高等幾何復(fù)習(xí)17-18-1

1、高等幾何復(fù)習(xí)題一、填空題 TOC o 1-5 h z 1、平行四邊形的仿射對(duì)應(yīng)圖形為：平行四邊形；2、線坐標(biāo)(1,2,1)的直線的齊次方程為：X1+2X2+X3=0 ；3、直線3x1 +2x2 =0上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為：(2,-3,0);4、設(shè)(AB,CD尸2,則點(diǎn)偶 AC調(diào)和分割點(diǎn)偶BD ;5、兩個(gè)射影點(diǎn)列成透視的充要條件是保持公共元素不變；6、寫出德薩格定理的對(duì)偶命題：三線形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)。7、兩個(gè)線束點(diǎn)列成透視的充要條件是底的交點(diǎn)自對(duì)應(yīng) _ *8、求射影變換72 -2九+1 =0的自對(duì)應(yīng)兀素的參數(shù)19、平面上4個(gè)變換群，射影群、仿射群、相似群、正交群的大小關(guān)系為： 射影

2、群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群。10、二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)方程為 4X1X3 -x2 = 0 ,則其線坐標(biāo)方程為是U1U3 -u2 = 0.11、經(jīng)過(guò)一切透視仿射不改變的性質(zhì)和數(shù)量，稱為仿射不變性和仿射不變量.12、共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是 仿射不變量. TOC o 1-5 h z 13、平面內(nèi)三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(原象不共線，映射也不共線 )決定唯一仿射變換. 2x -1 114、已知OX軸上的射影變換式為 X =,則原點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn) x 3322,一 、一一15、Ui -U2 =0 代表點(diǎn) (1,1,0)、(1,-1,0)的萬(wàn)程.16、ABCD為平行四邊形，過(guò) A弓I AE與對(duì)角線BD平行，則 A

3、(BC,DE)=-匚17、對(duì)合由兩對(duì)不同的對(duì)應(yīng)元素唯一決定.18、二階曲線就是兩個(gè)射影線束對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)的全體.2219、萬(wàn)程 U1 -5u1u2 +6u2 =0表本的圖形坐標(biāo)(1,2,0)(1,3,0)20、羅巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的兩直線叫做分散 直線.21、平行四邊形的仿射對(duì)應(yīng)圖形為：平行四邊形：22、直線X1 +5x2 =0上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為：(5, -1 ： 0)23、已知(l/z,%) =3,則(?3,12L)=3 ,(IiLLI)=-224、過(guò)點(diǎn)A(1, -i ,2)的實(shí)直線的齊次方程為：2X1 -X3 =025、兩個(gè)不同中心的射影對(duì)應(yīng)線束對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)構(gòu)成一條二階 曲線

4、.26、不在二階曲線 C上的點(diǎn)P關(guān)于C的調(diào)和共軻點(diǎn)的軌跡是一條直線，稱為P的 極 線.、選擇1、下列哪個(gè)圖形是仿射不變圖形？( D )A.圓，B.直角三角形,C.矩形，D.平行四邊形222、u1 +2u1u2-8u2=0 表不（C ）A.以-1/4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以1/2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),B.以-4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，C.以4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，D.以1/4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-1/2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn). TOC o 1-5 h z 3、兩個(gè)不共底且不成透視的射影點(diǎn)列至少可以由幾次透視對(duì)應(yīng)組成？（ B ）A.一次，B.兩次，C.三次，D.四次.4、下面

5、的名稱或定理分別不屬于仿射幾何學(xué)有（A ）:A.三角形的垂心，B.梯形，C.平面內(nèi)無(wú)三線共點(diǎn)的四線有六個(gè)交點(diǎn)，D.橢圓5、二次曲線按射影分類總共可分為（B ）A.4 類， B.5 類，C.6 類， D.8 類6、設(shè) Py）, P2（-1）, F3（g）為共線三點(diǎn)，則（PF2P3）= A .7、8、A.1 , B.2 , 已知共線四點(diǎn)A.-4 ,B-3,若共點(diǎn)四直線A.1 , B.2 ,C.3,D.4A、B、C、D 的交比(AB, CD)=2 ,則(CA , BD)= DC.-2,D.-1a,b,c,d 的交比為(ab,cd)=-1 ,則交比(ad,bc)= B .C.3,D.4 TOC o 1

6、-5 h z 9、點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0,0）的方程是AA.u 1=0, B. u2=0, C. u2=0 ,D. u4=010、證明公理體系的和諧性常用_C_ .A.公理法，B.反證法，C.模型法， D.演繹法11、一點(diǎn)列到自身的兩射影變換，其中為對(duì)合的是BA.1t 2, 2T 3, 3T 4； b.0t 1, 2T 3, 1t 0C.1t 3, 2t 1, 3T 4；D.0t 1 , 2T 3, 1t 212、下列哪個(gè)名稱或命題屬于射影幾何學(xué)（C ）A.三角形三條高線共點(diǎn)，B.直角三角形，C. Desargues定理，D.梯形.13、滿足條件（C ）的一維射影變換必為對(duì)合變換.A.有一個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)

7、， B.有兩個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)，C.有兩個(gè)合點(diǎn)， D.有三個(gè)對(duì)合點(diǎn).14、一維射影變換f如果滿足f-1=f,則稱之為（A ）變換.A.對(duì)合，B.簡(jiǎn)單，C.線性，D.非奇.三、判斷 TOC o 1-5 h z 1、仿射對(duì)應(yīng)不一定保持二直線的平行性.（X ）2、兩直線能把射影平面分成兩個(gè)區(qū)域.（，）3、當(dāng)正負(fù)號(hào)任意選取時(shí)，齊次坐標(biāo)（1,1,1）表示兩個(gè)相異的點(diǎn).（X）4、若一維射影變換的一對(duì)對(duì)應(yīng)元素（非自對(duì)應(yīng)元素）符合對(duì)合條件，則它一定是對(duì)合5、配極變換是一種非奇線性對(duì)應(yīng).（，）6、共線四點(diǎn)的交比是仿射不變量.（，）7、平行四邊形的射影對(duì)應(yīng)映像仍然是平行四邊形.（X ）8、直線 2xi -X2 +X3 =

8、0 上的三點(diǎn) A(1,3,1),B(2,5,1),C(1,2,0)的單比(ABC尸 0. ( x )9、共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是射影不變量.（x ）10、Desargues定理是自對(duì)偶命題.（X）11、二直線所成角度是相似群不變量.（，）12、二維射影對(duì)應(yīng)有 3對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)口t 一確定.（X）13、若交比（P1P3, P2P4）=2,則（P1P2, P3P4）=-1.（ V）14、一維射影變換如果有一個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)則必定為對(duì)合變換.（X ）四、計(jì)算、作圖1、求點(diǎn)（1,-1,0）關(guān)于二階曲線2223xi +5x2 +X3 +7x1X2 +4x1X3 +5x2X3 =0 的極線萬(wàn)程.解：極線方程一 37 / 22

9、T-xJ(1,-1,0)7/255/2 x2 =0,即 X1 +3x2+x3 = 0- 25/213_2、求仿射變換式使直線 x+2y1 = 0上的每個(gè)點(diǎn)都不變，且使點(diǎn)(1,-1)變?yōu)?-1,2).解：設(shè)所求仿射變換為xr = a1x + b1y +gy =a2x +b2y + c2在已知直線x+2y-1=0上任取兩點(diǎn)，例如取 （1,0）、（3,-1）,在仿射變換下，此二點(diǎn)不變。而點(diǎn)（1,-1）變?yōu)椋?1,2）,把它們分別代入所設(shè)仿射變換式，得% +G =13al -b1 +g =3,% +c2 =032 -b2 +c2 = -11-1 -h +c1 = 1 g2 -b2 +c2 =2由以上方

10、程聯(lián)立解得:故所求的仿射變換為:%=2, b1 =2, c1 =-1,、工 2 = -22b2 =-2,3 c2=2xH=2x +2y -1, 3x3y 二-2y ,224、求對(duì)合對(duì)應(yīng)，使得3, 5分別對(duì)應(yīng)與 2,1.題四5圖以1 = ”3、求射影變換 伏2 = X2的固定元素。以3 =X3|( -1-U)Xi - 0解：固定元素的方程為 (1 -u)x2 =0 ,特征方程為1 U)X3 =0解得 u=1 , u = -1.將u = -1代入固定點(diǎn)方程組，即得固定點(diǎn)為 （1,0,0）將u=1代入固定點(diǎn)方程組，得 X1=0這一點(diǎn)列上的每一點(diǎn)都是固定點(diǎn)。解：設(shè)所求變換為 kx =Ax,則A=ab

11、-a c-k2 I 1k2 ：1j TOC o 1-5 h z 2k1k2352k1k2I 35 112k1=A,解得 A=-kik2111_kik2 111_2 k1 1-2燈k22 - k1k210k15k1- 3k23k2由于-2k+k2= 3k2-5k1,所以，可取 k1=8, k2=14,從而得 A =11111,即所求變換為-x 11x 15、已知線束中三直線a,b,c,求作直線d,使(ab,cd)= -1.(畫圖，寫出作法過(guò)程和根據(jù))作法過(guò)程：.設(shè)a,b,c交于點(diǎn)A,在c上任取一點(diǎn) C,.過(guò)C點(diǎn)作兩直線分別與 a交于B、巳與b交于F, D,. BD與EF交于G ,. AG即為所求

12、的d. TOC o 1-5 h z 根據(jù)：完全四點(diǎn)形的調(diào)和共軻性.6、 平面上經(jīng)過(guò)A(-3,2)和B(6,1)兩點(diǎn)的直線被直線 x+3y-6=0截于P點(diǎn)，求單比(ABP)解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y。)，:(ABP)=AP=空=九(分割比)，而：x0=3且，丫。=生匕且P在直線x+3y-6=0上,、7 BP PB01 , 701 ， 2)+3(21上)_6=0,解得入=1即P是AB中點(diǎn)，且(ABP) = -1.1 7、已知仿射平面上直線 L的非齊次坐標(biāo)方程為 x-2y+1=0,求L的齊次坐標(biāo)方程；(2) L上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) L上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的方程。 Xi-2x2+X3=0(2) (1,1/

13、2,0)(3) 5 工=028、在直線上取笛氏坐標(biāo)為2,0,3的三點(diǎn)作為射影坐標(biāo)系的P*,Po,E, (i)求此直線上任一點(diǎn) P的笛氏坐標(biāo)x與射影坐標(biāo) 入的關(guān)系；(ii)問(wèn)有沒(méi)有一點(diǎn)，它的兩種坐標(biāo)相等？解：(i)由定義入=(P*Po, EP) = (2 0, 3x) =(3-2)(x-0) TOC o 1-5 h z (x-2)(3-0)3x-6Y1 0故：九=,且=6#03x -63 6(ii)若有一點(diǎn)它的兩種坐標(biāo)相等，即 乂=入則有*=,即3x27x=0,3x-6當(dāng)x=0及x= 7時(shí)兩種坐標(biāo)相等。39、求點(diǎn)列上的射影變換， 它將參數(shù)為1,2,3的點(diǎn)分別變?yōu)閰?shù)為 1,3,2的點(diǎn)，并求出此射

14、影變換的自對(duì) 應(yīng)元素的參數(shù)。解：設(shè)射影變換的方程為：a，jJ + b，u+c，J + d=0,由題意知：a+b + c + d=0,6a+2b+3c+d =0,6a+3b+2c+d=0 ,得至k a:b:c:d=3:5:5:7故射影變換方程為：3, . -5. -5 7 =0重元素滿足：37J_10九+7=0 得力.=7/3或K=110、求由兩個(gè)射影線束 Xi，幺3=0, X2九%=0, 3兒婷=0所構(gòu)成的二階曲線的方程。解:由題意 T=3九，x2 3x3 =0，由上式得 九=工=上,故所求方程即為3x1x3-x2x3 = 0.3X3X32211、求直線 3x1 -x2 +6x3=0 關(guān)于 x

15、1 +x2 2x1x2+2 x1x3-6 x2x3=0 之極點(diǎn)。一1解：設(shè)P0(x0,x2,x0)為所求，則-1x0 一 x0 + x0 =3解線性方程組Jx0 +x2 - 3x0 = -100 x1 - x2 =6I即(3,-1,-1)為所求極點(diǎn)的坐標(biāo).-11-31 父1-3 x0 00予1一3-1-6 J20 0 0得 x1 = 3, x2 - -1, x3 - -1,12、求直線x- 2y+3=0上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)。解：化為齊次式x1- 2x2+3x3=0，以 x3=0 代入1得 x2x2=0,x1=2x2 或x2= - x1無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 1, 0)、 x =7x y 113、求仿

16、射變換jy-x+2y+4的不變點(diǎn)解:, x = 7x -y , 1由 工工得y =4x 2y 46x - y -14x y 41解此萬(wàn)程，得不變點(diǎn)為 （一金,）14、求四點(diǎn)(2, 1, -1), (1, -1, 1), (1, 0, 0), (1, 5, -5)順這次序的交比 解：以(2, 1, -1)和(1, -1, 1)為基底，則(2, 1 , - 1)+ 四(1,- 1,1)相當(dāng)于(1, 0, 0).2 _ -1 L100得 M = 1又(2, 1, - 1)+ 以1,- 1,1)相當(dāng)于(1,5,- 5)-12得應(yīng)=所求交比為15、試求二階曲線的方程,X1-入 3=0 與 X2-九X3=

17、0它是由兩個(gè)射影線束（7J=上二1）所決定的./.-2解:=2-將X1-入3=0, X2-九1rx3=0中的，入 紜代入（1）得X2X3% -1X3_X1 2X3X1 - X3X1 2X3X2（X1+2X3）- X3（X1- X3）=0,化簡(jiǎn)，即得所求的二階曲線方程x1x2 2x2x3 -x1x3 x216、求兩對(duì)對(duì)應(yīng)元素，其參數(shù)為1,0T 2,所確定的對(duì)合萬(wàn)程。2解設(shè)所求為a 1 +b( + 1 )+d=0將對(duì)應(yīng)參數(shù)代入得:1a+(1 + l)b+d=0從中消去a,b,d得即九九+九+皿-2=0為所求17、給定點(diǎn)A、B,作出點(diǎn)C,作法：. (ABC)=ACBCAB延長(zhǎng)線上，作點(diǎn)C,18、過(guò)定

18、點(diǎn)P,作一條直線,(0+2) b+d=0h n F九九-20使(ABC)=4.AC -BCBCBC= - AB3九十九3223,即=0使通過(guò)兩條已知直線的不可到達(dá)的點(diǎn)作法：（利用代沙格定理）任取線束S,設(shè)束中兩條直線交 a于A, C, 交b于A, C;連直線PC, PC分別交線束S的第三條直線于 B, B; 直線BA和B A勺交點(diǎn)Q與點(diǎn)P的連線，即為所求的直線.A1A19、如圖，求作點(diǎn) P關(guān)于二次曲線r的極線.作法：過(guò)P點(diǎn)任引兩直線，使與 r分別交于A、B及C、D, 設(shè)Q=AC( BD , R=AD BC,那么直線 QR即為所求的極線.20、已知四直線ILD的方程順次為2x1 - X2 + X

19、3 =0, 3Xi + X2 - 2X3 =0, 7x1 - X2 =0, 5x1 - X3 =0, 求證四直線共點(diǎn)，并求-1-2解：因?yàn)?2=0且-10 =0-1-1所以1i，12，13，L共點(diǎn).四直線與X軸(X2=0)的交點(diǎn)順次為A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齊次坐標(biāo)為1_ 2_ 1A(- -,0),B( - ,0),C(0,0),D( -,0),所以 (lj,%。= (AB,235CD)=1 1 2(0)(-) d2531=112(0-)() 25221、求二階曲線的方程，它是由下列兩個(gè)射影線束所決定的:X Zx3 =0與x2 九x3 =0

20、且九九一九十2工十1 =.0解：射影對(duì)應(yīng)式為 九九九+2九+ 1 =0。由兩線束的方程有：九=&,九=0 ,將它們代入射影對(duì)應(yīng)式并化簡(jiǎn)得，X1X2 + 2x2x3 -X1X3 + x； = 0.X3X3此即為所求二階曲線的方程。22、解：k1求射影變換，設(shè)所求變換為1使得(1,0,1), (0,1,1), (1,1,1), (0,0,1) kx =Ax,貝 U分別對(duì)應(yīng)(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1).由于由于k3=A一101【1一10一1k1,故A=k2101k3(0,0,1)對(duì)應(yīng)(1,1,1),故一1-k1 =1k2【0-1k3-1工廠 k31 TOC o

21、 1-5 h z 0-11故 ki=1, k2=1, k3=-1. A= - 101 ,所求變換為1 - 110- 1 1kx，1 101 x1 -1 L23、求一維射影變換，使-1,0,1分別變?yōu)?,1,3.解：由于交比不變，所以(-10, 1 x) = ( 01, 3 x).即x=3(x+1)/(3-x).24、敘述下列圖形中的點(diǎn)線結(jié)合關(guān)系及其對(duì)偶命題，并畫出對(duì)偶圖形。解：每三點(diǎn)不共線的五個(gè)點(diǎn)，兩兩連線，完全5點(diǎn)形。對(duì)偶：每三線不共點(diǎn)的五條線，兩兩相交，完全 5線形。 ？對(duì)偶圖形就是自己五、證明題1、設(shè)(AB,CD)=(BC,DA)求證(AB,CD)=2. 1證明：(AB,CD)=(BA,

22、 CD)11 -(BC, AD)11 - 1/( BA, DA )1所以 (AB,CD)=1-1/( AB, CD)(AB,CD) =2,證畢.(AB,CD) -1 = 1,2、如圖，設(shè)FGH是完全四點(diǎn)形ABCD對(duì)邊三點(diǎn)形，過(guò)F的兩直線TQ 與SP分另1J交AB, BC, CD, DA于T, S, Q, P.試?yán)玫滤_格定理(或 逆定理)證明： TS與QP的交點(diǎn)M在直線GH上。在三點(diǎn)形BTS與三點(diǎn)形DQP中 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線 BD,TQ,SP三線共點(diǎn)，由德薩格定理的逆定理知，對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)BT與DQ的交點(diǎn)G, TS與QP的交點(diǎn)M以及 BS與DP的交點(diǎn)H三點(diǎn)共線，即TSWQP的交點(diǎn)M在直線 GH上3

23、、設(shè)P、Q、R、S是完全四點(diǎn)形的頂點(diǎn),A=PSX QR,B=PRX QS,C=PQX RS,證明題五2圖P1RQ :CBiAi=BCXQR,B 1=CAX RP, Ci=ABX PQ 三點(diǎn)共線.證明：在 ABC及4PQR中，. AP、BQ、CR 共點(diǎn) S.，對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn) C1=ABX PQ,Bi=CAX RP, Ai=BCX RQ 三點(diǎn)共線4、將ABC的每邊分成三等份，每個(gè)分點(diǎn)跟三角形的對(duì)頂相連，這六條線構(gòu)成一個(gè)六邊形（圖甲），求證它的三雙對(duì)頂連線共點(diǎn)。證明（按以下程序作業(yè)）：第一步：任意兩三角形，總存在仿射變換，使其中一個(gè)三角形仿射變換為另一三角形。故可將 ABC仿射變換為等邊4 A B峭王

24、）。第二步：在圖乙中，正三角形的每邊三等份， 每一分點(diǎn)跟三角形的對(duì)頂相連，這六條線構(gòu)成一個(gè)六邊形，第三步：由A作B上的高線A AB是正三角形，由又稱性可知K,N在AS上.同理J、M與P也分別在過(guò)點(diǎn)B、C所作的高線上，因?yàn)锳B白C三高線共點(diǎn)，所以六邊形JKLM勺NP三對(duì)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn).正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射變換構(gòu)成變換群，且同素性和接合關(guān)系以及三角形的重心是仿射不變性，所以原命題也成立題五5圖5、敘述Pascal定理的內(nèi)容并予以證明。定理：內(nèi)接于二階曲線的簡(jiǎn)單六點(diǎn)形，三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)共線。證明：設(shè)簡(jiǎn)單六點(diǎn)形 A1A2A3A4A5A6 ,其三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)分別為L(zhǎng),M,N,L= AA2

25、 n a4A5, M= A2A3 n A5A6, n= A3A4 A6A.以A,A3為中心，分別連接其他四點(diǎn)，則由定理得到AdA2 A4A5 A6A3（A2A4A5 A6 ）設(shè) A1A6 nA4A5=P, A5A6nA3A =Q則A A2A4A5A6L,A4,A5P , A3 A2A4A5A6M,Q,A5A6所以，(LAAPKfMQAA ).由于兩個(gè)點(diǎn)列底的交點(diǎn) A5TA5,故有L,A4,A5P M,Q,AA所以LM, A4Q, PA6三線共點(diǎn)，但 A4Q n PA6=N,即L,M,N三點(diǎn)共線。6、敘述并證明 Brianchon定理。定理：外切于非退化二級(jí)曲線的簡(jiǎn)單六線形，其三對(duì)對(duì)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。9證明：設(shè)簡(jiǎn)單六線形313233343536,其三對(duì)對(duì)頂?shù)倪B線分別為l, m, n.l為交點(diǎn)aia2, a4a5的連線，m為A23,A56的連線，n為A 34,a 6i的連線，以用,市為基線，分別與其他四線相交，則由定理得到ai(a2 3435a6)a3(a2a4a5%),設(shè)交點(diǎn)ai%與a4a5的連線為p,交點(diǎn)a5a6與a3a4的連線為q,則 94a5 : (a23435a6)(l,a4,a5,p),a5a6 : (a23435a6)(m,q,a5,a6),所以，(l,a4,a5,p)（m,q,a5,a6）,由于