破解橢圓中最值問題的常見策略

1、-. z破解橢圓中最值問題的常見策略有關(guān)圓錐曲線的最值問題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考察，其中以解答題為重，在平時的高考復(fù)習(xí)需有所重視。圓錐曲線最值問題具有綜合性強、涉及知識面廣而且常含有變量的一類難題，也是教學(xué)中的一個難點。要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決。本文通過具體例子，對橢圓中的常見最值問題進展分類破解。第一類：求離心率的最值問題破解策略之一：建立的不等式或方程例1：假設(shè)為橢圓的長軸兩端點，為橢圓上一點，使，求此橢圓離心率的最小值。分析：

2、建立之間的關(guān)系是解決離心率最值問題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化為邊的思想，但條件又不是與焦點有關(guān)，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標形式運用橢圓中的取值進展求解離心率的最值。解：不妨設(shè)，則，利用到角公式及得：，又點在橢圓上，故，消去，化簡得又即則，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的高次不等式 解得。故橢圓離心率的最小值為?；颍茫?，由，故注：此題假設(shè)是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值點評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何建立之間的關(guān)系。常用橢圓上的點表示成，并利用橢圓中的取值來求解圍問題或用數(shù)形結(jié)合進展求解。破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求圍例2：橢圓C：兩個焦點為，如果曲線C上存在一點Q，使，求橢圓

3、離心率的最小值。分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，如例1中所提的方法均可。此題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會有不錯的效果。解：根據(jù)三角形的正弦定理及合分比定理可得：故，故橢圓離心率的最小值為。點評：對于此法求最值問題關(guān)鍵是掌握邊角的關(guān)系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳暗花明又一村。第二類：求點點點線的最值問題破解策略之三：建立相關(guān)函數(shù)并求函數(shù)的最值下面第三類、第四類最值也常用此法例3：05年點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，。1求點P的坐標；2設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值。分析：解決

4、兩點距離的最值問題是給它們建立一種函數(shù)關(guān)系，因此此題兩點距離可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題進展求解。解：1略2直線AP的方程是+6=0。設(shè)點M(,0),則M到直線AP的距離是。于是=,又66,解得=2。 設(shè)橢圓上的點(,)到點M的距離,由于66, 當=時,d取得最小值點評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何將點點之間的最值問題轉(zhuǎn)化成我們常見函數(shù)二次函數(shù)的最值問題求解。破解策略之四：利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化例4：定長為的線段AB的兩個端點分別在橢圓上移動，求AB的中點M到橢圓右準線的最短距離。解：設(shè)F為橢圓的右焦點，如圖作于A，BB于B，MM于M，則當且僅當AB過焦點F時等號成立。故M到橢圓右準線的最短距離為。

5、點評：是橢圓的通徑長，是橢圓焦點弦長的最小值，是AB過焦點的充要條件。通過定義轉(zhuǎn)化防止各種煩瑣的運算過程。第三類：求角的最值問題例5：05年如圖，橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F(xiàn)2在*軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與*軸的交點為M，|MA1|A1F1|21。()求橢圓的方程；OF2F1A2A1PM()假設(shè)直線l1：*m(|m|1)，P為l1上的動點，使F1PF2最大的點P記為Q，求點Q的坐標 (并用m表示) 。分析：此題考察解析幾何中角的最值問題常采用到角 夾角公式或三角形中的正弦余弦定理，結(jié)合 此題的實際，考慮用夾角公式較為妥當。解：過程略II設(shè)P(當時，當時, 只需求的最大值即可。

6、直線的斜率，直線的斜率利用夾角公式得：當且僅當=時，最大，最大值為。點評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何將角的最值問題轉(zhuǎn)化成解析幾何中的相關(guān)知識最值問題，一般可用到角夾角公式、余弦定理、向量夾角進展轉(zhuǎn)化為求分式函數(shù)的值域問題。第四類：求三角形、四邊形等面積的最值問題例6：05年全國II、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值分析：此題是向量與解析幾何的結(jié)合，主要是如何選擇一個適當?shù)拿娣e計算公式到達簡化運算過程，并結(jié)合分類討論與求最值的思想。解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且PQMN，直線PQ、NM中至少有一條存在

7、斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為，又PQ過點F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設(shè)P、Q兩點的坐標分別為(，)，(，)，則 QPNMFO從而亦即(1)當0時，MN的斜率為，同上可得：故所求四邊形的面積令=得=2 當=1時=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)。當=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=。S=|PQ|MN|=2綜合知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。點評：對于此類最值問題關(guān)鍵是選擇一個適當或合理的面積公式轉(zhuǎn)化成常見函數(shù)反比例函數(shù)形式的最值問題。第五類：求線段之和或積的最值問題破解策略之五：利用垂線段小于等于折線段之和。例7：假設(shè)橢圓有一點，為右

8、焦點，橢圓上的點使得的值最小，則點的坐標為 ABCD提示：聯(lián)系到將用第一定義轉(zhuǎn)化成點到相應(yīng)準線的距離問題，利用垂線段最短的思想容易得到正確答案。選。思考：將題中的2去掉會怎樣呢？破解策略之六：利用三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊例8：如圖，在直線上任意取一點，經(jīng)過點且以橢圓的焦點作橢圓，問當在何處時，所作橢圓的長軸最短，并求出最短長軸為多少？分析：要使所作橢圓的長軸最短，當然想到橢圓的定義。根本的解題思路如下：長軸最短三點一直線尋求對稱對稱變換。在一系列的變化過程中巧妙的運用對稱，使我們找到一種簡明的解題方法。通過此對稱性主要利用PMyOlF1F2*N解：橢圓的兩焦點分別為3

9、，0、3,0，作關(guān)于直線的對稱點，則直線的方程為由方程組得的坐標6，3，由中點坐標公式得的坐標9,6,所以直線的方程。解方程組得點坐標5,4。由于，點評：對于此類最值問題是將所求的最值轉(zhuǎn)化成三角形兩邊之和大于第三邊或兩點連線最短、垂線段最短的思想。除了上述幾類之外，高考中還有數(shù)量積的最值問題、直線斜率或截距的最值問題等等，由此可見對于橢圓中的最值問題所涉及圍較廣，從中也滲透了求最值的一些常規(guī)方法，運用定義、平面幾何知識可更有效地將最值問題轉(zhuǎn)化成形的最值問題。橢圓中的最值問題一：求離心率的最值問題1：假設(shè)為橢圓的長軸兩端點，為橢圓上一點，使，求此橢圓離心率的最小值。2：橢圓C：兩個焦點為，如果曲

10、線C上存在一點Q，使，求橢圓離心率的最小值。二：求點點點線的最值問題3：05年點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，。1求點P的坐標；2設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值。4：定長為的線段AB的兩個端點分別在橢圓上移動，求AB的中點M到橢圓右準線的最短距離。三：求角的最值問題5：05年如圖，橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F(xiàn)2在*軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與*軸的交點為M，|MA1|A1F1|21。()求橢圓的方程；()假設(shè)直線l1：*m(|m|1)，P為l1上的動點，使F1PF2最大的點

11、OF2F1A2A1PMP記為Q，求點Q的坐標 (并用m表示) 。四：求面積的最值問題例6：05年全國II、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值五：求線段之和或積的最值問題7：假設(shè)橢圓有一點，為右焦點，橢圓上的點使得的值最小，則點的坐標為 ABCDPMyOlF1F2*N8：如圖，在直線上任意取一點，經(jīng)過點且以橢圓的焦點作橢圓，問當在何處時，所作橢圓的長軸最短，并求出最短長軸為多少？9點F是橢圓的右焦點，M使這橢圓上的動點，A2,2是一個定點，求|MA|+|MF|的最小值。10定點A2，1，F(xiàn)1，0是橢圓的一個焦點，P是橢圓上的點，求|PA|+3

12、|PF|的最小值.11橢圓上上一點P到兩焦點距離之積為m，則m取最大值時，p點的坐標是ABC12求橢圓上的點到直線的最大距離和最小距離.o*yF1F2MF113的焦點為F1、F2，在直線上找一點M,求以F1、F2為焦點，通過點M且點M到兩焦點的距離之和最小時的橢圓方程.運用雙曲線模型解題數(shù)學(xué)問題模型化的主要思想就是構(gòu)造一種實物作為數(shù)學(xué)問題的元素，把數(shù)學(xué)問題中元素間抽象的相互關(guān)系解釋為這種實物間的一種具體關(guān)系。于是，抽象的數(shù)學(xué)問題就有了一種解釋，也就是把這個數(shù)學(xué)問題建立了一個數(shù)學(xué)模型。實踐說明，在解題過程中，建立和運用模型思想，有利于整體性和創(chuàng)造性地處理問題。以下從六個方面就建立和運用雙曲線模型

13、解題作點說明。1.解方程例1.解方程簡析與解：由兩根式差為4，聯(lián)想到雙曲線的定義，可用雙曲線模型解題。原方程即為式可看著動點P(*，y)到定點(2,0)與(4,0)的距離之差為4，由雙曲線的定義知動點P(* , y)的軌跡是以(2 , 0)，(4 , 0)為焦點，實、虛半軸長分別為2，的雙曲線的右支，將y2 = 4代入解得*1(負根舍去)即*12.解不等式例2.解不等式sec+tan簡析與解：考慮到sec2tan2=1，可構(gòu)成雙曲線模型來解題。令*sec，ytan,則原不等式等價于 令*yt ()，問題轉(zhuǎn)化為求使平行直線系y*t與等軸雙曲線有交點的一般雙曲線弧的圍。在同一坐標系中分別作出雙曲線

14、*2y2=1及y=*t的圖象，知1*，1y1原不等式的解集為2k2k，kz3.求值域例3.求函數(shù)t*的值域。簡析與解：因為y的圖象就是雙曲線y(*1)1的上支，所以此題也可構(gòu)造雙曲線模型來解。將原函數(shù)變形為t*，令yt*，則問題轉(zhuǎn)化為求直線l：yt*與曲線C：y有交點的t的取值圍，而曲線C就是雙曲線y2(*21)1的上支。在同一坐標系中作出曲線C及直線l的圖象，知t1。原函數(shù)的值域為tt14.確定字母的取值圍例4.a0且a1，試求使方程loga(*ak) (*2a2)有解的k的取值圍。簡析與解：原方程等價于*ak0，聯(lián)想到y(tǒng)的圖象是雙曲線*2y2a2在*軸上方的局部，于是可考慮用雙曲本模型來解

15、題。令y*ka，原題轉(zhuǎn)化為平行直線系y*ak與等軸雙曲線*2y2a2在*軸上方有交點的條件。在同一坐標系中作出雙曲線*2y2a2與直線y*ak在*軸上方的局部圖象，它們有交點的條件是-aka或-a-ak0k1或0k15.求軌跡設(shè)*、yR , i、j為直角坐標平面*、y軸正方向上的單位向量,向量a *i(y5)j,b*i(y5)j，且|a|b|6，求點M(*,y)的軌跡方程。簡析與解：由|a|=|b|+6即|a|-|b|6而聯(lián)想到雙曲線的定義，可構(gòu)造雙曲線模型解題。M (*,y)到定點F10,-5、F20 , 5的距離分別等于|a|、|b|，且|a|b|6|F1F2|。點M(*,y)的軌跡是以F

16、1、F2為焦點的雙曲線的上支，故所求軌跡方程為：y 36.解應(yīng)用題。如圖，A村在B地的東北方向上，且離B地相距6km，C村在B村的正向，且與B地相距4Km，公路PQ上任一點到B、C兩地距離之差都為2Km，現(xiàn)要在公路旁建造一個變電房M變電房可視為建在公路上分別向A村、C村送電，但A村有一村辦工廠，且電須用專用線路。因此向A村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使所用電線最短，變電房應(yīng)建在A村的什么方向，并求出M到A村的距離。簡析與解：MBMC2BCM在以B、C為焦點的雙曲線上，以直線BC為*軸，BC為垂直平分線為y軸，建立直角坐標：B2 , 0C2 , 0、A4 , 6，M點的軌跡方程為，e=右

17、準線l的方程為：*過M作MNl于N，則MC=2MN依題意求2MA+MC的最小值，即求2MA+MN的最小值。由平幾知識可知，當M、A、N共線時MA+MN最小。M,6AM4即變電房應(yīng)建在A村的正西方向且距A村(4)km 處。一個橢圓問題的六種解法直線與圓錐曲線有公共點問題，通常采用判別式法去解決，然而在求解線段與圓錐曲線有公共點問題時，判別式法已不能用，所以覺得無從下手，下面對一道例題進展多角度、新視角、全方位地探究，以透視這類問題的求解規(guī)律。例：定點A1，1，B2，3，橢圓C：與線段AB有公共點，求的取值圍。解法1 區(qū)域法如下圖，根據(jù)A1，1，B2，3的坐標的特點以及橢圓的中心在原點，可知線段A

18、B與橢圓C有公共點的充要條件是：且，解得：，所以，當時，線段AB與橢圓有公共點。解法2 代入法由題意知，線段AB的方程為：，線段AB與橢圓C有公共點，等價于方程組，在上有實數(shù)解，從方程組中消去得：，別離參數(shù)得：，即有，又，所以。解法3 定比分點法設(shè)橢圓C與線段AB的交點為M，M分有向線段的比為，則，由定比分點坐標公式知，將點M的坐標代入橢圓方程得：，解得：，又，所以。解法4 向量法設(shè)橢圓C與線段AB的交點為，則由平面向量共線的充要條件知，又因為交點一定在第一象限，所以，所以，所以，又，所以，又因為，所以。解法5 參數(shù)法線段AB的參數(shù)方程為將其代入橢圓方程并整理得：，由參數(shù)的幾何意義知，要使線段

19、與橢圓有公共點，等價于方程，在上有一解，又因為線段BA的延長線與橢圓的交點對應(yīng)的參數(shù)也是負的，故必有解得，又，所以。解法6 距離法由題意知，線段AB的方程為，設(shè)橢圓C與線段AB的交點為M，則點M到線段AB的距離為0，由點到直線的距離的公式即可解得。數(shù)學(xué)競賽中的橢圓問題例1(2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽) 在橢圓(ab0)中，記左焦點為F，右頂點為A，短軸上方的端點為B.假設(shè)該橢圓的離心率是，則ABF=_.OAFB圖1分析：的三邊可用、來表示，再用余弦定理或勾股定理來求角. 解：由得，即. 如圖1有:，而，易見，故ABF=90. 評注：此題著眼于考察橢圓的根本量在圖中的表示. 例2(1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)在平面直角坐標系中，假設(shè)方程表示的曲線為橢圓，則m的取值圍為 A(0,1) B(1,+C(0,5) D(5,+ 分析：如果把表達式配方成橢圓標準式，由于含有項，需要對坐標軸進展旋轉(zhuǎn)，而利用第二定義可以直接解決這一問題. 解：由可得：，也即：，此式表示的是點到定點的距離與到定直線的距離之比為，由第二定義及橢圓的離心率圍得：，即. OPF1B圖2F2例3第12屆希望杯高二試題設(shè)是橢圓的兩個焦點，假設(shè)橢圓上存在點P使，則橢圓離心率的取值圍是：. 分析：可先利用余弦定理和均值不等式判定P點位于短軸頂點B時最大，于是. 解：設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為：、如圖2：在中，即. 這