的大小關系，但要特別注意：銳角應為且不共線（排除同向共線）；鈍角應為且不共線（排除反向共線）練習：以下

13、命題，其中正確的為_ 若，則; 在中，則； 若 則 ; 若和是非零向量，則 ； ; 若，則存在唯一的實數(shù)，使成立； 設和是平面內(nèi)的兩個已知向量，則對平面內(nèi)的任意向量，存在唯一的一組實數(shù)使成立；中有一個點G，使，則G是的重心，反之也成立；若非零向量、的夾角為，則為銳角的充要條件為；（答案是，你能推證出嗎？）六、數(shù)列1等差、等比數(shù)列的基本概念和性質等差數(shù)列等比數(shù)列定義（d為常數(shù)）（q為非零常數(shù)）通項公式前n項和當時，；當時， 性質成等差數(shù)列成等比數(shù)列中項A是的等差中項成等差數(shù)列又G是的等比中項成等比數(shù)列又注意：（1）等比數(shù)列中的項、公比都不為0；關注新形成的等比數(shù)列的公比（2）在等比數(shù)列求和時要注

14、意對公比q的討論（3）注意等差中項的應用，如等差數(shù)列中當n為奇數(shù)時2數(shù)列的四種求和方法：分組求和，通過拆分，將一個數(shù)列變?yōu)閮蓚€數(shù)列之和，；錯位相減（其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列）；裂項相消（如）；逆序相加請你自己對每一種方法舉一個求和的例子3遞推數(shù)列：（1）與混合出現(xiàn)（全化為或全化為），一般是用退一步或進一步的辦法，求出一般性表達式后注意驗證，即關注變形后n的范圍；（2）簡單變形后化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，如同除某式；（3）累加與累乘：（4）待定系數(shù)法（如）4證明等差、等比數(shù)列的方法：（1）用定義；（2）用 證等差；用a10，證等比5要注意觀察規(guī)律，從前幾項中找出規(guī)律，再加以證明6數(shù)列不等式的證明

15、：（1）利用數(shù)列單調(diào)性（需證明），轉化為最值問題；（2）應用放縮，原則是放縮到能求和的形式（如放縮后裂項相消，或放縮后變?yōu)榈炔罨虻缺葦?shù)列求和），但要注意放縮的程度；（3）數(shù)列的單調(diào)性和函數(shù)的單調(diào)性是相通的，但也有區(qū)別如數(shù)列an的通項公式是ann2n，該數(shù)列是遞增的，則滿足，而不是滿足1用相當于單調(diào)函數(shù)定義的作差法an1an0比較簡單7應用題：單利、復利的計算：等額還貸有現(xiàn)值法與終值法兩種分析方式七、不等式1解不等式：一定要關注定義域，列不等式組（如定義域、單調(diào)性等問題），變形，最終通過數(shù)軸或圖象寫出解集2解一元二次不等式的討論：依據(jù)二次函數(shù)圖像，先討論二次項系數(shù)，再討論，再討論兩根大小，最后整

16、合3比較大小常用方法：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性；（6）尋找中間量如0或1 4基本不等式的使用：一正、二定、三相等；注意連續(xù)兩次使用時取等號的條件5絕對值不等式：基本思想是去絕對值，（如:解不等式或，但恒成立不能用此方法）、平方、討論等6一元二次不等式：與一元二次方程、二次函數(shù)結合，常見的討論有：開口方向、對稱軸、，根的大小等7不等式恒成立問題常用的處理方法有一是分離參數(shù)，轉化成最值；二是從函數(shù)角度出發(fā)，數(shù)形結合，利用根的分布、通過導數(shù)判斷單調(diào)性求最值8線性規(guī)劃：確定可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義找出最優(yōu)解目標函數(shù)的幾何意義一般是與直線在y軸上截距有關系；也有和定點的距離有關的；也有和定點連線的斜

17、率有關的注意所求式子的結構特點，利用數(shù)形結合的思想方法求最值或確定相關變量的范圍解決線性規(guī)劃應用題的步驟是：先找約束條件，作出可行域，明確目標函數(shù)，其中關鍵就是要搞清目標函數(shù)的幾何意義，找可行域時要注意把直線方程中的y的系數(shù)變?yōu)檎稻毩暎?已知，且，求的最小值不等式對一切恒成立，求的取值范圍八、立體幾何初步1重點在線面、面面平行、垂直的證明掌握“八大定理”是證明的關鍵2角度、距離：盡管在立幾中不要求求線線角、距離、線面角、距離、面面角、距離，但對定義還是要清楚的 3作輔助線要明確怎樣作出來的，即要清楚表述在什么地方取點，如何連線4在求多面體體積時一定要說明高是什么，為什么是高作輔助線時看不見才

18、作成虛線5平行平面的直線上的點到平面等距離；平面過線段中點，則線段兩端到平面等距離6注意正三棱錐（側棱長相等、底面是正多邊形）的隱含條件（對棱互相垂直；頂點在底面的射影是底面正三角形的中心）8球體積、表面積；球與多面體內(nèi)切、外接9一般而言，探索的點要優(yōu)先考慮中點、端點等特殊位置的點九、空間向量（僅理科）1.向量加、減法及其幾何表示：利用三角形法則或平行四邊形法則（類比平面向量）進行，（首尾相連）；（同起點，差向量指向被減向量終點）2.共線向量定理：對空間任意兩個向量，與共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使.3.共面向量定理:如果兩個向量不共線,那么向量與向量共面的充要條件是存在有序實數(shù)組,使得(即

19、向量可以由兩個不共線的向量線性表示).4. 空間向量基本定理:如果三個向量不共面,那么對空間任一向量,存在惟一的有序實數(shù)組,使.推論： 設O,A,B,C是不共面的四點,則對空間任意一點P，都存在惟一的有序實數(shù)組，使得.如果三個向量不共面,那么空間的每一個向量都可由線性表示， 稱為空間的一個基底, 叫做基向量.正交基底和單位正交基底5.A、B、C不共線，點O不在平面ABC上，點P滿足向量關系，則A,B,C, P四點共面是的充要條件6. 對于零向量，在空間任取一點O，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定.7. 數(shù)量積運算律：； ； . 8. 數(shù)量積的性質：，（是非零向量），（記為2）.9. 空間向

20、量的坐標運算類似與平面向量的坐標運算. 10. 設，則 x2x1， y2y1，z2z1.11. 已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即=cos，.12. 設，則|，x1x2y1y2z1z2，13. 設、則14. 設空間兩條直線的方向向量分別為，兩個平面的法向量分別為，則有下表：平行垂直15. 用向量的方法求空間角： 兩異面直線所成角：先求出它們方向向量的夾角，再確定兩異面直線所成的角，即確定兩異面直線所成角與它們的方向向量的夾角是相等還是互補.斜線與平面所成角：即直線與平面的垂線所成角的余角，是一個銳角，因此可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角來求得，見圖1.兩平面所成的二面角：利用兩平面的

21、法向量的夾角來求.二面角的平面角與兩平面的法向量的夾角相等或互補，見圖2.要根據(jù)實際圖形判斷相等還是互補.二面角的取值范圍是.圖1圖2十、直線和圓的方程在解析幾何中解題關鍵就是把題目中的幾何條件代數(shù)化，特別是一些很不起眼的條件，有時起著關鍵作用，如點在曲線上、相交、共線、以某線段為直徑的圓經(jīng)過某點、線段中點等如果題目中沒有現(xiàn)成的直角坐標系，要建立適當?shù)淖鴺讼禂?shù)形結合是解決解幾問題的重要思想方法，要記得畫圖分析1理解直線的傾斜角與斜率的概念，掌握斜率公式求直線斜率的方法：傾斜角法：已知直線的傾斜角為，且90，則斜率k=tan.公式法：已知直線過兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x

22、2，則斜率k=.直線方程的形式：點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式，以及各種形式的局限性.如點斜式不適用于斜率不存在的直線，因此在使用點斜式時，設直線方程就應討論直線的斜率是否存在：斜率存在時設直線方程為，斜率不存時給予補充說明例如，一條直線經(jīng)過點(-3，-1.5)，且被圓截得的弦長為8，求此弦所在的直線的方程該題就要討論斜率是否存在，不要漏掉解x+3=0.直線在坐標軸上的截距可正，可負，也可為0. 直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以形如，也可以形如y=kx（直線在兩條坐標軸上的截距都是0，也是截距相等）直線的方向向量與直線的斜率關系：當直線的方向向量為=（x0，y0）時，直線斜率k

23、=_；當直線斜率為k時，直線的方向向量=_.2兩條直線平行與垂直的條件（斜截式、一般式），應注意條件是否充要兩條直線，有； 若直線l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，則（1）直線l1l2的充要條件是k1=k2且b1b2.（2）直線l1l2的充要條件是k1k2=1.若l1和l2都沒有斜率，則l1與l2平行的充要條件是l1與l2在x軸上的截距不等.若l1和l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為0，則l1l2.3距離問題：（1）點到直線的距離：點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d= ，（2）兩平行線間的距離可用點到直線距離公式來求，也可以用以下結論：兩

24、平行線l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0間的距離d=.4直線與圓的位置關系：處理直線與圓的位置關系有兩種方法：通過圓心到直線的距離與圓的半徑作比較（如直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑）；直線方程與圓的方程聯(lián)立，再用判別式. 一般來說，前者更簡捷5處理圓與圓的位置關系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關系. 在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形（可自記為垂徑三角形）并且要更多聯(lián)想到圓的幾何性質直線與曲線有一個交點與直線與曲線相切是不同的（圓、橢圓相同）要將圓和直線、圓和圓的問題化歸成圓心和點、和直線的距離問題來處理6. 點關于直線成軸對稱問題由軸對稱

25、定義知，對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線”.利用“垂直”“平分”這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標.一般情形如下：設點P（x0，y0）關于直線y=kx+b的對稱點為P（x，y），則有可求出x、y.k=1，=k+b，特殊地，點P（x0，y0）關于直線x=a的對稱點為P（2ax0，y0）；點P（x0，y0）關于直線y=xb的對稱點為P(y0b，x0b）(將P（x0，y0）橫坐標、縱坐標分別代入直線y=xb，可求得P點的縱坐標、橫坐標；此法也適用于直線的斜率為1).7曲線關于點、曲線關于直線的中心或軸對稱問題，一般是轉化為點的中心對稱或軸對稱（這里既可選特殊點，也可選任意點實施轉化）.一

26、般結論如下：（1）曲線f（x，y）=0關于已知點A（a，b）的對稱曲線的方程是f（2ax，2by）=0.（2）曲線f（x，y）=0關于直線y=kx+b的對稱曲線的求法：設曲線f（x，y）=0上任意一點為P（x0，y0），P點關于直線y=kx+b的對稱點為P（y，x），則由（2）知，P與P的坐標滿足從中解出x0、y0， k=1，=k+b， 代入f（x0，y0）=0，就求出了曲線f（x，y）=0關于直線y= kxb的對稱曲線方程.十一、圓錐曲線方程1橢圓中長軸長為2a，短軸長2b，焦距2c，勾股弦關系，離心率，橢圓上點的坐標應滿足一定的范圍；雙曲線中實軸長為2a，虛軸長2b，焦距2c，勾股弦關系，

27、離心率，漸近線方程；拋物線中離心率，焦參數(shù)表示的是焦點到相應準線的距離利用三種圓錐曲線各自的幾何性質，可以有效地簡化計算2注意圓錐曲線定義的應用：到兩個焦點的距離之間的關系第一定義；到焦點與到準線距離之間的關系第二定義處理焦點三角形問題時注意正、余弦定理地運用；特別注意雙曲線第一定義中的“絕對值”3點差法（只有同時出現(xiàn)弦的中點、斜率才用，并且要確定中點在內(nèi)部，圓的中點問題則用垂徑三角形），用韋達定理也要注意判別式4求軌跡問題的主要方法：定義法、轉移法（反代法）、直接法（將幾何條件代數(shù)化），參數(shù)法（軌跡的參數(shù)方程）軌跡和軌跡方程是不同的概念求圓的方程，在有關于圓心的條件下設標準方程；在有關于圓過

28、三點的條件下，用一般方程5注意平幾知識的應用，特別是在圓中（垂徑定理、圓周角與圓心角，切線長等的應用）.圓錐曲線中用弦長公式：，通過焦點的弦長可以考慮采用圓錐曲線的統(tǒng)一定義和韋達定理求解6參數(shù)方程主要用于求最值（設點在曲線上，好處是只有一個變量，便于建立函數(shù)）要注意等價地確定參數(shù)的取值范圍十二、算法初步理解流程圖的三種結構（順序、選擇、循環(huán)），理解用偽代碼表示的幾種基本算法語句（賦值語句、輸入語句、輸出語句、條件語句和循環(huán)語句），會用語句、DO語句實施循環(huán)練習 1一個用流程圖表示的算法如右圖所示，則其運行后輸出的結果為 i10開始i=i-1i=12，S=1結束輸出SYNS=Si2計算機執(zhí)行如下

29、圖所示程序后,輸出的結果是 a 1b 3While a8a abb abEnd whilePrint bEnd十三、統(tǒng)計與概率 1. 抽樣方法：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣（都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽樣的公平性），在系統(tǒng)抽樣時，對每一組進行抽樣時常用簡單隨機抽樣方法，而在分層抽樣時，在各層中抽樣時，如果各層的個體數(shù)不多，可用簡單隨機抽樣方法；如果各層或某層個體數(shù)較多，也可采用系統(tǒng)抽樣方法 2. 總體分布的估計：頻率分布直方圖：理解直方圖中注意縱、橫軸的實際意義；頻率=；每一個小矩形的面積是頻率=，每個小矩形的面積之和為1區(qū)分條形圖與直方圖對莖葉圖，了解莖與葉的實際意義注： 3. 總體特征數(shù)的

30、估計：樣本平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的中心，是平均水平，而樣本方差則反映了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度 4. 變量的相關性： 確定性關系（函數(shù)關系），相關關系（具有統(tǒng)計規(guī)律），無關關系 5. 古典概型：解決古典概型問題的操作步驟是明確所有基本事件；判定所有基本事件是否是等可能的；計算所有基本事件的個數(shù)；計算事件A包含基本事件的個數(shù)；計算事件A的概率 6. 幾何概型其特征一是基本事件（單點事件）的無窮性，二是所有基本事件的等可能性其公式為測度指線段或曲線段的長度、平面區(qū)域的面積、空間區(qū)域的體積.7. 互斥事件及其發(fā)生的概率：了解互斥事件及對立事件的概念及其意義，正確使用互斥事件的概率加法公式十四、復數(shù)1復數(shù)：形如的數(shù)，

31、對于復數(shù)，當時為實數(shù)；當時為虛數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)統(tǒng)稱復數(shù). 虛數(shù)單位i：，i的指數(shù)運算的周期性： 純虛數(shù)：復數(shù)中，時，即為純虛數(shù) 共軛復數(shù)：復數(shù)的共軛復數(shù)為 復數(shù)的模：，復數(shù)不能比較大小，但復數(shù)中的實數(shù)、復數(shù)的模能比較大小 2復數(shù)的四則運算：（1）復數(shù)的加（減）法：；（2）復數(shù)的乘法：；（3）復數(shù)的除法：= = 3復數(shù)的幾何意義：（1）復數(shù)用點來表示; （2）復數(shù)用向量來表示，復數(shù)的模就是向量的模.（3）|z1z2|表示復數(shù)z1與z2的兩點之間的距離練習：|z1 |3，z234i，則|z1z2|的最大值是 十五、推理與證明1、推理：從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理. 任何推理

32、都包含前提和結論兩個部分，前提是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識是什么；結論是根據(jù)前提推得的命題，它告訴我們推出的知識是什么.推理主要有：歸納推理、類比推理、演繹推理、猜想（1）從個別事實中推演出一般性的結論的推理通常稱為歸納推理. 歸納推理的思維過程大致如圖所示：猜測一般性結論概括、推廣實驗、觀察（2）根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同的推理通常稱為類比推理，簡稱類比法. 類比推理的思維過程大致如圖所示：猜測新的結論聯(lián)想、類推觀察、比較（3）由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法演繹推理.三段論式推理是演繹推理的主要形式，常用的格式為：

33、MP（M是P）SM（S是M）SP（S是P）三段論中包含了三個命題，第一個命題稱為大前提，它提供了一個一般性的原理；第二個命題叫小前提，它指出了一個特殊對象，這兩個結合起來，揭示了一般原理與特殊對象的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到第三個命題結論.2證明：是用一些真實的命題來確定某一命題真實性的思維形式（1）直接證明（分析法和綜合法）綜合法從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結論為止.分析法從問題的結論出發(fā)，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止.（2）間接證明.間接證明主要包括：反證法、同一法、枚舉法等. 反證法三個步驟：（1

34、）反設假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真；這時假設應作為已知使用（2）歸謬從反設和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果；（3）存真由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立. 3數(shù)學歸納法（完全歸納法）（1）用數(shù)學歸納法證明命題的步驟為： 驗證當取第一個值時，命題成立; 假設當時，命題成立; 證明當時，命題也成立，下結論（2）特別注意： 用數(shù)學歸納法證明問題時首先要驗證時成立，注意不一定為1 在第三步中，關鍵是要正確合理地運用第二步的歸納假設，尤其要弄清由到時命題（如結構）的變化.三步曲格式，其中有四處寫有成立十六、計數(shù)原理與概率（僅理科）(一)排列組合 1依據(jù)：分

35、類計數(shù)原理（或或）；分步計數(shù)原理（先再）2排列組合的解題策略：先分類再分步，特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮，結合樹形圖具體排（也稱為窮取法）（二）二項式定理1的通項公式：，（注意其結構特點），應用：求常數(shù)項、有理項及特殊項的系數(shù)2注意二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別：二項式系數(shù)之和，即定理；且 ；系數(shù)之和，在展開式中讓變量的都取1即可得到所有系數(shù)和；“賦值法”的一般應用，在（xy）n的展開式中取x1，y1，就可以得到，取x1，y1，就可以得到；在（xy）n的展開式中，x不換，y換成y，就可以將奇數(shù)項和偶數(shù)項分離開來在求系數(shù)和的時候要小心，注意弄清楚是否在內(nèi)；3求系數(shù)最大項，一般用比較法求4理解二項式系數(shù)產(chǎn)生

36、過程，即的展開式中的系數(shù)為的意義（教材中有詳細表述）5整除問題與近似運算（在應用題中的應用）6二項式系數(shù)的性質，（1）（可證（逆序相加） （2） （3）（可以直接使用）練習： 中的系數(shù)是_（用二項式系數(shù)產(chǎn)生的方法求）的展開式中整理后的常數(shù)項為_（注意括號內(nèi)是完全平方）展開式中含項的系數(shù)為_（將括號內(nèi)分解，或用其它方法）利用二項式定理證明（三）概率與統(tǒng)計 （1）離散型隨機變量及其分布列：隨機變量是隨機事件的數(shù)量化的刻畫，隨機現(xiàn)象的規(guī)律轉化為隨機變量的取值及其概率 （2）超幾何分布：通過venn圖理解 （3）條件概率及相互獨立事件：注意獨立事件與互斥事件的區(qū)別，前者是指在兩個試驗中，兩個事件發(fā)生的

37、概率互不影響，計算公式為P（AB）P（A）P（B）后者是指在同一次試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P（AB）P（A）P（B）條件概率是指事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下一個事件的概率，因此總的基本事件是A發(fā)生條件下的所有基本事件，如果用條件概率公式，則P(B/A）=P(AB)/ P(A)要注意P(AB)、P(B)都不是事件A發(fā)生的條件下事件的概率，它們是原生概率這樣處理條件概率問題會更容易：以事件A發(fā)生為前提，在此前提下求事件B的概率 （4）n次獨立重復試驗的模型及二項分布：n次獨立重復試驗要從四個方面考慮每次試驗在同樣條件下進行；各次試驗的結果互不影響；每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發(fā)生，

38、要么不發(fā)生；各次試驗中事件發(fā)生的概率都相等（5）離散型隨機變量的均值和方差：求隨機變量的均值與方差，首先寫出隨機變量所有可能的取值，然后求出隨機變量取每個值時的概率，列出分布列，最后利用均值、方差的公式進行計算具有線性關系的隨機變量的數(shù)學期望（均值）與方差有以下關系式：若隨機變量和Z滿足aZb，則E（）；V（）十七、矩陣與變換（僅理科）一常見的平面變換1恒等變換 恒等變換矩陣，即單位矩陣2伸壓變換（沿水平方向或豎直方向兩種）（1）沿x軸方向的伸壓變換矩陣： ;（2）沿y軸方向的伸壓變換矩陣：3反射變換(軸反射或點反射兩種)（1）關于x軸： （2）關于y軸： （3）關于原點： （4）關于直線：

39、（5）關于直線：4旋轉變換 繞原點逆時針方向旋轉角： 5投影變換 將平面圖形投影到某條直線或某個點注意：投影變換不是一一變換；投影變換既要考慮投影方向，又要考慮投影屏（1）光線垂直于x軸且投影到x軸的矩陣是：；（2）光線垂直于y軸且投影到y(tǒng)軸的矩陣是：；（3）光線垂直于yx且投影到y(tǒng)x的矩陣是： （4）光線垂直于x軸且投影到y(tǒng)x的矩陣是： 6切變變換：（1）沿x軸進行的： （你求出此變換中不動點嗎？）（2）沿y軸進行的： 把直線變?yōu)橹本€的變換通常稱為線性變換.一般地，二階矩陣所對應的變換是一個線性變換（你會證明嗎？書中給出了證明）常見的上述六種平面變換都是線性變換求變換矩陣只要找到與原點不共線

40、的兩點及其對應的兩點，就可以求出矩陣：如投影變換中的3：A（1，1）（1，1）；B（3，5）（4，4）二矩陣乘法1二階矩陣乘法規(guī)則：2的幾何意義是: 對向量連續(xù)實施兩次幾何變換（先再）的復合變換. 務必注意兩次幾何變換的順序.先變換矩陣寫在后面 3矩陣乘法性質：滿足結合律：注意：矩陣乘法不滿足交換律： ；不滿足消去律：若，無法推出4變換的復合：若為二階矩陣, 為平面向量，則表示先對實施矩陣B所對應的變換，再對B實施矩陣A所對應的變換.三逆變換與逆矩陣1定義：對于二階矩陣，若有,則稱A是可逆的，B為A的逆矩陣一個變換把變?yōu)?，而一個變換把變?yōu)?，則稱為的逆變換.注意：只有一一變換矩陣才存在逆矩陣.2逆矩陣求法：（1）公式法：，則 （2）待定系數(shù)法：設，利用,求出. 說明：（1）已知為二階矩陣, 且，若矩陣存在逆矩陣，則.相當于對兩邊左乘.（2），注意順序.可以通過穿鞋、穿襪子和脫鞋、脫襪子來理解. (3) 對于常見的平面變換還可以從變換意義的角度求逆矩陣，如求的逆矩陣3二階矩陣與二元一次方程組