2019年全國卷理科數(shù)學(xué)十年真題分類匯編導(dǎo)數(shù)

1、導(dǎo)數(shù).基礎(chǔ)題組X1.12010新課標(biāo)，理3】曲線y=在點(1, 1)處的切線方程為()x 2A. y=2x+1B . y=2x1C. y=2x3 D . y=2x 2【答案】A，在點一L - D處的切線方程的斜率為:？ =2.- 1 +2產(chǎn).;切線方程為+1 = 2。+1),即p=A+L2.12008全國1,理6若函數(shù)y f (x 1)的圖像與函數(shù)y lnjx 1的圖像關(guān)于直線 TOC o 1-5 h z y x對稱，則f(x)() 2x 12x入 2x 12x 2A. eB. eC. e D. e【答案】B.【解析】由 y In . x 1 x e2 y 1 , f x 1e2 x 1 ,

2、f xe2x.1x3.12012 全國，理 21】已知函數(shù) f ( x)滿足 f (x) =f (1)ef(0)x+ x2.2(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;12(2)右 f (x) x + ax+b,求(a+1)b 的取大值.2【解析】(1)由已知得 f (x)=f (1)e x1 f(0) +x.所以 f (1) = f (1) -f(0) +1,即 f(0) =1.又 f(0) =f (1)e 所以 f (1) = e.從而 f(x) = exx+ 1 x2.2由于 f ( x) =ex- 1 + x,故當(dāng) xC (一00, 0)時，f (x) v 0;當(dāng) xC (0 , +8)時，

3、f (x)0.從而，f(x)在(8, 0)上單調(diào)遞減，在(0, +OO)上單調(diào)遞增.(2)由已知條件得ex(a+1)xb.1 b(i)若a+10,則對任意常數(shù)b,當(dāng)x0,且x 時，可得ex-(a+1)x0口 置騏)二一依則點當(dāng)InQ+l)時，烈力0.從而我0在(-6, lug+ D)上里調(diào)遞減9在(in&+1), +網(wǎng)上單調(diào)遞熠.故 的消最小值 如以+ D尸葉l母+1加g +1).-1 2所以f (x) x + ax+ b等價于2ba+1-(a+1)ln( a+1).因此(a+1)bw(a+1)2(a+1)2in( a+1).設(shè) h( a) = (a+ 1) 2- (a+1) 2ln( a+

4、1),則 h (a) = (a+ 1)(1 2ln( a+1). TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 11所以h(a)在(1, e2 1)上單調(diào)遞增，在(e51 , +國)上單調(diào)遞減，故h( a)在a =e2 1處取得最大值. ee從而 h(a) 一 ,即(a+1)bw . HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 21 HYPERLINK l bookmark80 o Current Document e2當(dāng)a=e2 1 , b 時，式成立，12.故 f (x) x + ax

5、 + b.2. e綜合得，（a+1）b的最大值為e.24.12009全國卷I,理22設(shè)函數(shù) f （x） =x3+3bx2+3cx 有兩個極值點 xi、X2,且 xiC 1, 0, X2C1,2.b, c )（I）求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點（1（n）證明：一10f（x 2）3x:+6bx-3c.等價于依題首知,方程F（x）=O有兩個根艾1、K之且X1W -1,0如丘12氏1m如皿由此得b, c滿足的約束條件為2b-L1c-2A-Uc 之一41& 4.滿足這些條件的點(b,c)的區(qū)域為圖中陰影部分 TOC o 1-5 h z 2121(n )由題設(shè)知 f (

6、x 2)=3x 2 +6bx2+3c=0,故 bx2- x2c. HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 222213 3c于是 f(x 2)=x 2+3bx2+3cx2=x2x2. HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 22由于x2C 1,2 ,而由(I )知 CW0,故 HYPERLINK l bookmark204 o Current Document 13-4+3c f(x 2) c .2 2又由(I )知-2WcW0,1所以-10Wf(x 2) w .25.12008全國1,理19(本小題滿分1

7、2分)已知函數(shù) f (x) x3 ax2 x 1, a R .(i)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間;、一一 ，一、21(n)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 一，一內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍.33【解析】 /（力=/+/+1求導(dǎo)：y1（工）=/+2方+1當(dāng)/S3時，ASOj /（力三八刈在R上遞增當(dāng)九/ =陶羽曲財即/（善）在-ndj+dd -3+,+ 8建噌,42 3 -精一&I33遞場(2)a a2 33a、. a2 332313且a2能力題組1.【2011全國新課標(biāo)，理9】由曲線y Jx,直線y=x 2及y軸所圍成的圖形的面積為（A.103B.D. 6【解析】解：聯(lián)立萬程二產(chǎn)到兩曲線的交點2）,因比曲殘

8、度丘,直襄了二52及,由所IS成的圖形的面積為寫=J：x+2）而=（,工一工4+2/）|；163T改選C.2.【2011全國,理8】曲線y= e一2x+1 在點（02）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為1A. 一3【解析】：y |x2x(2e )|x0e 2x 1在點（0,2 ）處的切線方程為一，一， _ ,1y 2x 2 ,易得切線與直線 y 0和y x圍成的三角形的面積為 -。33.12009全國卷I,理9】已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，則a的值為（）A.1B.2C.-1D.-2【解析】設(shè)切點為（也加工則固fo-LyjTn&j-磯即治-1=加血值）_= ./

9、, - = L即a=l.l=lnl=O.汽j +a飛+ a4.12008全國1,理7】設(shè)曲線yx 1 .在點（3,2）處的切線與直線 ax y 1 0垂直,x 1D.2 TOC o 1-5 h z 11A. 2B. C. HYPERLINK l bookmark200 o Current Document 22【答案】D.x 12【解析】由y 1,yx 1 x 12,1cc2，y lx 3-, a 2,a2. HYPERLINK l bookmark118 o Current Document x 125.【2014課標(biāo)I,理21（12分）設(shè)函數(shù)f （x）aex ln xbax1b-,曲線y

10、f (x)在點 x(1,f (1)處的切線方程為y e(x 1) 2.(I )求 a,b;(II )證明：f (x) 1.【答案】（I） a 1,b 2 ; （II ）詳見解析 TOC o 1-5 h z 【解析】 函數(shù)的定乂城為也八二必4口，+2/-與感i+z. JC XX由題意可得，/1) = 4/(1)= . a = :b = 2.2,2(II)由(I)知j= /la工十一/一%從而等價于川口工4網(wǎng)-工一一，設(shè)更數(shù)雙力二工lox,xe則/=1十nx ,所以當(dāng)工巳)時，/0故?在)在色5速成 穹密e在(上鐘)遞增，從而虱公在地位)的最小值為第3=L設(shè)h幻=注-工二，則火力=刈.所 9片 思

11、自以當(dāng)工 (04)01,好(冷。；當(dāng)范金(L舟)時，(力士 0 一故MX)在(0J)遞增，在(L例)讖底，從而在(Q川)的最大值為無二一1.綜上,當(dāng)，。時，烈幻網(wǎng)幻，/(x)L . e三.拔高題組1.12013課標(biāo)全國I,理 21(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f (x) =x2 + ax+b, g(x)=ex(cx + d).若曲線y = f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y = 4x+2. 求a, b, c, d的值；(2)若x2時，f(x)w kg(x),求k的取值范圍.【解析】:(1)由已知得 f (0) =2, g(0) =2, f (0) = 4, g

12、(0) = 4.而f (x) = 2x+a, g ( x) =ex(cx +d+c),故 b=2, d=2, a=4, d+c=4.從而 a= 4, b=2, c= 2, d = 2.(2)由(1)知,f (x) =x2+4x+2, g(x) =2ex(x+1).設(shè)函數(shù) F(x) = kg(x) f (x) =2kex(x+ 1) x2 4x-2,則 F (x) = 2kex(x+2)2x4 = 2(x+2)( kex-1).由題設(shè)可得F(0) 0,即k1.令 F ( x) = 0 得 x1 = In k, x2= 2.若 1Wkv e2,則一2vx1W0.從而當(dāng) xC(2,x1)時，F(xiàn) (x

13、) 0.即F(x)在(一2, Xi)單調(diào)遞減，在(Xi, +8)單調(diào)遞增.故 F(x)在一2, +8)的最小值 為 F(xi).2而 F( Xi) = 2X1 + 2 Xi 4X1 2 = Xi( Xi + 2) 0.故當(dāng) x2 時，F(xiàn)(x) 0,即 f(x) w kg(x)恒成立.若 k=e2,則 F (x) = 2e2(x+2)(e x-e 2).從而當(dāng)x2時，F(xiàn) (x)0,即F(x)在(一2, +8)單調(diào)遞增.而 F(2) = 0,故當(dāng) x2 時，F(xiàn)(x) 0,即 f(x) w kg(x)恒成立.若 ke2,則 F(2) = 2ke 2+2= 2e 2(ke2) 2時，f(x)0,且xw

14、i時，f (x)In x k，求k的取值范圍.x 1 x【解析】(1) f (x)zx 1 . a( In x)x(x 1)2由于直線x+ 2y-3=0的斜率為一f(1) 1f (1)1解得2。野由婦/(x)=所以如-與+字占,+叱?X1 X1 JCX考點函獲雙嗎=2垢yT)；jc則火力=3(i )設(shè) kW0.由 h (x)k(x2 1) (x 1)2知，當(dāng) xwi 時，h (x) 0,可得17V h(x)0 ;當(dāng) xC (1 , +8)時,h(x) 0,且xwi時,f(x) (=x 1k) 0， x即 f (x)In xkx 1x求a, b的值；1 一2一 ，.(11)設(shè) 0vkv1.由于當(dāng)

15、 xC (1 , )時，(k1)( x +1) + 2x0,故 h (x) 0.而 h(1)1 k一，1.一 1,，、八，一一一=0,故當(dāng)xC(1, )時，h(x)0,可得2 h(x) 0 ,與題設(shè)矛盾. 1 k1 x(iii)設(shè) k1.此時 h (x) 0,而 h(1) =0,故當(dāng) xC (1 , +8)時，h(x) 0,可得1，一一一2 h(x) 0 .與題設(shè)矛盾.1 x綜合得，k的取值范圍為(00, 0.2x 一一 ， 一3.12011 全國，理 22(1)設(shè)函數(shù) f (x) ln(1 +x) ，證明：當(dāng) x0 時，f(x) 0;x 2 TOC o 1-5 h z (2)從編號1到100

16、的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20 91次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為p.證明：p ()19 ).10e2【解析物當(dāng)工時，/國0,所以歐為贈函數(shù),又即尸因此當(dāng)工0時，網(wǎng)X.100 x99x98x- x81又歿81C紳 騏溜29(乙 ,勺1犬的0時,ln(1 x)2xx 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark202 o Current Document 2-因此(1 -)ln(1 x) 2 . x HYPERLINK l bookmark192 o Current Document ,110 r 10 192在上式中，令x

17、 ,則191n 2 ,即()e . HYPERLINK l bookmark196 o Current Document 999所以4.12010新課標(biāo)，理21(12分)(理)設(shè)函數(shù)f(x) =ex-1-x-ax2.若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x0時f(x) 0,求a的取值范圍.【解析】：(1) a=0 時，f (x) =ex- 1 -x, f (x)=ex1.當(dāng) xC ( 8, 0)時，f (x)0.故 f(x)在(8, 0)上單調(diào)減少，在(0 , +8)上單調(diào)增加.(2) f (x) = ex 1 2ax.由(1)知ex1 + x,當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時等號成立，故 f ( x

18、) x- 2ax= (1 -2a)x,從而當(dāng)12a0,rr1即 a0(x0),而 f(0) =0,2于是當(dāng)x0時，f (x) 0.由 ex1 + x(xw0)可得 e x 1 -x(x0).從而當(dāng) al 時，2f (x) vex 1+2a(e x1) = e x(ex1)(e x-2a),故當(dāng) xC (0 , ln2 a)時，f (x)v 0,而 f(0) =0,于是當(dāng) xC (0 , ln2 a)時，f(x)0.綜合得a的取值范圍為(8, 1.5.12008全國1 ,理22(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù) f (x) x xln x .數(shù)列 an 滿足 0 a1 1 , an 1f(an).(i)

19、證明：函數(shù) f (x)在區(qū)間(0,1)是增函數(shù)；(n)證明：an an 1 1 ;、一一， 、a1b (in) .證明：ak 1 b .a1 In b【解析】(I )J(x)=xjrliijc, /(X)=一括兀當(dāng)工w ()時.= lix0他保前門力在區(qū)間 1J上是蹄勖(口)證明二(用額裳瑜法)當(dāng)B寸，.加/看口,/_ - f(a )=研一ojn. 由西散了5)在區(qū)間(Q1)是墻函數(shù),且%數(shù)五)在工二1處連續(xù)，則在區(qū)間21是增國數(shù)，% = /X華|)=e%也%1*即巧%1成立；(ii)假設(shè)當(dāng) x k(k N*)時，ak ak 1 1 成立，即 0 a1 ak ak 1 1那么當(dāng)n k 1時，由

20、f (x)在區(qū)間(0,1是增函數(shù)，0 a1 % ir h b 的-b-ka bax- - b) = D,即q+i威十一6.12006全國，理21(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)1 x ax1 x e(I)設(shè)a 0,討論y f (x)的單調(diào)性;(n)若對任意x (0,1)恒有f(x) 1 ,求a的取值范圍。【解析】：(I) f (x)的定義域為(,1) (1,).對f(x)求導(dǎo)數(shù)得f (x)2ax 2 a axe(1 x)2(i )當(dāng) a2 時,f (x)2x2 _2 e(1 x)2x, f (x)在(，0),(0,1)和(1,)均大于 0,所以f(x)在(,1)，(1,)為增函數(shù).(ii

21、)當(dāng) 0vav2 時，f(x) 0, f(x)在(，1), (1,)為增函數(shù).a 2(iii )當(dāng) a 2 時，0 1.af(x)在(，j?) , (J一,1) , (1, f (x)在(一-)為減函數(shù).令 f(x) 0,解得 x1、一,x2 百/a 2、(，V一)a a(戶，尸 a a a尸1), a(1,)f (x)+一+f(x)當(dāng)變化時，f (x)和f(x)的變化情況如下表,)為增函數(shù),( ID (i)當(dāng)。2時，取f上二三則由(1)知 2 a1 x(iii )當(dāng)a 0時，對任意x (0,1)，恒有 1且e 1 ,得1 x1 x ax f(x) rv1.綜上當(dāng)且僅當(dāng)a,2時，對任意x (0

22、,1)恒有f (x) 1.7.【2015高考新課標(biāo)1,理12設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x 1) axa,其中a1,若存在唯一的整數(shù)x0 ,使得f (x0) 0,則的取值范圍是()(A)-2e，1)(B)-3,3) 2e 4(C)3,3) 2e 4(D)32e，1)【答案】D【解析】設(shè)g(x) =ex(2x 1), y ax a,由題知存在唯一的整數(shù) x0 ,使得g(%)在直線1 .1 .y ax a的下萬.因為g(x) e (2x 1),所以當(dāng)x 時，g(x)v0,當(dāng)x 萬時， 1g(x)。，所以當(dāng) x 3 時，g(x)max = -2e 2 ,當(dāng) x 0 時，g(0) =-1 , g(1) 3

23、e 0,直線y ax a恒過(1,0 )斜率且，故 a g(0) 1 ,且g( 1) 3e 1 a a ,解一 3信w v 1,故選D.2e【考點定位】本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題318.12015局考新課標(biāo)1,理21已知函數(shù)f (x) =x ax , g(x) ln x .(I)當(dāng)a為何值時，x軸為曲線y f (x)的切線;(n)用 minm,n 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) h(x) min f (x), g(x)(x 0)討論h (x)零點的個數(shù)3.【答案】(i) a ； ( n)當(dāng)a4 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2

24、59 o Current Document 35 .一 ,3一或a時，h(x)由一個手點；當(dāng)a 或a HYPERLINK l bookmark265 o Current Document 444時，h(x)有兩個零點；當(dāng)53 ,a時，h(x)有二個零點 HYPERLINK l bookmark267 o Current Document 44【解析】3 )設(shè)曲域與=用相切于點g,o),則，5)一% 八均=o,即%十5十彳二,解得川 + - 0因此,當(dāng)心時,工率由是曲線T = /*)的線-5分4(n)當(dāng) x (1,)時，g(x)ln x 0 ,從而 h(x) min f(x),g(x) g(x)

25、 0 ,h(x)在(1, +8)無零點當(dāng)=1時，若a5 一 5一一.5,則 f(1) a 5 0,h(1) min f(1),g(1) g(1) 0,故=1 是 h(x)4的零點；若ah(x)的零點.一5一，則 f (1) a 一 0 , h(1) min f (1),g(1) f (1) 0 ,故=1 不是 44當(dāng) x (0,1)時，g(x)In x 0 ,所以只需考慮f(x)在(0,1 )的零點個數(shù)(i)若a 3或a 0,則f(x) 3x2 a在(0,1)無零點，故f (x)在(0,1)單調(diào)，而f(0)5f(1) a ,所以當(dāng)a43時，f (x)在(0, 1)有一個零點；當(dāng)a 0時，f (

26、x)在(0,1)無零點.)單調(diào)遞力通在(D單調(diào)遞增，故當(dāng)工取的最小值.最小醐舊)T若八即力匈在04)無零持圜若 “后也 即口二 一 r 貝U /(JL)在若,(JT，0即 3 a,由于f (0)f(1)所以當(dāng)時，f (x)在(0,1 )有兩個零點;5 ,3 a 時, 4f (x)在(0,1有一個零點.10綜上，當(dāng)a3或a 5時, 44h(x)由一個零點；當(dāng)5 2一時，h(x)有兩個4時，h(x)有三個零點.12分【考點定位】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數(shù)的零點；分類整合思想9.12016高考新課標(biāo)理數(shù)1】已知函數(shù)f(x) (x 2)ex a(x 1)2有兩個零點(I )求a的

27、取值范圍；2.(II )設(shè)x1, x2是f(x)的兩個零點，證明：x1 x2【答案】(I) (0,) ； (II )見解析【解析】試題分析：(I)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號來確定(主要要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點來分類)；(II)借助 (I)的結(jié)論來證明，由單調(diào)性可知X1 x2 2等價于f(x1)f(2 x2),即f(2 x2) 0 .設(shè) g(x) xe2 x (x 2)ex,則 g(x) (x 1)(e2 x ex) .則當(dāng) x 1 時， g (x) 0,而 g 0,故當(dāng) x 1 時，g(x) 0 .從而 g(x2)f (2 x2) 0,故 x1 x2 2 .試題辭所T I )/行一1工*女與一，(工-1)

28、(+口時.，Ci)諼看-瓢則,G=a/G)只有T零點.出 謾己 as 則當(dāng)下二(忖j當(dāng)hcojb時，/wo.遞減，在(VkQ電調(diào)遞增.叉/二T, =%瑕瓦苻是以。目兒嗚，則f(的 。-2)一一以=點-2外A門， Z2故存在商個零點.(iii )設(shè) a 0 ,由 f (x) 0 得 x 1 或 x ln( 2a). e.一.一 .若a ,則ln(2a) 1 ,故當(dāng)x (1,)時，f(x) 0,因此f(x)在(1,)單調(diào)遞2增.又當(dāng)x 1時f(x) 0,所以f (x)不存在兩個零點.若 a ,則 ln(2a) 1,故當(dāng) x (1,ln( 2a)時，f(x) 0；當(dāng) x (ln( 2a),)時， 2

29、f (x) 0 .因此f(x)在(1,ln( 2a)單調(diào)遞減，在(ln( 2a),)單調(diào)遞增.又當(dāng)x 1時， f(x) 0,所以f (x)不存在兩個零點.綜上，的取值范圍為(0,).(n)不妨設(shè) x1 x2,由(I)知x1 (,1),x2 (1,),2 x2 (,1),f(x)在(，1)單調(diào)遞減，所以x1 x2 2等價于f(x1) f (2x2),即f(2x2)0 .由于 f(2 x2) x2 2 x2 a(x21)2,而 f(x2) (x2 2)x2a(x21)20 ,所以f(2 x2)x2e2 x2 (x2 2)ex2 .設(shè) g(x) xe2 x (x 2)ex,則 g(x) (x 1)(e2 x ex) 所以當(dāng)x 1時，g(x) 0,而g 0,故當(dāng)x 1時，g(x) 0.從而 g(x2)f (2 x2) 0 ,故為 x2 2 .【考點】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【名師點睛】對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點問題，通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論，要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡 .解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.10.12017新課標(biāo)1,理21(12分)已知函數(shù) f(x) ae