《概率論》第二章習(xí)題

1、概率論第二章習(xí)題 HYPERLINK 中國(guó)民航機(jī)票網(wǎng):第二章事件與概率1、字母M，A，X，A，M分別寫在一張卡片上，充分混合后重新排列，問正好得到順序MAAM的概率是多少？解：這五個(gè)字母自左往右數(shù)，排第i個(gè)字母的事件為Ai，則P(A1)?2211,P(A2A1)?，P(A3A2A1)?,P(A4A3A2A1)?5432P(A5A4A3A2A1)?1。利用乘法公式，所求的概率為P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P?A2A1?P?A3A2A1?P?A4A3A2A1?P?A5A4A3A2A1?22111?1?5432302、有三個(gè)孩子的家庭中，已知有一個(gè)是女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率。解：有三個(gè)

2、孩子的家庭總共有23=8個(gè)類型。設(shè)A=三個(gè)孩子中有一女，B=三個(gè)孩子中至少有一男，A的有利場(chǎng)合數(shù)為7，AB的有利場(chǎng)合為6，依題意所求概率為P（B|A），則P?BA?P(AB)6/86?.P(A)7/873、若M件產(chǎn)品中包含m件廢品，今在其中任取兩件，求：（1）已知取出的兩件中有一件是廢品的條件下，另一件也是廢品的條件概率；（2）已知兩件中有一件不是廢品的條件下，另一件是廢品的條件概率；（3）取出的兩件中至少有一件是廢品的概率。3、解：（1）M件產(chǎn)品中有m件廢品，M?m件正品。設(shè)A=兩件有一件是廢品，B=兩件都是廢112222品，顯然A?B，則P(A)?CmCM?m?Cm/CMP(B)?Cm，/

3、CM?題中欲求的概率為22Cm/CMm?1P(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?11.?22(CmCM?m?Cm)/CM2M?m?1（2）設(shè)A=兩件中有一件不是廢品，B=兩件中恰有一件廢品，顯然B?A，則2112112P(A)?CM?m?CmCM?m/CM,P(B)?CmCM?m/CM.?題中欲求的概率為112CmCM2m?m/CMP(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?2.?112(CM?m?CmCM?m)/CMM?m?1（3）P取出的兩件中至少有一件廢品=CmCM?m?Cm/CM?112?2m(2M?m?1).M(M?1)概率論第二章習(xí)題-1-4、袋中有a

4、只黑球，b只白球，甲乙丙三人依次從袋中取出一球（取后不放回），試分別求出三人各自取得白球的概率（b?3）。解：A=甲取出一球?yàn)榘浊颍珺=甲取出一球后，乙取出一球?yàn)榘浊颍珻=甲，乙各取出一球后，丙取出一球?yàn)榘浊?。則P(A)?a甲取出的球可為白球或黑球，利用全概率公式得(a?b)P(B)?P(A)P(B|A)?P()P(B|)?bb?1abb?a?ba?b?1a?ba?b?1a?b甲，乙取球的情況共有四種，由全概率公式得P(C)?P(AB)P(C|AB)?P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)?P()P(C|)?b(b?1)b?2abb?1?(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b

5、?1)a?b?2?abb?1a(a?1)b?(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2?b(a?b?1)(a?b?2)b.?(a?b)(a?b?1)(a?b?2)a?b5、從0，1，2，?，9中隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)字，求其和大于10的概率。解：設(shè)B=兩數(shù)之和大于10，Ai=第一個(gè)數(shù)取到i，i?0,1,?,9。則P(Ai)?1，10P(B|A0)?P(B|A1)?0,P(B|Ai)?(i?1)/9,i?2,3,?5;P(B|Aj)?(j?2)/9,j?6,7,8,9。由全概率公式得欲求的概率為P(B)?P(Ai)P(B|Ai)?i?0916?0.356.456、甲袋中有a只

6、白球，b只黑球，乙袋中有?只白球，?只黑球，某人從甲袋中任出兩球投入乙袋，然后在乙袋中任取兩球，問最后取出的兩球全為白球的概率是多少？解：設(shè)A1=從甲袋中取出2只白球，A2=從甲袋中取出一只白球一只黑球，A3=從甲袋中取出2只黑球，B=從乙袋中取出2只白球。則由全概率公式得P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)221222CaCa?2c1cbCaCbC?1.?22?22?22aca?bc?2Ca?bC?2Ca?bC?27、設(shè)的N個(gè)袋子，每個(gè)袋子中將有a只黑球，b只白球，從第一袋中取出一球放入第二袋中，然后從概率論第二章習(xí)題-2-第二袋中取出一球放

7、入第三袋中，如此下去，問從最后一個(gè)袋子中取出黑球的概率是多少？解：A1=從第一袋中取出一球是黑球，?，Ai=從第一袋中取一球放入第二袋中，?，再?gòu)牡趇?1袋中取一球放入第i袋中，最后從第i袋中取一球是黑球，i?1,?,N。則P(A1)?一般設(shè)P(Ak)?ab.,P(1)?a?b(a?b)ab，則P(k)?，得(a?b)(a?b)P(Ak?1)?P(Ak?1|Ak)P(Ak)?P(Ak?1|k)P(k)?a.(a?b)由數(shù)學(xué)歸納法得P(AN)?a(a?b)8、飛機(jī)有三個(gè)不同的部分遭到射擊，在第一部分被擊中一彈，或第二部分被擊中兩彈，或第三部分被擊中三彈時(shí)，飛機(jī)才能被擊落，其命中率與每一部分的面積

8、成正比，設(shè)三個(gè)部分的面積的百分比為0.1，0.2，0.7，若已擊中兩彈，求擊落飛機(jī)的概率。解：設(shè)A1=飛機(jī)第一部分中兩彈，A2=飛機(jī)第二部分中兩彈，A3=飛機(jī)第一部分僅中一彈，A4=其它情況，則AiAj?(i?j),A1?A2?A3?A4?.P(A1)?0.1?0.1?0.01,P(A2)?0.2?0.2?0.04.A3=第一彈中第一部分且第二彈中第二部分，或第一彈中第一部分且第二彈中第三部分，或第一彈中第二部分且第二彈中第一部分，或第一彈中第三部分且第二彈中第一部分，P(A3)?0.1?0.2?0.1?0.7?0.2?0.1?0.7?0.1?0.18，P(A4)?1?P(A1)?P(A2)?

9、P(A3)?0.77.設(shè)B=飛機(jī)被擊落，則P(B|Ai)?1(I?1,2,3),4P(B|A4)?0.由全概率公式得P(B)?錯(cuò)誤算法：?P(B|A)P(A)?0.01?0.04?0.18?0.23.iii?1P(A3)?0.1?0.2?0.1?0.7?0.09，設(shè)B=飛機(jī)被擊落，則P(B|Ai)?1(I?1,2,3),4P(B|A4)?0.由全概率公式得P(B)?P(B|A)P(A)?0.01?0.04?0.09?0.14.iii?1原因是忽略了飛機(jī)中彈的次序。概率論第二章習(xí)題-3-9、投硬幣n回，第一回出正面的概率為c，第二回后每次出現(xiàn)與前一次相同表面的概率為p，求第n回時(shí)出正面的概率，并

10、討論當(dāng)n?時(shí)的情況。解：設(shè)Ai=第i回出正面，記pi?P(Ai)，則由題意利用全概率公式得P(Ai?1)?P(Ai?1|Ai)P(Ai)?P(Ai?1|i)P(i)?pp?p)?(p2?1)i?(1?p)(1iip?已知pi?c，依次令i?n?1,n?2,?,1可得遞推關(guān)系式。(1?pPn?(2p?1)pn?1?(1?p),Pn?1?(2p?1)pn?2?(1?p),?,P2?(2p?1)p1?(1?p)?(2p?1)c?(1?p).解得Pn?(1?p)1?(2p?1)?(2p?1)2?(2p?1)n?2?c(2p?1)n?1,當(dāng)p?1時(shí)利用等比數(shù)列求和公式得111?(2p?1)n?1pn?(

11、1?p)?c(2p?1)n?1?(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1.（*）221?(2p?1)（1）若p?1，則pn?C,limpn?C；n?（2）若p?0，則當(dāng)n?2k?1時(shí)，pn?c；當(dāng)n?2k時(shí)，pn?1?c。若c?111，則pn?,limpn?22n?211，則c?1?c,limpn不存在。n?2若c?（3）若0?p?1，則由（*）式可得?11?1limpn?lim?(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1?.n?n?22?210、甲乙兩袋各將一只白球一只黑球，從兩袋中各取出一球相交換放入另一袋中，這樣進(jìn)行了若干次。以pn，qn，rn分別記在第n次交換后甲袋中將包含兩只白球，一只

12、白球一只黑球，兩只黑球的概率。試導(dǎo)出pn+1，qn+1，rn+1用pn，qn，rn表出的關(guān)系式，利用它們求pn+1，qn+1，rn+1，并討論當(dāng)n?時(shí)的情況。解：令A(yù)i,Bi,Ci分別表示第i次交換后，甲袋中有兩只白球，一白一黑，兩黑球的事件，則由全概率公式得pn?1?P(An?1)?P(An)P(An?1|An)?P(Bn)P(An?1|Bn)?P(Cn)P(An?1|Cn)概率論第二章習(xí)題-4-?0?pn?11qn?0?rn?qn，44qn?1?P(Bn?1)?P(An)P(Bn?1|An)?P(Bn)P(Bn?1|Bn)?P(Cn)P(Bn?1|Cn)?1?pn?11qn?1?rn?pn

13、?qn?rn,，22rn?1?P(Cn?1)?P(An)P(Cn?1|An)?P(Bn)P(Cn?1|Bn)?P(Cn)P(Cn?1|Cn)11?0?pn?qn?0?rn?qn.44這里有pn?1?rn?1，又pn?1?qn?1?rn?1?1，所以qn?1?1?2pn?1，同理有qn?1?2pn，再由pn?1?11qn得pn?1?(1?2pn)。所以可得遞推關(guān)系式為441?rn?1?pn?1?(1?2pn)，?4?qn?1?1?2pn?1初始條件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即p0?r0?0,q0?1，由遞推關(guān)系式得rn?1?pn?1?1111111111(1?2pn)?pn?(?pn?1)?

14、pn?1?442424248411(?1)n?2(?1)n?1p0?2?3?n?2?2222n?11?1?1?4?2?n?1?1?1?2?1?1?1?(?1)n?1?6?2?n?1n?2?111?n?(?1)?，3?2?6qn?1?1?2pn?121?1?(?1)n?1?33?2?n?1.limpn?limrn?n?n?12,limqn?.6n?311、設(shè)一個(gè)家庭中有n個(gè)小孩的概率為?apn,n?1,?appn?1?,n?0,?1?p概率論第二章習(xí)題-5-這里0?p?1,0?a?(1?p)/p。若認(rèn)為生一個(gè)小孩為男孩可女孩是等可能的，求證一個(gè)家庭有k(k?1)個(gè)男孩的概率為2apk/(2?p)

15、k?1。解：設(shè)An=家庭中有n個(gè)孩子，n=0,1,2,?，B=家庭中有k個(gè)男孩。注意到生男孩與生女孩是等可能的，由二項(xiàng)分布(p?1)得2?1?1?P(B|An)?C?2?2?knkn?k?1?C?.?2?knk?in由全概率公式得?1?p?P(B)?P(An)P(B|An)?apnC?a?Cki?i?2?2?i?0n?kn?k?nkn（其中i?n?k）?p?a?2?k?Ci?0?ik?i?p?p?a?2?2?ikp?1?2?k?12apk?.k?1(2?p)12、在上題假設(shè)下：（1）已知家庭中至少有一個(gè)男孩，求此家庭至少有兩個(gè)男孩的概率；（2）已知家庭中沒有女孩，求正好有一個(gè)男孩的概率。解：（

16、1）設(shè)A=至少有一男孩，B=至少有2個(gè)男孩。A?B,AB?B，由0?p?1得(2?p)2apkP(A)?k?1k?1(2?p)?p2a(2?p)ap?,2(1?p)2?p(2?p)(1?p)(2?p)2apkP(B)?k?1k?2(2?p)?p22a(2?p)2ap2,?2?p2(1?p)(2?p)2(1?p)(2?p)P(B|A)?P(AB)P(B)p?.P(A)P(A)2?p（2）C=家中無(wú)女孩=家中無(wú)小孩，或家中有n個(gè)小孩且都是男孩，n是任意正整數(shù)，則?ap?1?P(C)?1?apn?1?pn?1?2?n概率論第二章習(xí)題-6-apapapap2?3p?ap?p2?1?1?p1?p1?p2

17、?p(1?p)(2?p)1?2A1=家中正好有一個(gè)男孩=家中只有一個(gè)小孩且是男孩，則P(A1)?ap?11?ap，且A1?C，22所以在家中沒有女孩的條件下，正好有一個(gè)男孩的條件概率為P(A1|C)?P(A1C)P(A1)1apap(1?p)(2?p).?22P(C)P(C)22?3p?ap?p2(2?3p?ap?p)(1?p)(2?p)13、已知產(chǎn)品中96%是合格品，現(xiàn)有一種簡(jiǎn)化的檢查方法，它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98，而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05，求在簡(jiǎn)化方法檢查下，合格品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率。解：設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品，B=檢查后判為合格品。已知P(B|A)?

18、0.98，P(B|)?0.05，P(A)?0.96，求P(A|B)。由貝葉斯公式得P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)?P(B)P(A)P(B|A)?P()P(B|)?0.96?0.980.9408?0.99790.96?0.98?0.04?0.050.942814、炮戰(zhàn)中，在距目標(biāo)250米，200米，150米處射擊的概率分別為0.1，0.7，0.2，而在各該處射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率分別為0.05，0.1，0.2，現(xiàn)在已知目標(biāo)被擊毀，求擊毀目標(biāo)的炮彈是由250米處射擊的概率。解：設(shè)A1,A2,A3分別為自250米，200米，150米處射擊的事件，B為“命中目標(biāo)”事件，則P(A1)?0.1

19、,P(A2)?0.7，P(A3)?0.2,P(B|A1)?0.05,P(B|A2)?0.1，P(B|A3)?0.2，求P(A1|B)。Ai間互不相容，B能且只能與Ai中之一同時(shí)發(fā)生，由貝葉斯公式得P(A1|B)?P(B|A1)P(A1)P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)0.05?0.11?0.0435.0.05?0.1?0.1?0.7?0.2?0.22315、在通訊渠道中，可傳送字符AAAA，BBBB，CCCC三者之一，假定傳送這三者的概率分別為0.3，概率論第二章習(xí)題-7-0.4，0.3，由于通道噪音的干擾，正確接收到被傳送字母的概率為0.6，而接受

20、到其它字母的概率為0.2，假定前后字母是否被歪曲互不影響，若接受到的是ABCA，問被傳送是AAAA的概率。解：記事件“發(fā)AAAA”為A4，事件“發(fā)BBBB”為B4，事件“發(fā)CCCC”為C4，事件“收ABCA”為D，則P(A4)?0.3,P(B4)?0.4,P(C4)?0.3,為求P(A4|D)，考慮到發(fā)AAAA，而收到ABCD，有兩個(gè)字母被準(zhǔn)確收到，另兩個(gè)字母被誤收，故P(D|A4)?0.62?0.22?0.0144。同理可求得P(D|B4)?P(D|A4)?0.6?0.23?0.0048，欲求的概率是P(A4|D)，而事件A4,B4,C4間兩兩互不相容，又D能且只能與A4,B4,C4之一同時(shí)

21、發(fā)生，由貝葉斯公式得欲求的概率為P(A4)P(D|A4)P(A|D)?444444P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)4?0.3?0.01449?0.56250.3?0.0144?0.4?0.0048?0.3?0.00481616、設(shè)A，B，C三事件相互獨(dú)立，求證A?B,AB,A?B皆與C獨(dú)立。證：（1）P(A?B)?C)?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(C)P(A)?P(B)?P(AB)?P(C)P(A?B)，A?B與C獨(dú)立。（2）P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(

22、AB)P(C)AB與C獨(dú)立。（3）P(A?B)C)?P(AC)?P(AC(?B)?P(AC)?P(ABC)?P(A)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(C)P(A)?P(AB)?P(C)P(A?B)，A?B與C獨(dú)立。17、若A，B，C相互獨(dú)立，則,亦相互獨(dú)立。證：P()?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?PAB)1?P(B)?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?(1?P(A)(?P()P()，概率論第二章習(xí)題-8-同理可證P()?P()P(),P()?P()P().又有P()?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?

23、P(AC)?P(BC)?P(ABC)?1?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?(1?P(A)(1?P(B)(1?P(C)?P()P()P()，所以,相互獨(dú)立。18、證明：事件A1,A2,?,An相互獨(dú)立的充要條件是下列2n個(gè)等式成立：?A?)P(A?)?P(A?)，P(A12?An)?P(A12n?取A或。其中Aiii?取證：必要性。事件A1,A2,?,An相互獨(dú)立，用歸納法證。不失為一般性，假設(shè)總是前連續(xù)m個(gè)集Aii的形式。當(dāng)m?1時(shí)，P(1A2?An)?P(A2?An)?P(A1?An)?P(A1?An)?P(A2)

24、?P(An)?P(A1)?p(An)?P(1)P(A2)?P(An)。設(shè)當(dāng)m?k時(shí)有P(1?AkAk?1?An)?P(1)?P(k)P(Ak?1?An),則當(dāng)m?k?1時(shí)P(1?k?1Ak?2?An)?P(1?kAk?2?An)?P(1?kAk?1?An)?P(1)?P(k)P(Ak?2)?P(An)?P(1)?P(k)P(Ak?1)?P(An)?P(1)?P(k)(1?P(Ak?1)P(Ak?2)?P(An)?P(1)?P(k)P(k?1)P(Ak?2)?P(An)從而有下列2n式成立：?A?)P(A?)?P(A?),P(A12?An)?P(A12n概率論第二章習(xí)題-9-?取A或。其中Aii

25、i充分性。設(shè)題中條件成立，則P(A1?An)?P(A1)?P(An),(1)P(A1?An?1n)?P(A1)?P(An?1)P(n).(2)A1?An?1An?A1?An?1n?,P(A1?An?1)?P(A1?An?1An?A1?An?1n).(1)+(2)得P(A1?An?1)?P(A1)?P(An?1)。(3)同理有P(A1?An?2n?1An)?P(A1)?P(An?2)P(n?1)P(An),P(A1?An?2n?1n)?P(A1)?P(An?2)P(n?1)P(n)兩式相加得P(A1?An?2n?1)?P(A1)?P(An?2)P(n?1).（4）(3)+(4)得P(A1?An?

26、2)?P(A1)P(A2)?P(An?2)。同類似方法可證得獨(dú)立性定義中2?n?1個(gè)式子，A1,?,An相互獨(dú)立。19、若A與B獨(dú)立，證明?,A,?中任何一個(gè)事件與?,B,?中任何一個(gè)事件是相互獨(dú)立的。證：P(?)?P(?)?0?0?P(?)P(?),P(?)?0?P(?)P(?),P(?)?1?P(?)P(?),P(?B)?P(B)?P(?)P(B),P(?A)?P(A)?P(?)P(A),P()?P()P()（見本章第17題），P(A)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B)?P(A)(1?P(B)?P(A)P(B)，同理可得P(B)?P()P(B)。證畢。20、

27、對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行三次獨(dú)立射擊，第一，二，三次射擊的命中概率分別為0.4，0.5，0.7，試求（1）概率論第二章習(xí)題-10-n在這三次射擊中，恰好有一次擊中目標(biāo)的概率；（2）至少有一次命中目標(biāo)的概率。解：P三次射擊恰擊中目標(biāo)一次=?0.4(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)0.5(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)0.7?0.36P至少有一次命中=1-P未擊中一次?1?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.9121、設(shè)A1,A2,?,An相互獨(dú)立，而P(Ak)?pk，試求：（1）所有事件全不發(fā)生的概率；（2）諸事件中至少發(fā)生其一的概率；（3）恰好發(fā)生其一的概率。解：（1）

28、P所有的事件全不發(fā)生?P1?n?P(1)?P(n)?（2）P至少發(fā)生其一?P(A1?An)P(A1?An)?1?P(1?n)?1?(1?pk?1nk)。?(1?pk?1nn)。（3）P恰好發(fā)生其一?p1(1?p2)?(1?pn)?(1?p1)p2(1?p3)?(1?pn)?(1?p1)?(1?pn?1)pn?pi?1ni?2n?j?i?1?pipj?(?1)n?1n?pi。i?1n22、當(dāng)元件k或元件k1或k2都發(fā)生故障時(shí)電路斷開，元件k發(fā)生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2發(fā)生故障的概率各為.2，求電路斷開的概率。解：本題中認(rèn)為各元件發(fā)生故障是相互獨(dú)立的。記A0=元件k發(fā)生故障，A1=元

29、件k1發(fā)生故障，A2=元件k2發(fā)生故障。則P電路斷開?P(A0?A1A2)?P(A0)?P(A1A2)?P(A0A1A2)?0.3?0.2?0.2?0.3?0.2?0.2?0.328。23、說明“重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，小概率事件必然發(fā)生”的確切意思。解：以Ak表事件“A于第k次試驗(yàn)中出現(xiàn)”，P(Ak)?，由試驗(yàn)的獨(dú)立性得，前n次試驗(yàn)中A都不出現(xiàn)的概率為P(12?n)?P(1)P(2)?P(n)?(1?)n。于是前n次試驗(yàn)中，A至少發(fā)生一次的概率為概率論第二章習(xí)題-11-1?P(12?n)?1?(1?)n?1(n?)。這說明當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，小概率事件A至少發(fā)生一次的概率可以無(wú)限地向1靠近，

30、從而可看成是必然要發(fā)生的。24、在第一臺(tái)車床上制造一級(jí)品零件的概率等于0.7，而在第二臺(tái)車床上制造此種零件的概率等于0.8，第一臺(tái)車床制造了兩個(gè)零件，第二臺(tái)制造了三個(gè)零件，求所有零件均為一級(jí)品的概率。解：我們認(rèn)為各車床或同一車床制造的各個(gè)零件的好壞是相互獨(dú)立的，由此可得P所有零件均為一級(jí)品?0.83?0.72?0.2509。25、實(shí)驗(yàn)室器皿中產(chǎn)生甲類細(xì)菌與乙類細(xì)菌的機(jī)會(huì)是相同的，若某次發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生了2n個(gè)細(xì)菌，求（1）至少有一個(gè)甲類細(xì)菌的概率；（2）甲，乙兩類細(xì)菌各占其半的概率。解：利用的二項(xiàng)分布可得P至少有一個(gè)甲類細(xì)菌?1?P2n個(gè)全是乙類細(xì)菌0?1?1?1?C20?2?2?n02n?1?2?2

31、n。n2n?1?1?n?1?P甲，乙兩類細(xì)菌各占一半?C?C2n?。?2?2?2?n2n26、擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為p，擲了n次，求下列概率：（1）至少出現(xiàn)一次正面；（2）至少出現(xiàn)兩次正面。解：利用二項(xiàng)分布得P至少出現(xiàn)一次正面?1?Pn次全部出現(xiàn)反面?1?(1?p)n。1P至少出現(xiàn)兩次正面?1?(1?p)n?Cnp(1?p)n?1?1?(1?p)n?np(1?p)n?1。27、甲，乙，丙三人進(jìn)行某項(xiàng)比賽，設(shè)三個(gè)勝每局的概率相等，比賽規(guī)定先勝三局者為整場(chǎng)比賽的優(yōu)勝者，若甲勝了第一，三局，乙勝了第二局，問丙成為整場(chǎng)比賽優(yōu)勝者的概率是多少？解：（1）設(shè)A，B，C分別表示每局比賽中甲，乙、丙獲勝的事件

32、，故P(A)?P(B)?P(C)?1的多3項(xiàng)分布。欲丙成為整場(chǎng)比賽的優(yōu)勝者，則需在未來的三次中，丙獲勝三次；或在前三次中，丙獲勝兩次乙勝一次，而第四次為丙獲勝。故本題欲求的概率為3!?1?1?1?3!?1?1?1?p?3!0!0!?3?3?3?2!1!0!?3?3?3?30020?1?。?3?28、甲，乙均有n個(gè)硬幣，全部擲完后分別計(jì)算擲出的正面數(shù)相等的概率。解：利用兩個(gè)的二項(xiàng)分布，得欲求的概率為概率論第二章習(xí)題-12-p?P甲擲出i次正面，乙擲出i次正面i?0n?1?C?2?i?0inni?1?2?n?1?1?C?2?ini?1?2?n?1?1?2?2nn?1?(C)?C?。?2?i?0i2

33、nn2n2n29、在貝努里試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率為p，求在n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率。解：事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率記為b，出現(xiàn)偶數(shù)次的概率記為a，則00n22n?2a?Cnpq?Cnpq?，133n?3b?Cnpqn?1?Cnpq?。利用a?b?(p?q)n?1,a?b?(q?p)n，可解得事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率為b?1111?(p?q)n?(1?2p)n。222?順便得到，事件A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率為a?11?(1?2p)n。2230、在貝努里試驗(yàn)中，若A出現(xiàn)的概率為p，求在出現(xiàn)m次A之前出現(xiàn)k次A的概率。解：事件“在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A”，相當(dāng)于事件“在前k?m?1次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次

34、A，m?1次，而第m?k次出現(xiàn)”，故所求的概率為Ckk?m?1pkqm?1?q?Ckk?m?1pkqmk?2注：對(duì)事件“在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A”，若允許在出現(xiàn)m次之前也可以出現(xiàn)k?1次A，次A等，這就說不通。所以，事件“在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A”的等價(jià)事件，是“在出現(xiàn)m次之前恰出現(xiàn)k次A”。而對(duì)事件“在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A之前”（記為B）就不一樣，即使在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)了k?1次A，k?2次A等，也可以說事件B發(fā)生，所以事件B是如下諸事件的并事件：“在出現(xiàn)m次之前恰出現(xiàn)i次A”，i?k,k?1,?。31、甲袋中有N?1只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次從甲，乙兩袋中分別取出一只球并交

35、換放入另一袋中去，這樣經(jīng)過了n次，問黑球出現(xiàn)在甲袋中的概率是多少？并討論n?時(shí)的情況。解：設(shè)An?經(jīng)n次試驗(yàn)后，黑球出現(xiàn)在甲袋中，n?經(jīng)n次試驗(yàn)后，黑球出現(xiàn)在乙袋中，Cn?第n次從黑球所在的袋中取出一個(gè)白球。記pn?P(An),cn?P(n)?1?pn,n?0,1,2,?。當(dāng)n?1概率論第二章習(xí)題-13-時(shí)，由全概率公式可得遞推關(guān)系式：pn?P(An|An?1)P(An?1)_P(An|n?1)P(n?1)?P(Cn|An?1)P(An?1)?P(n|n?1)P(n?1)?pn?1?即pn?N?11?qn?1?NN?N?11pn?1?(1?pn?1),NNN?21pn?1?NN(n?1)。初始

36、條件p0?1，由遞推關(guān)系式并利用等比級(jí)數(shù)求和公式得11N?21?N?2?pn?NNNN?N?1N?N?2?n?1?N?n?1?N?2?N?n11?N?2?。n22N?N?2?N?2?1?N?N?若N?1，則n?2k?1時(shí)p?0，當(dāng)n?2k時(shí)pn?1。若N?2，則對(duì)任何n有pn?n1。2若N?2，則limpn?n?1（N越大，收斂速度越慢）。232、一個(gè)工廠出產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率為.005，任意取來1000件，試計(jì)算下面概率：（1）其中至少有兩件廢品；（2）其中不超過5件廢品；（3）能以90%的概率希望廢品件數(shù)不超過多少？解：利用普阿松逼近定理，?1000?0.005?5，查表計(jì)算得iP至少有兩件廢

37、品?C1000(0.005)i(0.995)1000?1?1?e?5?5e?5?0.9596，i?21000P不超過5件廢品?Ci?25i1000(0.005)(0.995)i1000?15i?5?e?0.6160。i?0i!5設(shè)以90%的概率希望廢品件數(shù)不超過k，則?Ci?2ki1000(0.005)(0.995)i1000?15i?5?e?0.90，i?0i!k解得k?8。33、某交往式計(jì)算機(jī)有20個(gè)終端，這些終端被各單位獨(dú)立操作，使用率各為0.7，求有10個(gè)或更多個(gè)終端同時(shí)操作的概率。概率論第二章習(xí)題-14-解：P=有10個(gè)或更多個(gè)終端同時(shí)操作=P有10個(gè)或不足10個(gè)終端不在操作j?C2

38、0(0.3)j(0.7)20?j?0.9829。j?01034、設(shè)每次射擊打中目標(biāo)的概率等于0.001，如果射擊5000次，試求打中兩彈或兩彈以上的概率。解：利用普阿松逼近定理計(jì)算?5000?0.001?5，則打中兩彈或兩終以上的概率為p?1?(0.999)5000?5000(0.999)4999?0.001?1?e?5?5e?5?0.959635、某個(gè)廠有7個(gè)顧問，假定每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確意見的百分比為.6，現(xiàn)為某事可行與否而個(gè)別征求顧問意見，并按多數(shù)人的意見作出決策，求作出正確決策的概率。解：設(shè)A表事件“某事實(shí)際上是可行的”，表事件“某事實(shí)際上是不可行的”，B表“多數(shù)人說可行”，表“多數(shù)人說不

39、可行“，利用二項(xiàng)分布得iP(B|A)?P(|)?C7(0.6)i(0.4)7?i?0.7102i?47所以作出正確決策的概率為p?P(A)P(B|A)?P()P(B|)?P(B|A)P(A)?P()?P(B|A)?0.7102。36、實(shí)驗(yàn)室器皿中產(chǎn)生甲，乙兩類細(xì)菌的機(jī)會(huì)是相等的，且產(chǎn)生k個(gè)細(xì)菌的概率為pk?kk!e?,k?0,1,2,?。試求：（1）產(chǎn)生了甲類細(xì)菌但沒有乙類細(xì)菌的概率；（2）在已知產(chǎn)生了細(xì)菌而且沒有甲類細(xì)菌的條件下，有兩個(gè)乙類細(xì)菌的概率。?1?e?，所以產(chǎn)解：（1）由題意得，產(chǎn)生了k個(gè)細(xì)菌，且這k個(gè)細(xì)菌全部是甲類細(xì)菌的概率為k!?2?生了甲類細(xì)菌而無(wú)乙類細(xì)菌的概率為k?1?2?

40、。p?e?e?e?1?2?k?1k!?kk?k?（2）產(chǎn)生乙類細(xì)菌而無(wú)甲類細(xì)菌的概率與（1）中概率相同，所以欲求的條件概率為12?1?12?e?2!?2?P有2個(gè)乙類細(xì)菌|產(chǎn)生的細(xì)菌中無(wú)甲類?。?11?2?2?e?1?e?e?1?37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一樣的，在50個(gè)人的單位中有兩個(gè)以上的人生于元旦的概率是多少？2概率論第二章習(xí)題-15-解：事件“有兩個(gè)以上的人生于元旦”的對(duì)立事件是“生于元旦的人不多于兩個(gè)”利用p?項(xiàng)分布得欲求的概率為1的二365?1?p?1?C?365?i502i1?1?365?50?11?(3642?50?364?25?49)36448?0.00

41、037。5036538、一本500頁(yè)的書，共有500個(gè)錯(cuò)字，每個(gè)字等可能地出現(xiàn)在每一頁(yè)上，試求在給定的一頁(yè)上至少有三個(gè)錯(cuò)字的概率。解：每個(gè)錯(cuò)字出現(xiàn)在每頁(yè)上的概率為p?1，500個(gè)錯(cuò)字可看成做500次努里試驗(yàn)，利用普阿松逼500近定理計(jì)算，?500?1?1，得5002i500?1P某頁(yè)上至少有三個(gè)錯(cuò)字=1?1-P某頁(yè)上至多有兩個(gè)錯(cuò)字?1?Ci?01500?1?500?1?1?500?1?1?(e?1?e?1?e?1)?0.0803.239、某商店中出售某種商品，據(jù)歷史紀(jì)錄分析，每月銷售量服從普阿松分布，參數(shù)為7，問在月初進(jìn)貨時(shí)要庫(kù)存多少件此種商品，才能以0.999的概率充分滿足顧客的需要。解：設(shè)

42、月初庫(kù)存k件，則應(yīng)有?7i?77i?7e?0.999,即p?e?0.001.?i!i?0i?k?1i!k當(dāng)k?1?17時(shí)，p?0.000958；k?1?16時(shí)，p?0.002407。所以在月初進(jìn)貨時(shí)要庫(kù)存k?16件才行。40、螺絲釘生產(chǎn)中廢品率為0.015，問一盒應(yīng)裝多少只，才能保證每盒中有100只以上的好螺絲釘?shù)母怕什恍∮?0%（提示：用普阿松逼近，設(shè)應(yīng)裝100+k只）。解：設(shè)每盒裝100+k只，為使每盒有100只以上的好釘，每盒次品數(shù)應(yīng)當(dāng)?k?1，則應(yīng)有ip?C100)i(0.985)100?k?i?0.80.?k(0.015i?0k?1由于k值不大，有(100?k)0.015?100?0

43、.015?1.5利用普阿松逼近定理計(jì)算，?1.5，上式可以寫成概率論第二章習(xí)題-16-(1.5)i?1.5p?e?0.80.i!i?0k?1查表得當(dāng)k?1?2時(shí)，p?0.808847；當(dāng)k?1?1時(shí)，p?0.557825。取k?1?2,k?3，。所以一盒應(yīng)裝103只，才能保證每盒中有100只以上好釘?shù)母怕市∮?0%。41、某疫苗中所含細(xì)菌數(shù)服從普阿松分布，每1毫升中平均含有一個(gè)細(xì)菌，把這種疫苗放入5只試管中，每試管放2毫升，試求：（1）5只試管中都有細(xì)菌的概率；（2）至少有3只試管中有細(xì)菌的概率。解：每一毫升平均含一個(gè)細(xì)菌，每2毫升含2個(gè)，所以每只試管中含有細(xì)菌數(shù)服從?2的普阿松分布。由此可得

44、P5個(gè)試管中都有細(xì)菌?(1?e?2)5?0.4833；P至少有三個(gè)試管中有細(xì)菌?計(jì)算時(shí)利用了p?1?e?2的二項(xiàng)分布。42、通過某交叉路口的汽車可看作普阿松過程，若在一分鐘內(nèi)沒有車的概率為0.2，求在2分鐘內(nèi)有多于一車的概率。解：設(shè)一分鐘內(nèi)通過某交叉路口的汽車數(shù)服從?的普阿松分布，則P1分鐘內(nèi)無(wú)車?e?1?C(1?e15i?25?2i)(e?2)5?i?0.9800.?0.2,?i?ln0.2?1.61由此得，2分鐘內(nèi)通過的汽車數(shù)服從?i?2?3.22的普阿松分布，從而2分鐘內(nèi)多于一車的概率為p?1?e?3.22?3.22?e?3.22?0.831.43、若每蠶產(chǎn)n個(gè)卵的概率服從普阿松分布，參

45、數(shù)為?，而每個(gè)卵變?yōu)槌上x的概率為p，且各卵是否變?yōu)槌上x彼此間沒有關(guān)系，求每蠶養(yǎng)出k只小蠶的概率。解：若蠶產(chǎn)i個(gè)卵，則這i個(gè)卵變?yōu)槌上x數(shù)服從概率為p,n?i的二項(xiàng)分布，所以P蠶養(yǎng)出n只小蠶?i!?C?i?k?M?0?ikipk(1?p)1?k（令m?i?k)1(?p)ke?k!pke?k!?k?mm!(1?p)m?44、若已知t?0時(shí)，某分子與另一分子碰撞，又知對(duì)任何t?0和?t?0，若不管該分子在時(shí)刻以前是否遭受碰撞，在(t,t?t)中遭到碰撞的概率等于?t?o(?t)，試求該分子在時(shí)刻?還沒有再受到碰撞的概率。解：設(shè)s=該分子在時(shí)刻s還沒有再受到碰撞，則概率論第二章習(xí)題-17-1?P(?)?(?)?o(?)，P(?)?P(?)P(?)?P(?)(1?o(?)，P(?)?P(?)P(?)o(?)?p(?)?，?令?0得dP(?)?P(?),d?P(?)?，P(?)積分得P(?)?ce?.當(dāng)?0時(shí)，P(?)?1，所以c?1，從而P(?)?e?.45、利用概率論的想法證明下面恒等式：?N?k?1N?。?2?k?2kk?0?M證：可利用巴納赫氏問題證明。某數(shù)學(xué)家?guī)е鴥珊谢鸩瘢看斡脮r(shí)他在兩盒中任意抓一盒，從中取出一根，因此連續(xù)地抽